用微积分推导简谐运动的位移时间公式已知：以弹簧振子作为研究对象，弹簧振子的质量为m,设所经历的 时间为t,且当t=0时，弹簧振子处于受力平衡位置，弹簧的拉力系 数为k (单位为N/m)，设弹簧振子的初速度为V试推导弹簧振子位 移s与时间t的关系解：设s与t的表达关系为s=s(t)由导数的意义知，s'=s' (t)表示位移s在时间上的变化率，即当时间为t时，弹簧振子的速度v= s '同理，当时间为t时，弹簧振子的加速度a=v '=s" 弹簧振子所受的弹力 F=-ks=ma即, -ks=m s"对该微分方程整理得s"+1 s = 0m其特征方程为九2 + — = 0m显然k和m都为正物理量，所以该特征方程AVO 于是该特征方程具有共轭复根九二厶m由二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式得,原微分方程的通解为s = C cos :1■It + C sinjEtm 2 . m其中c、c都是与t无关的常量12由已知条件得，当t=0时，s=0,于是c〔=o所以s•丨—sin tm对s进行求导得v二C 3 cos ：'It2 m m由已知条件得，当t=0时，V=V0 所以C2所以，最终确认简谐运动的位移时间公式为:m ks = v sin t0 k . m由该公式可以得出，该简谐运动的振幅为v匹，振幅与初速度的大 0屮k小、弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关。
该简谐运动的周期为，周期与弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关，与初速度大k小无关。