单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,,*,§2.4 导集, 闭集, 闭包,,给定一个子集, 拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同, 可以对它们进行分类处理.,,,,定义2.4.1,设 X 是一个拓扑空间, A X,,如果点 x∈X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于x的点, 即 U∩(A-{x})≠ , 则称点 x 是集合 A的一个凝聚点或极限点.集合 A 的所有凝聚点构成的集合称为 A 的导集, 记作 d(A).如果 x∈A并且 x 不是 A 的凝聚点, 即存在 x 的一个邻域U 使得 U∩(A-{x})＝ , 则称x为A的一个孤立点.,如果点 x∈X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于x的点, 即 U∩(A-{x})≠ , 则称点 x 是集合 A的一个凝聚点或极限点.集合 A 的所有凝聚点构成的集合称为 A 的导集, 记作 d(A).如果 x∈A并且 x 不是 A 的凝聚点, 即存在 x 的一个邻域U 使得 U∩(A-{x})＝ , 则称x为A的一个孤立点.,,1,,,例2.4.1,离散空间中集合的凝聚点和导集.,,设 X 是一个离散空间, A 是 X 中的一个任意子集.由于 X 中的每一个单点集都是开集, 因此如果 x∈X, 则 X 有一个邻域 {x}, 使得 , 于是 x 不是 A 的聚点.以上论证说明, 集合 A 没有任何一个凝聚点, 从而 A 的导集是空集, 即d(A)＝ .,,,2,,定理2.4.1,设 X 是一个拓扑空间, A X,,,,,(l) d( )= ；,,,,(2) A B,则 d(A) d(B);,,,(3) d(A∪B)＝d(A)∪d(B)；,,,,4) d(d(A)) A,∪,d(A),,,3,,定义2.4.2,设 X 是一个拓扑空间, A X.如果 A的每一个凝聚点都属于 A, 即 d(A) A, 则称 A 是拓扑空间 X 中的一个闭集.,,,例如, 根据例2.4.l 和例2.4.2 中的讨论可见, 离散空间中的任何一个子集都是闭集, 而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.,,定理 2.4.2,设 X 是一个拓扑空间, A X.则 A是一个闭集, 当且仅当 A 的补集 是一个开集.,,,4,,例2.4.3,实数空间 R 中作为闭集的区间.,,设a,b R, a