最后冲刺——平面向量与三角函数1．平面向量例1（1）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 （2）如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则 ， AOBP例1（3）（3）如图，在中，点P是线段OB及线段AB延长线所围成的阴影区域（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面内，实数对所示的区域在直线的下侧部分的面积是 例1（2）（1）解析：展开则的最大值是；或者利用数形结合,考虑向量运算的几何意义． （2）解析：在图中用通过三角形法则将向量设，或表示出来后待定系数可以求得，（3）解析：根据提供的区域找出满足的关系 再求出相应区域三角形的面积．例2．在中,满足,是中点．（1）若,求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值;（3）若点是上一点，且,求的最小值．解析：（1）；（2）设则，可以求得当时取得最小值；（3）设则于是当且仅当时，2．三角函数化简求值例3．(1) 若，则( )A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）解析：,故选C．（2）已知，则的值是 解析：，，3．三角函数的图象和性质例4(1)函数的一个单调增区间是（ ）A． B． C． D．解析：,利用复合函数单调性:同增异减的原则结合二次函数与余弦函数的单调性特征逐个进行检验,选A．（2）设函数为 （ ）A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，数小正周期为 D．非周期函数解析: ,故其周期为．(3)函数的图象为，①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3解析: 时，，故①正确，，②错误，由的图象向右平移得到：，③错误，选B．例5(1)要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A．向右平移个单位B．向右平移个单位 C．向左平移个单位D．向左平移个单位解析: ,由左加右减的原则,故选A．（2）函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ C ） A． B． C． D．例6．已知函数，其图像过点．（1） 求的值；(2) 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值．解析：（1）因为 又 函数图像过点 即 又 （2） 由（Ⅰ）知 ，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，可知因为 所以 因此 故 所以 在上的最大值和最小值分别为和巩固练习一：1．记,那么A． B． - C． D． -解析：,．故选B 2．已知、是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 解析：由条件可以得到与的关系，然后利用夹角公式．选D3．函数的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．解析：,由时函数单调递增，将答案逐个进行检验，选D．4．设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）（A） (B) (C) (D)3 解析：将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为=2k, 即又 ， k≥1故≥， 所以选C5．若，则2x与3sinx的大小关系：( )A．2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x=3sinx D．与x的取值有关解析:由,时, 最小, ,,选D．6．已知A、B、C三点共线，O是这条直线外的一点，满足m 若，则的值为 ． 解析：可以将用向量表示，求得．7．在中，点P是AB上一点，且Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则的值为 ．解析：由可知,然后可以通过几何或向量法得到的值为8．已知<<<,则= ．解析：由，得又∵，∴由得：,所以．9．对于以下命题①存在，使②存在区间使为减函数，且③的一条对称轴为直线④既有最大值、最小值，又是偶函数⑤的最小正周期为以上命题正确的有 ③④ （填 上所有正确命题的序号）10．已知函数的图象的一部分如下图所示． (1)求函数的解析式;(2)当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值．解析:(1)由图像知,,∴,得．由对应点得当时,．∴; (2)=,∵,∴,∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值．11．已知函数．（Ⅰ）求函数的周期和最大值；（Ⅱ）已知，求的值．解析：（Ⅰ）＝．∴周期为， 最大值为6 （Ⅱ）由，得．∴． ∴， 即 ，∴． 12． 如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．解析:（1）将，代入函数得，因为，所以．又因为，，，所以，因此．（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．又因为点在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．13．已知：，（）．(Ⅰ) 求关于的表达式，并求的最小正周期；(Ⅱ) 若时，的最小值为5，求的值．解析：(Ⅰ) ……2分 ． 的最小正周期是． (Ⅱ) ∵，∴． ∴当即时，函数取得最小值是． ∵，∴． 5．解三角形相关问题例7（1）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（A） （B） （C） （D）解：由正弦定理得所以cosA==，所以A=300（2）满足条件的三角形的面积的最大值 解析：设BC＝，则AC＝ ，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取最大值例8．设的内角A、B、C所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围．解析：（1）方法一：在中，有由正弦定理得：又 ，即，又为的内角， 方法二：由得即： （2）由正弦定理得： 于是故的周长的取值范围为．5．三角函数的综合应用例9（1）设直角三角形的两条直角边的长分别为，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有 ①， ②， ③， ④．其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 ．（2）函数的最大值是 ．解析：（1）在直角三角形中，故所以有，故填②④ ．（2）令,, ,由开口向上的局部二次函数的最大值在端点处知．例10．如图，A，B是单位圆O上的动点，且A,B分别在第一、二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，为正三角形．若点A的坐标为，记．xOABy（1）若点A的坐标为，求的值；（2）求的取值范围．解析：（1）20（2）例11．在中，的对边的边长分别为且成等比数列．(1) 求角B的取值范围;(2) 若关于B的不等式恒成立，求的取值范围．解析：（1） 当且仅当时， 故（2 ） ＝ 故原不等式恒成立，即得的取值范围为． 例12．已知函数．（1）求函数的最大值及当函数取得最大值时的集合；（2）在中，分别为内角所对应的边，且对定义域中任意的都有，若，求的最大值．解析：（1）当，函数的最大值为3，此时，所以当函数取得最大值时的集合为（2）对定义域中任意的都有，则，所以，所以所以最大值为．巩固练习二：1．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）；（B）（C） （D）解析：2．设，对于函数，下列结论正确的( ) A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值解析： 单调递减, , ．选B．3．已知k＜－4，则函数的最小值是( )A． 1 B． －1 C． 2k＋1 D．－2k＋1解析：为关于的二次函数，对称轴，关于的二次函数处于二次函数的单调递减区间，,选A．4．已知集合={1,2,3}， ={1,2,3,4，5}，定义函数．若点A(1,(1))、B(2,)、C(3,)，ΔABC的外接圆圆心为，且,则满足条件的函数有( B ) A．15个 B．20个 C． 25个 D． 30个5．对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面 的情形是：若是△内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有 ▲ 6．锐角三角形ABC的三边a,b,c和面积S满足条件，若角C既不是三角形ABC的最大角也不是三角形ABC的最小角，则实数k的取值范围是 解析：由条件可知,通过求导可得7．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等． 设第段弧所对的圆心角为，则____________ 解析：又 ，8．根据三角恒等变换，可得如下等式： 依此规律，猜测，其中 -30 解析：所以9．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解析：（1）的内角和，由得． 应用正弦定理，知．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．10．如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设．(1) 用表示;(2) 如果,求点的坐标；角终边(3) 求的最小值． 解析：(1)如图． （2）由，又,得 ． 由钝角，知 ． （3）【法一】， 又，,的最小值为．【法二】为钝角，, ， ,,的最小值为． 11．已知向量是否存在实数，是若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．解析： 12．已知（1）当时，求函数的最小正周期；（2）当∥时，求的值．解析：（1），∴．又，∴该函数的最小正周期是．（2）∵∴是锐角 ∥ ，即 是锐角 ，即cos2α＝．13．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量满足∥． (1)求sinA＋sinB的取值范围； (2)若，且实数x满足，试确定x的取值范围．解析：(1)因为m∥n ∴，＝，即ab＝4cosAcosB． 因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB． 于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0． 因为0＜A＋B＜π．所以A＋B＝．故△ABC为直角三角形． sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)， 因为＜A＋＜，所以＜sin(A＋)≤1，故1＜sinA＋sinB≤． x＝． (3) 设t＝sinA-cosA()，则2sinAcosA＝， x＝，因为x′＝，故x＝在()上是单调递增函数． 所以所以实数x的取值范围是（）。