第5讲抛物线性质平面内与一个定点F和一条定直线1 （点F不在直线1上）的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物 线的准线/= - 2pj (42py宀? 2py方务P 的几 WSLX : /I? ??
0)VI HR5t?V 1険点0(0.0)11制2 1方程pX"-—2P x?—P y 2范BB农 0. yeRjtsO . yeRyAO. jte RysO . jr?R开口方向向右向左A士向下ik*g庆*, 具)1吩昨丐1吩？恥丐1吩M丐|吩?风丐设虫3足过拋物线V = 2pKp >0僥点尸的弦，若虫3.71 ），仅勺，力），咖弦 &3的翩角?则秒杀技巧(2)|初』厂1 ? cos a⑶弦长 =x 1 + x 2*p=112⑷ 一 ?一=-.l + cos2p%in 2aI刖I砂P（5）以弦〉13为育径的同与曲相 切考点一抛物线的左义及运用1.已知抛物线y2=x 土的点M到其焦点的距离为2,则M的横坐标是_o_7【答案】-4【解析】抛物线v2=x焦点F （丄,0）,准线方程为x =〜92. 已知抛物线 C:F=12y上一点P,直线/: y = — 3,过点P作PA丄/,垂足为兴，圆 M :(x-4) 2 + >-2 = 1上有一动点N,则IPAI + IPNI最小值为 」【答案】4【解析】设抛物线 C的焦点为F，则F(0,3),因为直线/:y = — 3为抛物线的准线，所以\PA\=4PF\,所以I PA I2+1PNI =1 PF I +1PNI N FNI 岁y FM I -1 = +4 _ 1 = 4，当且仅当 N为线段FM与圆M的 交点时，等号成立.3. 已知第四象限内抛物线尸=16x 土的一点M到)'轴的距离是该点到抛物线焦点距离的］,则点M的坐标为 。
答案］(1,-4)【解析】设M(x,y),贝9根拯题意及抛物线的定义可得；x = l(x + 4),解得x = l,代入抛物线方程得：y = 土绿点M在第四象限，所以y = Y,故4. 若点A为抛物线y2 = 4x ±—点，F是抛物线的焦点，L4FI=6，点P为直线 上的动点，贝VIPAI + IPFI的最小值为_「【答案】2八27【解析】由抛物线的泄义得：IAFI= £ +£心+ 1 = 6,心=5,2代入y2 = 4x得：y/=20,不妨设A(5,2巧)，点F关于直线 的对称点为E(— 3,0),+ +考点二抛物线的标准方程1. 抛物线A'22 2=2/zr(/?>0)的焦点是双曲线 x-y = p的一个焦点，贝U " 答案】 8【解析】抛物线y2=2px{p>0)的焦点为 牛0 ,双曲线 X2-/=p,7jy-y = l,贝 U c2=2 〃 ,C = Q?焦点为：(Q , 0)或(一阿 7,0),所以有-=5A7,解得〃 =0或p = 8,又因为p>0,所以/; = 8,22.已知4, 3是过抛物线r = 2px (P> 0)焦点F的直线与抛物线的交点，0是坐标原点，且满足乔=2 丽， SSOAB=~\AB\A 贝抛物线的标准方程为 -【答案】 y2 = 4x【解析】设 A(xryAB(x2.y 2)9乔=2 而,贝〉1=一 2)， 2，又由抛物线焦点弦性质，儿儿 =一"‘，所以一 2儿2 =~F2，得)，2 =斗P，=迈P，113 2 1 = = —I\AF\ \BF\ 2\BF\ p '339得阿=才 p]AF\ = - p}AB\ = -p.SAOAB冷彳？( |川+|儿))=芈宀半专P，得P = 2 ,抛物线的标准方程为y2 = 4A-考点三直线与抛物线的位置关系1.已知抛物线的方程为/=4x,直线/过泄点P( — 2,1),斜率为R, R为何值时，直线/与抛物线y2 = 4x(1) 只有一个公共点：(2) 有两个公共点：(3) 没有公共点？【答案】(1)k= 0或k=A-或R= — 1,⑵一lvk<2且£工0,2 2 2(3)【解析】设直线/的方程为：y-l=gr + 2),即y = k(x + 2) + I.联立 V+ + =>k2x2 +(4k2 +2k-4)x + 4k 2 +4k + \ = 0)广=4x(1) 因为直线与抛物线只有一个公共点，2 2 2 2等价于方程 k2x2 +(4k2+2k-4)x + 4k2+4k + \ = 0 只有一个根.当R=o时，rx+l = O,符合题意.当 R H 0 时，△ (4 疋 + 2k — 4)2 -4k2{4k2 +4k +1) = 0 ,整理得：2疋+比一 1 = 0,解得k =-或£ =一1?2综上可得：£=0或 R = 1 或£=一1?2(2) 因为直线与抛物线有两个公共点，22 2 2等价于方程 k2x2+(4k2+2k-4)x + 4k 2 +4k + l = 0 只有两个根 .所以"0 , △ (4 疋 + 2k -4)2 -4 疋(4/+4R +1) > 0 ,即 2dlvO, 解得一 i0, 解得或 Rv-1?22. 设双曲线書一£ =l(a >0,b>0) 的渐近线与抛物线卩 =钗2 + 2 相切，则该双曲线的离心率为 o【答案】 V5【解析】双曲线渐近线>Jy = 土x ,不妨取y=±厂 联立渐近线与抛物线方程得x“x + 4= 0 ■-渐近线与抛物线相切？？？（一 ¥）2-4 X 1 X 4 = 0 . ?.誉=16 ???b2 = 4a22c = a + b2 = Sa2 e == V5 O3.已知抛物线C的方程为x2=Ay,过点A(O,-I)和点B(f,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数/的取值范围是 「答案】(一8,-血)5血,+00)【解析】拯已知可得直线 A3的方程为『=—X-1 ,联立直线与抛物线方程，得｛ \ ,消元整理，t 2 1得2x2--x + I = 0,由于直线与抛物线无公共点，即方程 2x2--x+l= 0无解，故有(--)2-8<0,解ttt得/＞血或tv-y/2-4.过点(0,1)与抛物线y22px(p > 0)只有一个公共点的直线的条数是「【答案】3【解析】易知点(0,1)在抛物线y2=2px(p>0)外，过(0,1)可作抛物线的两条切线，过(0,1)与对称轴(％轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点.共有3条.4.已知直线l:y = mx- 4和抛物线C:y2 =8x,若/与C有且只有一个公共点，则实数加的值为【答案】。
或冷【解析】当斜率 m = 0时，直线I : y = nu- 4平行于x轴，与抛物线y2 = 8x仅有一个公共点？当斜率不等于0时，把y = mx — 4代入抛物线 y = 8x得nrx + (-&"- 8)x +16 = 0 ,由题意可得，此方程有唯一解，故判别式厶=(一 8加一 8)' - 4 x 1 6朋=0 ,故答案为:或斗5?若直线 与抛物线y2 = 4x有且只有一个公共点，则 k的值是 【答案】0或1【解析】①当直线y =也+1与X平行时，方程为y = i, k=0.与抛物线y2 = 4x只有一个公共点，坐标y 得 k2x2+(2k-4)x + \ = 0,②当kwO时，方程y = d+i与抛物线方程联立，消去△ = (2 -4)2-4/=0,解得 k = \,切线方程为y=A + i,综上，k=0或1,故答案为：0或1.6. 若直线2x-cy + \ = 0是抛物线x2 = y的一条切线，贝 2 = 【答案】一 1【解析】联立直线和抛物线得到 2xcy\ 0 =>cx2-2X-1 = 0 =>A = 0=>C = -1.v故答案为：-1-7. 已知直线y = (d + l)x — l与抛物线护=列心0)恰有一个公共点，贝也 = .4【答案】一二或一 1【解析】当a + \ = 0时，即当 时，直线的方程为y = — I,抛物线的方程为y2 = -x ,f y = — 1 fx = 1联立直线与抛物线的方程彳- ,解得彳「此时直线与-一？空斗行.辽—抛物线只有一个交点： 当d + IHO且QH0时，即当a—V = X. 丫 4得(“ + 】))"一flv "~z7 = 0 ♦则△=日 + 4(? (c +1} = c! + 4) = 0* 解得 u =—二1 且时，联立彳4 4 因此， d =-二或_1. 故答案为：一二或一 1?。