8.1 时间序列平稳性和单位根检验时间序列平稳性和单位根检验Stationary Time Serial and Unit Root Test一、时间序列的平稳性一、时间序列的平稳性二、单整序列二、单整序列三、单位根检验三、单位根检验 经典时间序列分析模型：经典时间序列分析模型：包括包括MA、AR、ARMA模型模型 平稳时间序列模型平稳时间序列模型 分析时间序列本身的变化规律分析时间序列本身的变化规律 现代时间序列分析模型：现代时间序列分析模型：分析时间序列之间的构造关系分析时间序列之间的构造关系 单位根检验、协整检验是中心内容单位根检验、协整检验是中心内容 现代宏观计量经济学的主要内容现代宏观计量经济学的主要内容一、时间序列的平稳性一、时间序列的平稳性Stationary Time Series问题的提出问题的提出 经典计量经济模型常用到的数据有：经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据time-series data)；截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的数据非平稳，大样本下的统计推断根底数据非平稳，大样本下的统计推断根底“一致一致性要求性要求被破怀数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚伪回归虚伪回归Spurious Regression问题表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性很高的相关性例如：假设有两列时间序列数据表现出一致的变例如：假设有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势非平稳的，即使它们没有任何有意义化趋势非平稳的，即使它们没有任何有意义的关系，但进展回归也可表现出较高的可决系数的关系，但进展回归也可表现出较高的可决系数2 2、平稳性的定义、平稳性的定义 假定某个时间序列是由某一随机过程假定某个时间序列是由某一随机过程stochastic processstochastic process生成的，即假定时间生成的，即假定时间序列序列XtXtt=1,2,t=1,2,的每一个数值都是从的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，假设满足以下条件：一个概率分布中随机得到，假设满足以下条件：均值均值E(Xt)=E(Xt)=是与时间是与时间t t 无关的常数；无关的常数；方差方差Var(Xt)=Var(Xt)=2 2是与时间是与时间t t 无关的常数；无关的常数；协方差协方差Cov(Xt,Xt+k)=Cov(Xt,Xt+k)=k k 是只与时期间隔是只与时期间隔k k有关，与时间有关，与时间t t 无关的常数；无关的常数；那么称该随机时间序列是平稳的那么称该随机时间序列是平稳的stationary)stationary)，而该随机过程是一平稳随机，而该随机过程是一平稳随机过程过程stationary stochastic processstationary stochastic process。
宽平稳、广义平稳宽平稳、广义平稳 白噪声白噪声white noisewhite noise过程是平稳的：过程是平稳的：Xt=Xt=t t ，tN(0,tN(0,2)2)随机游走随机游走random walkrandom walk过程是非平稳的：过程是非平稳的：Xt=Xt-1+Xt=Xt-1+t t，tN(0,tN(0,2)2)Var(Xt)=t Var(Xt)=t 2 2 随机游走的一阶差分随机游走的一阶差分first differencefirst difference是是平稳的：平稳的：Xt=Xt-Xt-1=Xt=Xt-Xt-1=t t，tN(0,tN(0,2)2)假设一个时间序列是非平稳的，它经常可经过假设一个时间序列是非平稳的，它经常可经过取差分的方法而构成平稳序列取差分的方法而构成平稳序列二、平稳性的图示判别二、平稳性的图示判别阐明阐明 本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析本节的概念是重要的，属于经典时间序列分析在实践运用研讨中，普通直接采用单位根检验，在实践运用研讨中，普通直接采用单位根检验，图示判别运用较少图示判别运用较少建议作为自学内容建议作为自学内容三、平稳性的单位根检验三、平稳性的单位根检验 unit root testunit root test1 1、DFDF检验检验Dicky-Fuller TestDicky-Fuller Test 经过上式判别经过上式判别XtXt能否有单位根能否有单位根,就是时间序列就是时间序列平稳性的单位根检验。
平稳性的单位根检验tttXX1tttXX1tttttXXX11)1(随机游走，非平稳随机游走，非平稳对该式回归，假设确实对该式回归，假设确实发现发现=1=1，那么称随机，那么称随机变量变量XtXt有一个单位根有一个单位根等价于经过该式判别等价于经过该式判别能否存在能否存在=0=0普通检验模型普通检验模型tttXX1tttXX1零假设零假设 H0 H0：=0=0备择假设备择假设 H1 H1：00可经过可经过OLS法下的法下的t检验完成检验完成但是，在零假设序列非平稳下，即使在大样但是，在零假设序列非平稳下，即使在大样本下本下t统计量也是有偏误的向下偏倚，通常的统计量也是有偏误的向下偏倚，通常的t 检验无法运用检验无法运用Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统计统计量服从的分布这时的量服从的分布这时的t统计量称为统计量称为 统计量，统计量，即即DF分布由于由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的偏态分布值的偏态分布假设假设t临界值，那么回绝零假设临界值，那么回绝零假设H0：=0，以为时间序列不存在单位根，是平稳的。
以为时间序列不存在单位根，是平稳的单尾检验2 2、ADFADF检验检验Augment Dickey-Fuller Augment Dickey-Fuller testtest 为什么将为什么将DFDF检验扩展为检验扩展为ADFADF检验？检验？DFDF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程项的一阶自回归过程AR(1)AR(1)生成的但在实践检生成的但在实践检验中，时间序列能够由更高阶的自回归过程生验中，时间序列能够由更高阶的自回归过程生成，或者随机误差项并非是白噪声，用成，或者随机误差项并非是白噪声，用OLSOLS法进法进展估计均会表现出随机误差项出现自相关，导展估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致致DFDF检验无效检验无效假设时间序列含有明显的随时间变化的某种趋假设时间序列含有明显的随时间变化的某种趋势如上升或下降，也容易导致势如上升或下降，也容易导致DFDF检验中的检验中的自相关随机误差项问题自相关随机误差项问题ADFADF检验模型检验模型tmiitittXXX11tmiitittXXX11tmiitittXXtX11零假设零假设 H0 H0：=0 =0 备择假设备择假设 H1 H1：0500-2.58-2.23-1.95-1.61 25-3.75-3.33-3.00-2.62 50-3.58-3.22-2.93-2.60 100-3.51-3.17-2.89-2.58 250-3.46-3.14-2.88-2.57 500-3.44-3.13-2.87-2.57 500-3.43-3.12-2.86-2.57 25 3.41 2.97 2.61 2.20 50 3.28 2.89 2.56 2.18 100 3.22 2.86 2.54 2.17 250 3.19 2.84 2.53 2.16 500 3.18 2.83 2.52 2.16 2 500 3.18 2.83 2.52 2.16 模型 统计量 样本容量 0.01 0.025 0.05 0.10 25-4.38-3.95-3.60-3.24 50-4.15-3.80-3.50-3.18 100-4.04-3.73-3.45-3.15 250-3.99-3.69-3.43-3.13 500-3.98-3.68-3.42-3.13 500-3.96-3.66-3.41-3.12 25 4.05 3.59 3.20 2.77 50 3.87 3.47 3.14 2.75 100 3.78 3.42 3.11 2.73 250 3.74 3.39 3.09 2.73 500 3.72 3.38 3.08 2.72 500 3.71 3.38 3.08 2.72 25 3.74 3.25 2.85 2.39 50 3.60 3.18 2.81 2.38 100 3.53 3.14 2.79 2.38 250 3.49 3.12 2.79 2.38 500 3.48 3.11 2.78 2.38 3 500 3.46 3.11 2.78 2.38 一个简单的检验过程：一个简单的检验过程：同时估计出上述三个模型的适当方式，然后经同时估计出上述三个模型的适当方式，然后经过过ADF临界值表检验零假设临界值表检验零假设H0：=0。
只需其中有一个模型的检验结果回绝了零假设，只需其中有一个模型的检验结果回绝了零假设，就可以以为时间序列是平稳的；就可以以为时间序列是平稳的；当三个模型的检验结果都不能回绝零假设时，当三个模型的检验结果都不能回绝零假设时，那么以为时间序列是非平稳的那么以为时间序列是非平稳的3 3、例：检验、例：检验1978-20001978-2000年间中国支出法年间中国支出法GDPGDP时间序列的平稳性时间序列的平稳性 例例8.1.6检验检验19782006年间中国实践支出法国年间中国实践支出法国内消费总值内消费总值GDPC时间序列的平稳性时间序列的平稳性下面演示的是检验下面演示的是检验19782000年间中国支出法年间中国支出法国内消费总值国内消费总值GDPC时间序列的平稳性时间序列的平稳性方法原理和过程是一样的，例方法原理和过程是一样的，例8.1.6可以作为同可以作为同窗的练习窗的练习21101.150.10093.027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26）(1.91)(0.31)(8.94)(-4.95)首先检验模型3，经过偿试，模型3取2阶滞后：需进一步检验模型需进一步检验模型2。
LM1=0.92，LM2=4.16 系数的系数的t临界值，临界值，不能回绝存在单位根不能回绝存在单位根的零假设的零假设时间T的t统计量小于ADF临界值，因此不能回绝不存在趋势项的零假设小于小于5%显著性程度下自在度分别为显著性程度下自在度分别为1与与2的的2分布的临界值，可见不存分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是在自相关性，因此该模型的设定是正确的检验模型检验模型2，经实验，模型，经实验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：21115.165.1057.045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90）(3.38)(10.40)(-5.63)LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能回绝不存常数项的零假设LM检验阐明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的GDPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不能回绝存在单位根的零假设需进一步检验模型需进一步检验模型1检验模型检验模型1 1，经实验，模型，经实验，模型1 1中滞后项取中滞后项取2 2阶：阶：GDPt-1参数值的t统计量为正值，大于临界值，不能回绝存在单位根的零假设。
211194.1701.1063.0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15）(11.46)(-6.05)LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 LM检验阐明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的时间序列是非平稳的ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的值统计量的值大于临界值，大于临界值，不能回绝存在不能回绝存在单位根的零假单位根的零假设同时，由设同时，由于时间项于时间项T的的t统计量也小于统计量也小于ADF分布表中分布表中的临界值，因的临界值，因此不能回绝不此不能回绝不存在趋势项的存在趋势项的零假设需进零假设需进一步检验模型一步检验模型2ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的值统计量的值大于临界值，大于临界值，不能回绝存在不能回绝存在单位根的零假单位根的零假设。
同时，由设同时，由于常数项的于常数项的t统统计量也小于计量也小于ADF分布表中分布表中的临界值，因的临界值，因此不能回绝不此不能回绝不存在趋势项的存在趋势项的零假设需进零假设需进一步检验模型一步检验模型1ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPPADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现GDPPGDPP从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其其t统计量的统计量的值大于临界值大于临界值，不能回值，不能回绝存在单位绝存在单位根的零假设根的零假设至此，可断至此，可断定定GDPP时时间序列是非间序列是非平稳的ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验GDPPGDPP从从GDPP(-1)的的参数值看，其参数值看，其t统统计量的值大于临界计量的值大于临界值，不能回绝存在值，不能回绝存在单位根的零假设单位根的零假设同时，由于时间项同时，由于时间项项项T的的t统计量也小统计量也小于于AFD分布表中分布表中的临界值，因此不的临界值，因此不能回绝不存在趋势能回绝不存在趋势项的零假设需进项的零假设需进一步检验模型一步检验模型2。
在在1%置信度下置信度下从从GDPP(-1)的的参数值看，其统参数值看，其统计量的值大于临计量的值大于临界值，不能回绝界值，不能回绝存在单位根的零存在单位根的零假设同时，由假设同时，由于常数项的于常数项的t统计统计量也小于量也小于AFD分分布表中的临界值，布表中的临界值，因此不能回绝不因此不能回绝不存在趋势项的零存在趋势项的零假设需进一步假设需进一步检验模型检验模型1从从GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其统计量的值其统计量的值大于临界值，大于临界值，不能回绝存在不能回绝存在单位根的零假单位根的零假设至此，可设至此，可断定断定GDPP时间序列是非时间序列是非平稳的ADFADF检验在检验在EviewsEviews中的实现中的实现检验检验2GDPP2GDPP从从2GDPP(-1)的参数值看，的参数值看，其统计量的值其统计量的值小于临界值，小于临界值，回绝存在单位回绝存在单位根的零假设根的零假设至此，可断定至此，可断定2GDPP时时间序列是平稳间序列是平稳的GDPP是是I(2)过程4 4、平稳性检验的其它方法、平稳性检验的其它方法 PP检验检验Phillips-Perron 检验模型中不引入滞后项，以防止自在度损失降检验模型中不引入滞后项，以防止自在度损失降低检验效能。
低检验效能直接采用直接采用Newey-West一致估计式作为调整因子，一致估计式作为调整因子，修正一阶自回归模型得出的统计量修正一阶自回归模型得出的统计量一种非参数检验方法一种非参数检验方法tttxtx1 霍尔工具变量方法霍尔工具变量方法 用工具变量法估计用工具变量法估计ADF检验模型检验模型用用Xt-k和和Xt-i-k作为作为yt-1和和Xt-i的工具变量的工具变量检验统计量依然服从检验统计量依然服从ADF分布tmiitittXXtX11 DF-GLS 方法方法Elliott,Rothenberg,Stock,ERS 去势趋势、均值去势趋势、均值对去势后的序列进展对去势后的序列进展ADF型检验采用采用GLS估计检验模型估计检验模型证明具有更良好的性质证明具有更良好的性质KPSS方法方法Kwiatkowski,Philips,Schmidt,Shin 检验趋势平稳检验趋势平稳 非参数检验方法非参数检验方法 其它方法其它方法 LMC(Leybourne,McCabe)Ng-PerronEviews Eviews 中提供的检验方法中提供的检验方法Eviews Eviews 中提供的滞后阶数选择中提供的滞后阶数选择四、单整、趋势平稳与差分平稳四、单整、趋势平稳与差分平稳1 1、单整、单整integrated Serialintegrated Serial 假设一个时间序列经过一次差分变成平稳的，假设一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整就称原序列是一阶单整integrated of 1序列，序列，记为记为I(1)。
普通地，假设一个时间序列经过普通地，假设一个时间序列经过d次差分后变次差分后变成 平 稳 序 列，那 么 称 原 序 列 是成 平 稳 序 列，那 么 称 原 序 列 是 d 阶 单 整阶 单 整integrated of d序列，记为序列，记为I(d)例如上述人均例如上述人均GDP序列，即为序列，即为I(2)序列I(0)代表一平稳时间序列代表一平稳时间序列现实经济生活中只需少数经济目的的时间序列现实经济生活中只需少数经济目的的时间序列表现为平稳的，如利率等表现为平稳的，如利率等;大多数目的的时间序列是非平稳的，例如，以大多数目的的时间序列是非平稳的，例如，以当年价表示的消费额、收入等常是当年价表示的消费额、收入等常是2阶单整的，阶单整的，以不变价钱表示的消费额、收入等常表现为以不变价钱表示的消费额、收入等常表现为1阶单整大多数非平稳的时间序列普通可经过一次或多大多数非平稳的时间序列普通可经过一次或多次差分的方式变为平稳的次差分的方式变为平稳的但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的这种序列被称为非单整的都不能变为平稳的这种序列被称为非单整的non-integrated。
2 2、趋势平稳与差分平稳随机过程、趋势平稳与差分平稳随机过程 含有一阶自回归的随机过程：含有一阶自回归的随机过程：假设假设=1，=0，Xt成为一带位移的随机游走过程根成为一带位移的随机游走过程根据据的正负，的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势这种表现出明显的上升或下降趋势这种趋势称为随机性趋势趋势称为随机性趋势stochastic trend假设假设=0，0，Xt成为一带时间趋势的随机变化过程成为一带时间趋势的随机变化过程根据的正负，的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势表现出明显的上升或下降趋势这种趋势称为确定性趋势这种趋势称为确定性趋势deterministic trend假设假设=1，0，那么，那么Xt包含有确定性与随机性两种趋包含有确定性与随机性两种趋势tttXtX1 判别一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定判别一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定性的，可经过性的，可经过ADF检验中所用的第检验中所用的第3个模型进展个模型进展该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量，即分该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量，即分别出了确定性趋势的影响别出了确定性趋势的影响假设检验结果阐明所给时间序列有单位根，且时间变假设检验结果阐明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，那么该序列显示出随机性趋势量前的参数显著为零，那么该序列显示出随机性趋势；假设没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零假设没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，那么该序列显示出确定性趋势。
那么该序列显示出确定性趋势差分平稳过程和趋势平稳过程差分平稳过程和趋势平稳过程 具有随机性趋势的时间序列经过差分的方法消除随机具有随机性趋势的时间序列经过差分的方法消除随机性趋势该时间序列称为差分平稳过程性趋势该时间序列称为差分平稳过程difference stationary process；具有确定性趋势的时间序列经过除去趋势项消除确定具有确定性趋势的时间序列经过除去趋势项消除确定性趋势该时间序列称为趋势平稳过程性趋势该时间序列称为趋势平稳过程trend stationary process。