2013年广东省湛江市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分47分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）（2013•湛江）下列各数中，最小的数是（ ） A．1B．C．0D．﹣1 2．（4分）（2013•湛江）国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（ ） A．213×106B．21.3×107C．2.13×108D．2.13×109 3．（4分）（2013•湛江）气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、22、24（单位：℃），这组数据的中位数是（ ） A．24B．22C．20D．17 4．（3分）（2013•湛江）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A．B．C．D． 5．（4分）（2009•茂名）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形 6．（4分）（2013•湛江）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）在第（ ）象限． A．一B．二C．三D．四 7．（4分）（2013•湛江）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6B．（a2）4=a6C．a4÷a=a3D．（x+y）2=x2+y2 8．（4分）（2013•湛江）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x≠﹣3D．x≤﹣3 9．（4分）（2013•湛江）计算的结果是（ ） A．0B．1C．﹣1D．x 10．（4分）（2013•湛江）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．有原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ） A．12（1+a%）2=5B．12（1﹣a%）2=5C．12（1﹣2a%）=5D．12（1﹣a2%）=5 11．（4分）（2013•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（ ） A．25°B．35°C．55°D．70° 12．（4分）（2013•湛江）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（ ） A．B．C．D．1 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）（2011•海南）分解因式：x2﹣4= _________ ． 14．（4分）（2013•湛江）抛物线y=x2+1的最小值是 _________ ． 15．（4分）（2013•湛江）若反比例函数y=的图象经过点A（1，2），则k= _________ ． 16．（4分）（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 _________ ，A92的坐标是 _________ ． 三、解答题（本大题共10小题，其中17-18每小题6分，19-22每小题6分，23-25每小题6分，26题12分，共86分。
17．（6分）（2013•湛江）计算：|﹣6|﹣﹣（﹣1）2． 18．（6分）（2013•湛江）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（8分）（2013•湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF． 20．（8分）（2013•湛江）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 21．（8分）（2013•湛江）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．（结果保留小数点后一位，其中=1.732） 22．（8分）（2013•湛江）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 频率分布表分数段频数频率50.5﹣60.5160.0860.5﹣70.5400.270.5﹣80.5500.2580.5﹣90.5m0.3590.5﹣100.524n（1）这次抽取了 _________ 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= _________ ，n= _________ ；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 23．（10分）（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长． 24．（10分）（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= _________ ；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= _________ ；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= _________ ．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= _________ ．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA． 25．（10分）（2013•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式． 26．（12分）（2013•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2013年广东省湛江市中考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分47分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）（2013•湛江）下列各数中，最小的数是（ ） A．1B．C．0D．﹣1考点：有理数大小比较．3338333分析：根据有理数的大小比较法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．解答：解：选项中的4个数，最小的是﹣1．故选D．点评：本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，掌握有理数的大小比较法则是关键． 2．（4分）（2013•湛江）国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（ ） A．213×106B．21.3×107C．2.13×108D．2.13×109考点：科学记数法—表示较大的数．3338333分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将213000000用科学记数法表示为2.13×108．故选C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）（2013•湛江）气候宜人的省级度假胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、22、24（单位：℃），这组数据的中位数是（ ） A．24B．22C．20D．17考点：中位数．3338333分析：先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列为：17、17、20、22、24，最中间的数是20，则这组数据的中位数是20；故选C．点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键． 4．（3分）（2013•湛江）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．3338333分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．解答：解：从物体左面看，是左边2个正方形，右边1个正方形．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 5．（4分）（2009•茂名）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考点：多边形内角与外角．3338333分析：利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．解答：解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°=540°，解得：n=5，则这个多边形是五边形．故选B．点评：本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式． 6．（4分）（2013•湛江）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）在第（ ）象限． A．一B．二C．三D．四考点：点的坐标．3338333分析：根据各象限内点的坐标特征解答即可．解答：解：点A（2，﹣3）在第四象限．故选D．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 7．（4分）（2013•湛江）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3=a6B．（a2）4=a6C．a4÷a=a3D．（x+y）2=x2+y2考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．3338333专题：计算题．分析：A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答：解：A、a2•a3=a5，本选项错误；B、（a2）4=a8，本选项错误；C、a4÷a=a3，本选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选C．点评：此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 8．（4分）（2013•湛江）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x≠﹣3D．x≤﹣3考点：函数自变量的取值范围．3338333分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故选B．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 9．（4分）（2013•湛江）计算的结果是（ ） A．0B．1C．﹣1D．x考点：分式的加减法．3338333专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，变形后约分即可得到结果．解答：解：原式==﹣=﹣1．故选C点评：此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 10．（4分）（2013•湛江）由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．有原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ） A．12（1+a%）2=5B．12（1﹣a%）2=5C．12（1﹣2a%）=5D．12（1﹣a2%）=5考点：由实际问题抽象出一元二次方程．3338333专题：增长率问题．分析：可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=5，把相应数值代入即可求解．解答：解：第一次降价后的价格为12（1﹣a%），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低a%，为12（1﹣a%）（1﹣a%），则列出的方程是12（1﹣a%）2=5，故选B．点评：考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 11．（4分）（2013•湛江）如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（ ） A．25°B．35°C．55°D．70°考点：圆周角定理．3338333分析：由AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，可求得∠D的度数．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=70°，∴∠D=∠BOC=35°．故选B．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 12．（4分）（2013•湛江）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为（ ） A．B．C．D．1考点：概率公式；轴对称图形．3338333分析：卡片共有四张，轴对称图形有等腰梯形、圆，根据概率公式即可得到抽取的卡片是轴对称图形的概率．解答：解：四张卡片中，轴对称图形有等腰梯形、圆，根据概率公式，P（轴对称图形）==．故选A．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）（2011•海南）分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．考点：因式分解-运用公式法．3338333分析：直接利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反． 14．（4分）（2013•湛江）抛物线y=x2+1的最小值是 1 ．考点：二次函数的最值．3338333分析：根据二次函数的最值问题解答即可．解答：解：抛物线y=x2+1的最小值是1．故答案为：1．点评：本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，熟练掌握利用顶点式解析式求最大（或最小）值是解题的关键． 15．（4分）（2013•湛江）若反比例函数y=的图象经过点A（1，2），则k= 2 ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．3338333分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=1×2=2．解答：解：∵反比例函数y=的图象经过点A（1，2），∴k=1×2=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 16．（4分）（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 （0，﹣1） ，A92的坐标是 （31，﹣31） ．考点：规律型：点的坐标．3338333专题：规律型．分析：根据等边三角形的性质求出第一个三角形的高，然后求出A3O即可得解；先根据每一个三角形有三个顶点确定出A92所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A92的纵坐标的长度，即可得解．解答：解：∵△A1A2A3的边长为2，∴△A1A2A3的高线为2×=，∵A1A2与x轴相距1个单位，∴A3O=﹣1，∴A3的坐标是（0，﹣1）；∵92÷3=30…2，∴A92是第31个等边三角形的第二个顶点，第31个等边三角形边长为2×31=62，∴点A92的横坐标为×62=31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．故答案为：（0，﹣1）；（31，﹣31）．点评：本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，难度不大，第二问确定出点A92所在三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，其中17-18每小题6分，19-22每小题6分，23-25每小题6分，26题12分，共86分。
17．（6分）（2013•湛江）计算：|﹣6|﹣﹣（﹣1）2．考点：实数的运算．3338333专题：计算题．分析：原式第一项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，第二项利用算术平方根的定义化简，最后一项表示两个﹣1的乘积，即可得到结果．解答：解：原式=6﹣3﹣1=2．点评：此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，平方根的定义，绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6分）（2013•湛江）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．3338333分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜1，在数轴上表示不等式组的解集为：．点评：本题考查了解一元一次不等式（组）在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 19．（8分）（2013•湛江）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．考点：全等三角形的判定与性质．3338333专题：证明题．分析：求出BC=EF，根据平行线性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据ASA推出△ABC≌△DEF即可．解答：证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．点评：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 20．（8分）（2013•湛江）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张．（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．3338333分析：（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案．解答：解：（1）画树状图得：，由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有4种．∴P=．（2）不公平；理由：由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为：．∵＜，∴这个游戏不公平．点评：此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）（2013•湛江）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．（结果保留小数点后一位，其中=1.732）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3338333分析：此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角关系确定△ABC为直角三角形，解此直角三角形即可求得结果．解答：解：由题意得，BC=80×=40（海里），由图示可知，∠ACB=60°，根据平行线的性质得，∠CBF=30°，则∠ABC=180°﹣60°﹣30°=90°，∴=tan60°，则AB=•BC=40≈69.3（海里）．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为69.3海里．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及了方向角、三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形等知识点，关键是构造直角三角形解直角三角形． 22．（8分）（2013•湛江）2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题： 频率分布表分数段频数频率50.5﹣60.5160.0860.5﹣70.5400.270.5﹣80.5500.2580.5﹣90.5m0.3590.5﹣100.524n（1）这次抽取了 200 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= 70 ，n= 0.12 ；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．3338333分析：（1）利用50.5﹣﹣60.5的人数除以频率即可得到抽取总人数；m=总人数减去各分数段的人数；n=24除以抽取的总人数；（2）根据（1）中计算的m的值补图即可；（3）利用样本估计总体的方法，用总人数1500×抽取的学生中成绩在70分以下（含70分）的学生所占的抽取人数的百分比计算即可．解答：解：（1）抽取的学生数：16÷0.08=200，m=200﹣16﹣40﹣50﹣24=70；n=24÷200=0.12；（2）如图所示：（3）1500×=420（人），答：该校安全意识不强的学生约有420人．点评：此题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，以及利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 23．（10分）（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3338333分析：（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=，∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P，∴△ABC∽△POA，∴=．∴=，解得AC=8．即AC的长度为8．点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键． 24．（10分）（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= 1 ；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= 1 ；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= 1 ．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= 1 ．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．考点：解直角三角形；勾股定理；同角三角函数的关系．3338333分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；（1）过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．解答：解：∵sin30°=，cos30°=，∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①∵sin45°=，cos45°=，∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②∵sin60°=，cos60°=，∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．∵sinA=，cosA=，∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴cosA==．点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 25．（10分）（2013•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．考点：一次函数的应用．3338333分析：（1）由函数图象的数据就可以求出小明汽车的速度及在南亚所游玩的时间为1小时；（2）先根据题意求出C点的坐标，然后运用待定系数法就可以求出CD的解析式及妈妈驾车的速度．解答：解：（1）由题意，得小明骑车的速度为：20÷1=20km/时，小明在南亚所游玩的时间为：2﹣1=1小时．（2）由题意，得小明从南亚所到湖光岩的时间为25﹣10=15分钟=小时，∴小明从家到湖光岩的路程为：20×（1+）=25km．∴妈妈的速度为：25÷=60km/时．C（，25）．设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为y=60x﹣110．点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键． 26．（12分）（2013•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．3338333分析：（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断直线与圆的位置关系，关键是分析圆的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系．由题意可知d=2，由相似三角形求得r=，因为2＞，所以可判定抛物线的对称轴l与⊙C相离；（3）本问是存在性问题．点P有两种情况，分别位于x轴上方与下方，需要分类讨论，注意不要漏解；在求点P坐标时，需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征．解答：解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5．（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴，即，求得⊙C的半径CE=；而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞，∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．（3）存在．理由如下：有两种情况：（I）如答图②所示，点P在x轴上方．∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 ①又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5 ②联立①②式，解得：m=2或m=5．当m=5时，点F与点C重合，故舍去，∴m=2，∴n=3，∴点P坐标为（2，3）；（II）如答图③所示，点P在x轴下方．∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；过点P作PF⊥x轴于点F，∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，∴m+n=﹣5 ①又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5 ②联立①②式，解得：m=0或m=7．当m=0时，点F与原点重合，故舍去，∴m=7，∴n=﹣12，∴点P坐标为（7，﹣12）．综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．点评：本题是代数几何综合题，以抛物线为载体，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形以及直线与圆的位置关系等重要知识点，考查了代数计算能力、几何空间想象能力、数形结合思想、分类讨论思想等综合运用．第（3）问需要分类讨论，避免漏解，这是本题的难点． 。