第 34题 三角恒等变换I．题源探究·黄金母题例1．求函数的周期，最大值和最小值．【解析】，故所求函数的周期为最大值为2，最小值为．精彩解读【试题来源】人教版A版必修4第140页例3．【母题评析】本题考查简单的三角恒等变换、三角函数的性质（周期性、最值）．【思路方法】运用辅助角公式化为一个角的三角函数．II．考场精彩·真题回放例2．【2017北京理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若，=___________．【答案】【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，，这样例3．【2017江苏】若 则 ▲ ．【答案】 【解析】．故答案为．例4．【2017山东】已知，则A． B． C． D．【答案】D【解析】 ，选D．【命题意图】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、倍角公式、诱导公式等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】三角函数求值：①给角求值：将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．例5．【2016高考浙江理数】已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．【答案】，．【解析】，【命题意图】本题考查降幂公式、辅助角公式，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和．III．理论基础·解题原理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）（）．2．二倍角的正弦、余弦和正切公式：（1） 变形： ．（2）．变形如下 升幂公式： 降幂公式：（3）．3．简单的三角恒等变换：（1）注意正切化弦、平方降次；（2）辅助角公式：（其中辅助角所在象限由点的象限决定，)．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是以选择题或填空题的形式出现，难度中等，也可以是解答题，此时难度较大，主要考查学生的分析问题解决问题、转化与化归等综合能力．【技能方法】解决此类问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中，变换的基本方向有两个，一是“变名”，二是“变角”．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数基本关系式、倍角公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【易错指导】三角函数的解答题往往从三角函数的图象到性质，再到三角恒等变换等综合设计，其中对三角函数式进行变换是解题的先决条件，在解题时一定要注意变换的等价性和变换的准确性．V．举一反三·触类旁通考向1 两角和与差的三角函数公式例6．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知均为锐角， ，则=（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知都为钝角， 答案为A点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等例7．【吉林省百校联盟2018届高三TOP20九月联考】已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】B例8．【2017届广州省惠州市高三第一次调研科数学】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A．例9．【2017届河北省定州中学高三上周练一数学】式子的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B考向2 二倍角公式例10．【2017广州一模】已知，且，则（ ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】．选C．例11．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知，则（ ）A． B．3 C．0 D．【答案】B【解析】，故选B．考向3 辅助角公式例12．【2017上海普陀二模】若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 ．【答案】【解析】将化成，即，因为，所以， ，即；故答案为．例13．【2017福建泉州二模】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的取值范围是__________．【答案】考向4 公式的活用（降幂扩角公式、升幂缩角公式、正切公式的活用）例14．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知角的终边经过点，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以；则；故选C． 例15．【2017辽宁六校协作体】函数f(x)=sinx(sinx+cosx)−在区间 (，)上的零点是______．【答案】【解析】函数的解析式为据此可知，函数在区间 (，)上的零点是．考向5 三角函数知角求值例16．【2018河北武邑二研】下列式子结果为的是（ ）①；②；③；④．A．①② B．③ C．①②③ D．②③④【答案】C对于③，；对于④，，∴下列式子结果为的是①②③．故选C．点睛：本题考查三角函数的恒等变换，根据式子的结构特点合理选择三角公式即可．例17．【2017湖南模拟】计算的值等于__________．【答案】【解析】由知，原式=，故填．考向6 三角函数知值求值例18．【2018湖南益阳、湘潭9月调研】已知，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】 ，故选D．例19．【2018河南省林州模拟】已知锐角满足，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C例20．【2018吉林百校联盟九月联考】已知，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得： ，又，∴，则．故选D 例21．【2018河北石家庄二中八月模拟】已知，则 ( )A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得： 故选：B例22．【2018南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于( )A．7 B． C．1 D．0【答案】A【解析】因为，且为第三象限角，所以本题选择A选项．例23．【2017江西南昌二模】已知，则_________．【答案】．例24．【2017福建厦门第一中学届高三高考考前模拟】已知 ，则 __________．【答案】【解析】例25．【2017南京、盐城二模】若sin(α－)＝，α∈(0， )，则cosα的值为________．【答案】【解析】由题意得，因为，又，则．例26．【2017江苏南京模拟】已知角的终边上有一点，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）3；（2）【解析】【试题分析】（1）先依据正切函数的定义求出；（2）依据求得，继而求出 ．考向7 三角函数知值求角例27．（2016高考上海理数】方程在区间上的解为___________ ．【答案】【解析】，即，所以，解得或（舍去），所以在区间上的解为． 【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解．． 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等．例28．（2015-2016学年内蒙古赤峰二中高一上期末】若锐角满足，则 ．【答案】考向8 三角恒等变换与三角函数性质的综合例29．例．【2018辽宁六校协作体】已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，将其图象向右平移个单位后得：，由其关于轴对称，则，由得，即，∵，∴，∴，则在区间上的最小值为，故选C．例30．【2017江苏无锡模拟】若动直线与函数的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为_________．【答案】点睛：解答本题的关键是运用正弦、余弦的二倍角公式将函数的的形式进行化简，再借助三角变换公式将其化为，运用三角函数的有界性求函数的最大值从而使得问题获解．例31．【2017江苏南京模拟】设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________【答案】【解析】 ，由题意得 ， 因此，则在区间上的最大值为1．点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．例32．【2017江西赣州二模】已知函数图像的两条相邻对称轴为．(1)求函数的对称轴方程；(2)若函数在上的零点为，求的值．【答案】(1) ；(2) ．【解析】试题分析：试题解析： (1) 由题意可得周期，所以所以故函数的对称轴方程为即(2)由条件知，且易知与关于对称，则所以例33．【2017上海普陀二模】已知函数、为常数且)．当时， 取得最大值．(1)计算的值；(2)设，判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】(1) ；（2）偶函数．试题解析：(1) ，其中根据题设条件可得， 即化简得，所以即，故所以(2)由(1)可得， ，即故所以)对于任意的)即，所以是偶函数．例34．【2017河南豫南九校联考】已知函数．（1）若，求的值；（2）求函数的最大值和单调增区间．【答案】（1）=．（2）．， ．（1）∵，∴． 又，∴， ∴， 即， ∴=．（2）由题意知， ∴当时， ． 由， ，得 ， ∴的单调增区间为， ．点睛：解答本题的关键是熟练掌握同角三角函数的之间的关系及灵活运用，同时还要掌握二倍角的正弦、余弦公式及；两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质等知识的综合运用．求解第一问的关键是借助题设建立方程，求出，进而求出分式的值使得问题获解；解答第二问时，先运用倍角公式进行化简，再运用两角和的正弦公式将其化为正弦函数的形式，借助正弦曲线进行求解而获解．例35．【2017浙江嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学五校联考】已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）＝…………4分所以，函数的单调递增区间为： …………7分（2）， ，…………9分又， ， …………11分……14分例36．【20173月北京海淀区模拟】已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）把代入函数解析式即可．（Ⅱ）化简 ，分析角的取值范围，由，得，根据正弦函数的图像与性质得，所以的值域为． 试题解析：（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ） ，由，得，所以， ，所以的值域为．考向9 三角恒等变换与平面向量的综合例37．【2017北京朝阳二模】若平面向量， ，且，则的值是____．【答案】例．【2017江苏淮安二模】如图已知四边形AOCB中，，，点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若求点A的坐标；（2）记向量与的夹角为，求的值．【答案】（1）点坐标为（2） 点坐标为（2）向量 因此， 。
