1专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一 利用导数判断函数的单调性sin x n1. 证明：函数f(x)= 在区间-2, n上单调递减.X A. x = 2为f (x)的极大值点题型二利用导数求函数的单调区间2. 求下列函数的单调区间.3 x(1) f (x) = x-X； (2) y = e - x+ 1.3. 求函数y= x2- In x2的单调区间.题型三 已知函数单调性求参数的取值围2 a4. 已知函数f (x) = x + x(xz 0，常数a€ R).若函数f (x)在x € ［2 ,+s )上是单调递增的,z\.求a的取值围.5. (1)已知函数f (x) = x3+ bx2 + cx + d的单调减区间为［—1,2］，求b, c的值.(2) 设f (x) = ax3 + x恰好有三个单调区间，数 a的取值围.题型四用单调性与导数关系证不等式6. 当x> 0时，证明不等式ln( x + 1) > x -2x2.n7.当Ov xv g时，求证:x — sinxv 6x.题型五、函数的极值问题8.下列函数存在极值的是( )1A. y = 2x B. y = 一xC. y = 3x — 1 D. y = x229 .设函数 f (x) = - + Inx,则( )xB. x =㊁为f (x)的极小值点C. x = 2为f(x)的极大值点D. x = 2为f (x)的极小值点10. 若函数y = f (x)是定义在 R上的可导函数，则f' (xo) = 0是xo为函数y = f (x)的极值点 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 函数y= x • ex的最小值为 .12. 若函数f (x) = -r^(a>0)在［1 ,+^ ］上的最大值为乂3，则a的值为x + a 3 题型六、利用极值求参数围n 3 n13. 已知函数f (x) = asi nx — bcosx在x=才时取得极值，则函数 y = f(-厂一x)是( )A. 偶函数且图象关于点(n, 0)对称3 nB. 偶函数且图象关于点(-厂,0)对称3 nC. 奇函数且图象关于点(-厂，0)对称D. 奇函数且图象关于点(n, 0)对称3 214 .已知函数f (x) = x + ax + bx+ c, f (x)在x= 0处取得极值，并且在区间 ［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性.(1) 数b的值；(2) 数a的取值围.题型七、导数用于解决实际问题15. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时， 在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形 的边长为( )A. 6 B. 8C. 10 D. 1216. 一工厂生产某型号车床，年产量为 N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为 C2 元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场 (指库存量至多等于每批的生产量)•设每年每台的库存费为 C元，求在不考虑生产能力的条件下， 每批生产该车床 台，一年中库存费和生产准备费之和最小．题型八、图像问题17. 二次函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数 y= f ' (x)的图象是如图所示的一条直线，y = f (x)的图象的顶点在( )A.第I象限 B.第n象限C. 第川象限 D.第W象限18. 设函数f(x)在定义域可导，y=f (x)的图象如下图所示，则导函数y= f ' (x)的图象可能 是( )巩固练习：119. 定义域为R的函数f(x)满足f⑴=1,且f(x)的导函数f ' (x)>?，则满足2f(x)1} D. {x| x>1}n 120. 函数 f (x) = sinx + 2xf '(石),f ' (x)为 f (x)的导函数，令 a= — 2, b= log 32，则下列3 2关系正确的是( )B. f(a)f (b)C. f(a) = f(b)321. 若关于x的方程x - 3x+ m^ 0在［0,2］上有根，则实数 m的取值围是( )A. [ — 2,2] B. [0,2]C. [ — 2,0] D. ( —s,— 2) U (2 ,+^ )1 3 1 222. 已知函数f(x) = 3ax + 2ax — 2ax+ 2a + 1的图象经过四个象限，则实数 a的取值围是3 228 .设函数 f(x) = ex- ax— 2.(1) 求f (x)的单调区间；(2) 若a= 1, k为整数，且当x>0时，(x— k)f ' (x) + x+ 1>0,求k的最大值.1.证明专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案 xcos x— sin xf' (x)= 厂xn，又 x € —,n ,则 cos x<0 , • xcos x — sin” n• f ' (x)<0, • f (x)在—,x<0,n上是减函数.2.解 (1)f' (x) = 3x2— 1 = ( ：3x + 1)( ：3x — 1),申和申'+O ,令 f ' (x)>0，则 x €——OO令 f ' (x)<0,则 x € —亠3 , ‘3•- f(x) = x3 — x的单调增区间为 一O ,—3,+O ,单调减区间为3—T, T .x € ( —o0),(—O, 0).(2) y' = ex— 1，令 y' >0 ,即 ex— 1>0 , 则 x€ (0 , +o )；令 y‘ <0 ,即 ex — 1<0 ,贝U••• y = ex— x+ 1的单调增区间(0, +o ),单调减区间为2 2 23. 解 v•函数 y = f (x) = x — In x 的定义域为(一o , 0) U (0 , +o ),又 f ' (x) = 2x —-=x22 x — 1 2 x — 1 x + 1x x ,• f ' (x) , f(x)的取值变化情况如下表：—(—O,— 1)—1(—1,0)(0,1)1(1 ,+O )f '(—)一0+一0+f(x)1/1/2 2由上表可知，函数 f (x) = x — In x在区间(一1,0) , (1 ,+o )上单调递增；在区间(一O , — 1) , (0,1)上单调递减.3” ， a 2x — a4. 解 f (x) = 2x— 2= 2—.x x要使f(x)在[2 , +o )上是单调递增的，则 f' (x) > 0在x € [2 , +o )时恒成立， 2x3— a即一茫 > 0在x € [2 ,+o )时恒成立.2 3-—>0，…2— — a》0 ,3• a< 2x在x € [2 , +o )上恒成立.3• • aW (2 — ) min.••• — € [2 , +O ) , y= 2x3是单调递增的，3• - (2 x) min = 16, - - aw 16.2x3 一 16当 a= 16 时,f ' (x)= 二 > 0(x€ [2 , +O ))有且只有 f' (2) = 0, • a 的取值围是—(—O, 16].5. 解(1) v函数f (x)的导函数f' (x) = 3x2 + 2bx+ c,由题设知—12 时f ' (x)>0 ,• f (x)单调递增•所以x= 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.10. ［答案］B［解析］女口 y = x3, y'= 3x2, y' I x= 0= 0，但x = 0不是函数y= x3的极值点. + 2 = — 3b, (—1) x 2= 3，3即 b=— — c =— 6.(2) ••• f ' (x) = 3ax2+1，且f (x)有三个单调区间，•方程f' (x) = 3ax2 + 1= 0有两个不等的实根，丄 2--A = 0 — 4x 1 x 3a>0,. • a<0.• a的取值围为(一a, 0).1 26. 审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数 f (x) = ln( x + 1) — x + qx ,证明f (x)在(0，+a )上单调增，由f(x)>f(0) = 0证得.1 2 ［规解答］令 f (x) = ln( x + 1) — x + qx , (4 分)1 x2贝U f' (x) = — 1 + x= .(6 分)1 + x 1 + x当 x€ (0，+a )时，f' (x) > 0,• f (x)在(0，+a )上是增函数.(8分)于是当 x>0 时，f (x) >f (0) = 0,1 2•当x> 0时，不等式ln( x + 1) >x — qx成立.(12分)1 3 n7. 证明 设 g(x) = x— sin x— ©x , x€ 0,—,2X- 21 2 2Xg' (x) = 1 — cos x —= 2 sin 3n■/ x € 0,—，二 0 vsin xv x,••• sin —x v2••• g' (x) v0,n• g( x)在0, ■— 上单调递减,ii. ［答案］—e［解析］y'= (x + l)e0, x=— 1.当 x<— 1 时，y' <0,当 x>— 1 时 y' >0ymin = f ( — 1)12. ［答案］'3 — 1［解析］f' (X)x2 + a— 2x：-x + a~22a — x~2 .x + a当 x> a时 f' (x)<0 , f (x)在(a, )上是递减的，当一a0,f(x)在(—a, a)上是递增的.当x= a时，f( a)=/=#，1 a=¥<1，不合题意..f ( x) max= f (1) = 1— = ¥，解得 a= 3— 1.1 + a 3 ■13. ［答案］Dn［解析］T f (x)的图象关于x = 对称，4nx+7)，.f (0) = f( 2)，.— b= a,.f (x) = asin x — bcosx = asin x + acosx = 2asin(3 n 厂 3 n n 厂 厂.f ( — — x) = 2asin( -4- — x + ：) = , 2asin( n — x) = 2asin x.3 n显然f ( ~ — x)是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.14. ［解析］(1)由导数公式表和求导法则得， f' (x) = 3x2+ 2ax+ b,因为f (x)在x= 0处取得极值，所以f' (0) = 0，即得b= 0.2 2 2(2)令 f ' (x) = 0，即 3x + 2ax= 0,解得 x = 0 或 x = — ~a.依题意有—^a>0.因为函数在单调区间［0,2］和［4,5］上具有相反的单调性，2所以应有 2w — Ta< 4,解得—6w aw — 3.315. ［答案］B［解析］设截去的小正方形的边长为 xcm,铁盒的容积为 Vsmf,由题意，得 V= x(48 —2x) (00,4a［解析］ 设f (x) = ax2 + bx + c,‘••二次函数y= f (x)的图象过原点，二b=2ax+ b,由 y = f ' (x)的图象可知，2a<0, b>0, a<0, b>0, >0,2a故选A.18. ［答案］A［解析］f(x)在(—g, 0)上为增函数，在(0 , +s)上变化规律是减t增t减， 因此f (x)的图象在(—g, 0)上，f ' (X)>0，在(0，+g )上f '(X)的符号变化规律是负t正t 负，故选A.19. ［答案］B1［解析］ 令 g(x) = 2f (x) — x— 1,t f ' (x)>-,• g' (x) = 2f ' (x) — 1>0, • g(x)为单调增函数,• f(1) = 1,二 g(1) = 2f(1) — 1 — 1 = 0,•••当 x<1 时，g(x)<0,即 2f(x)f(log 32),即 f(a)>f(b) •21. ［答案］A3 2［解析］ 令 f (x) = x - 3x+ m 贝y f ' (x) = 3x -3 = 3(x +1)( x- 1)，显然当 x<- 1 或 x>1 时，f ' (x)>0, f(x)单调递增，当一10,m-2<0,-- --—2 w m^ 2.2 + 0,6 322. ［答案］(-5, - 16)2［解析］f ' (x) = ax + ax - 2a= a(x-1)( x+ 2),由f(x)的图象经过四个象限知，若 a>0,则f — 2 >0, f — 2 <0,此时无解；若a<0,则f 1 <0, f 1 >0,6 3^63•••— 5
)，T切线经过点 A(1 , m , • m- (X0— 3X0)= (3xo— 3)(1 - x), • m=- 2x0 + 3x一 3, M =-6x2 + 6X0,「.当01时，此函数单调递减，当x°= 0 时，m=- 3,当 X0= 1 时，m=-2，•当一30 时，e2x>1, f' (x) = 2(1 - e2x)<0 ,所以函数f(x) = 1 + 2x-e2X在(0,+^ )上是减函数.当 x>0 时，f (x)0 时，1 + 2x- e2x<0，即 1 + 2x0,「. X1<0, X2<0.• g(x)>0 ,••• x € (0,+^ ) ,• f ' (x)>0故f(x)在(0,+^ )递增.13° 当 a<0时，A = 8a + 4< 0,即卩 a< — °时，g(x) < 0, • f ' (x) <0. 故f(x)在(0 ,+^ )递减. 当 A >0,即一20,a—a+1 —x! 2a+ 1 小X2= >0a•••令 f ‘(x)>0 , x€ (X1, X2),f ' (x)<0 , x € (0 , X1) U (X2,+^ )• f ( x)在(X1, X2)递增，在(0 , X1)和(X2,+m )上递减. 综上所述：当a> 0时，f (x)在(0,+^ )递增.1当一20时，A >0,此时g(x) = 0的两根xi =a+ 1 — ；2a+ 1a ，X2 =a+ 1 + ：2a+ 1一 a+ 1 + 2a + 1 一 a+ 1 一2a +1在(0 ,X1)和(X2, +^ )递减(其中 X1= , X2= ).a a1当aw—㊁时，f(x)在(0 ,+^ )递减.26. ［分析］如图，设出AD的长，进而求出|AB表示出面积S,然后利用导数求最值.设矩形边长为 AD= 2x，则|AB = y = 4— x2,［解析］3 2即 S= 8x — 2x ,••• S'= 8 — 6x ,2则矩形面积 S= 2x(4 — x )(0< x<2),令 S'= 0,解得 xp 2 , X2= 一2-J舍去)当 °0;当 g0 ,• f(x)在(5 ,+s )递增.5 1 3• f (x)在 x= 5 时取极小值 f(5) = +-— ln5 —-=— ln5.4 4 228.［分析］［解析］ ⑴f (x)的定义域为( —),f ' (x) = e . x x—xe — 1 , e e — x — 2x Z 2 + 1 = x ~e — 1 e — 1由(1)知，函数 h(x) = ex— x— 2 在(0，+g )单调递增.而 h(1)<0 , h(2)>0，所以 h(x) 在(0，+g )存在唯一的零点•故 g' (x)在(0，+g )存在唯一的零点•设此零点为 a,则a € (1,2).当 x€ (0 , a )时，g' (x)<0；当 x€ ( a，+g )时，g' (x)>0.所以g( x)在(0，+g )的最小值为g( a ).又由 g' ( a ) = 0，可得 e" = a + 2,所以 g( a ) = a + 1 € (2,3).由于①式等价于 k0，所以f(x)在(—s,+s )单调递增.若 a>0,则当 x € ( —g, In a)时，f ' (x)<0 ；当 x€ (In a,+^ )时，f ‘(x)>0 ,所以f (x)在(—g, In a)单调递减，在(In a,+^ )单调递增.(2)由于 a= 1，所以(x — k) f ' (x) + x + 1 = (x— k)(e x— 1) + x+ 1.故当 x>0 时，(x— k)f ' (x) + x+ 1>0 等价于x+ 1k0).则 g' (x)=x + 1 令 g( x) = e^y + x,23. 已知函数f (x) = x3— 3x,若过点A(1 , n)( m^— 2)可作曲线y= f (x)的三条切线，则实数 m的取值围为 .三、解答题24 .求证：x>0 时，1 + 2x