高一数学集合知识点归纳及典型例题一、、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系 及集合的运算等在进行集合间的运算时要注意使用 Venn 图本 章 知 识 结 构集合的概念列举法集合的表示法集合特征性质描述法包含关系真子集子集集合与集合的关系交集相等集合的运算并集补集1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一 般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构 成的集合（或集）”理解这句话，应该把握 4 个关键词：对象、确定的、不同的、整体对象――即集合中的元素集合是由它的元素唯一确定的整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系不同的――集合元素的互异性2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的我们理解起来并不困难我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做 Φ理解它时不妨思考一下“0 与 Φ” 及“Φ 与{Φ}”的关系几个常用数集 N 、 N* 、 N 3、集合的表示方法＋、 Z 、 Q、 R 要记牢。
1） 列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们 需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}●●注意 a 与{a}的区别注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”2） 特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示 出来就行了但关键点也是难点学习时多加练习就可以了另外，弄清“代表元素”也 是非常重要的如{x|y＝x2 }， {y|y＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系U U U 例 1. 已知集合， 得：若 得 ：{ . 例 3. 已知集合且 B A，求 a 的值从属”关系是元素与集合之间的关系包含”关系是集合与集合之间的关系掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的 概念，学会正确使用“ ”等符号，会用 Venn 图描述集合之间的关系是基本要求●注意辨清 Φ 与{Φ}两种关系5、集合的运算集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。
在这里，我们学习了三种创造新集合 的方式：交集、并集和补集一方面，我们应该严格把握它们的运算规则同时，我们还要掌握它们的运算性质：A U C A =UA I B =B I A A I A =AA IF =F I A =F A Í B Û A I B =AA U B =B U A A U A =AA U F =F U A =A A Í B Û A U B =BA I C A =FC (C A) =AU UA Í B Û A I C B =F Û B U C A =UU还要尝试利用 Venn 图解决相关问题二、典型例题A ={a +2,(a +1)2 , a 2 +3a +3} 解：Q1Î A\根据集合元素的确定性，得：，若1ÎA ，求 aa +2 =1,或（a +1）2=1,或a 2 +3a +3 =1若 a＋2＝1， 得:a =-1， 但此时a2+3a +3 =1 =a +2，不符合集合元素的互异性若(a +1)2 =1 a =0,或 - 2但a =-2时，a 2 +3a +3 =1 =(a +1)2，不符合集合元素的互异性a 2 +3a +3 =1, a =-1, 或－2。
但 a =-1时 , a +2 =1; a =-2时，( a +1) 2 =1 综上可得， a ＝ 0，都不符合集合元素的互异性小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据确定性是入手点，互异 性是检验结论的工具例 2. 已知集合 M＝x ÎR | ax 2 +2x +1 =0中只含有一个元素，求 a 的值解：集合 M 中只含有一个元素，也就意味着方程 ax2 +2x +1 =01x =-只有一个解1 ）a =0时 , 方程化为 2 x +1 =0，只有一个解2（2 ）a ¹0 时 , 若方程 ax 2 +2 x +1 =0 只有一个解需要 D=4 -4a =0, 即 a =1综上所述，可知 a 的值为 a＝0 或 a＝1【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另 外多体会知识转化的方法A ={x | x 2 +x -6 =0}, B ={x | ax +1 =0},解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若 B A，则 B＝Φ，或{－3}，或{2}若 B＝Φ，即方程 ax＋1＝0 无解，得 a＝01 21 2例 5. 设集合（1） 若A I B =F（ 2）若， 则 B A，ï Í { F}② 若 ， 则1若 B＝{－3}， 即方程 ax＋1＝0 的解是 x ＝ －3， 得 a ＝3。
若 B＝{2}， 即方程 ax＋1＝0 的解是 x ＝ 2， 得 a ＝-121 1-综上所述，可知 a 的值为 a＝0 或 a＝ 3 ，或 a ＝ 2 【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤例 4.已知方程 x 2 +bx +c =0 有两个不相等的实根 x ，x设 C＝{x ，x }，A＝{1，3，5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若1 2.A I C =F, C I B =C1 2，试求 b， c 的值解：由C I B =C Þ C Í B， 那么集合 C 中必定含有 1，4，7，10 中的 2 个又因为A I C =F，则 A 中的 1，3，5，7，9 都不在 C 中，从而只能是 C＝{4，10}因此，b＝－（x ＋x ）＝－14，c＝x x ＝40【小结】对A I C =F,C I B =C 的含义的理解是本题的关键A ={x | -2 £x £5}, B ={x | m +1 £x £2 m -1} ， 求 m 的范围；，（2） 若A UB =A， 求 m 的范围解：（1）若A I B =F，则 B＝Φ，或 m＋1>5，或 2m－1<－2当 B＝Φ 时，m＋1>2m－1，得：m<2 当 m＋1>5 时，m＋1≤2m－1，得：m>4 当 2m－1<－2 时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ 综上所述，可知 m<2， 或 m>4A U B =A Í若 B＝Φ，得 m<2ì m +1 ³-2若 B ≠ Φï2m -1 £5 ím +1 £2m -1，得：2 £m £3综上，得 m ≤ 3【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。
例 6. 已知 A＝{0，1}， B＝{x|x A}，用列举法表示集合 B，并指出集合 A 与 B 的关 系解：因为 xÍA，所以 x ＝ Φ， 或 x ＝ {0}， 或 x ＝ {1}， 或 x ＝ A，于是集合 B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B 三、练习题1. 设集合 M＝{x | x £17}, a =4 2,则（）2.A.a ÎM B. a ÏM 有下列命题：① 是空集C. a ＝ M D. a > Ma Î N, b Î N 100B ={x | Î N , x Î Z}a +b ³2③集合{x | x 2 -2x +1 =0}有两个元素 ④ 集合x为无限集，其中正确命题的个数是（A. 0）B. 1 C. 2 D. 32 A Í Bì 1 2 ï í î î ， 或p ³43. 下列集合中，表示同一集合的是（ ） A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）}B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1} D.M＝{1，2}， N＝{2，1}4. 设集合M ={2,3, a 2 +1}, N ={a 2 +a -4,2a +1}，若 M I N ={2}， 则 a 的取值集合是（ ）1{-3,2, }A.B. {－3}1{-3, }C. 2 D. {－3，2}5. 设集合 A ＝ {x| 1 < x < 2} ， B ＝ {x| x < a} ， 且 ， 则实数 a 的范围是（ ）A.a ³2B.a >2C.a £1 D. a >1y{(x, y) | =1}6. 设 x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝ x ， 则集合 A，B 的关系是（ ）A. A B B. B A C. A＝B D. A B7. 已知 M＝{x|y＝x2－1} ， N＝{y|y＝x2－1}， 那么 M∩N＝（ ）A. Φ B. M C. N D. R8.B＝已知 A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合9.若A ={x | x 2 -3x +2 =0}, B ={x | x 2 -ax +a -1 =0},且B Í A，则 a 的值为10. 若{1，2，3} A {1，2，3，4，5}， 则 A＝11. 已知 M＝{2，a，b}， N＝{2a，2，b2}，且 M＝N 表示相同的集合，求 a，b 的值12. 已知集合 围。
A ={x | x 2 +4x +p <0}, B ={x | x 2 -x -2 >0}且A Í B,求实数 p 的范13.已知A ={x | x 2 -ax +a 2 -19 =0}, B ={x | x 2 -5x +6 =0}，且 A，B 满足下列三个条件：①A ¹B②A U B =B③ ΦA I B，求实数 a 的值四、练习题答案1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C8. {0，1，2}9. 2，或 310. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}ìa =2a ìa =b 2 ìa =0 ìa =0a =ïí14í í11. 解：依题意，得： îb =b 或 îb =2ìa，解1得：a =ìa =0 í 14 ïb =结合集合元素的互异性，得 îb=1 或 î 2 í íb =0 b =1，或ïb =î 212. 解 ：B＝{x|x<－1， 或 x>2}① 若 A ＝ Φ，即D=16 -4 p £0，满足 A B，此时或 小根（ 舍），解p ³② 若A ¹F，要使 AB，须使大根-2 +4-p £-1 -2- 4-p ³23 £p £4得：所 以13. 解：由已知条件求得 B＝{2，3}， 由 而由 ①知 A ¹B ，所以 A B。
A U B =B，知 AB又因为 ΦA I B，故 A≠Φ，从而 A＝{2}或{3}当 A＝{2}时，将 x＝2 代入 \ a =-3或5x 2 -ax +a 2 -19 =0 ，得4 -2a +a 2 -19 =0经检验，当 a＝ －3 时，A＝{2， － 5}; 当 a＝5 时，A＝{2，3}都与 A＝{2}矛盾当 A ＝ {3}时，将 x＝3 代入x2-ax +a2-19 =0，得9 -3a +a 2 -19 =0 \ a =-2或5经检验，当 a＝ －2 时，A＝{3， － 5}; 当 a＝5 时，A＝{2，3}都与 A＝{2}矛盾 综上所述，不存在实数 a 使集合 A， B 满足已知条件”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。