第四章 非线性回归模型的线性化,4.1变量间的非线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题 但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关 系，经济变量间的非线性关系比比皆是如大家所 熟悉的柯布-道格拉斯生产函数: 就是一例2020/8/17,1,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能下面我们 通过一些例子来讨论这个问题2020/8/17,2,3,线性模型的含义 线性模型的基本形式是: 线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或 之类的函数形式出现在模型中2）参数的线性 因变量Y是各参数i的线性函数 这种模型称为标准的线性回归模型,非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 之间不存性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型 其一般形式为： 其中 是关于 的p个已知的非线性函数， 是（p+1）个未知参数,4,2 虽然被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间不存性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型 如柯布道格拉斯生产函数模型： 3 如果被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间都不存性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型,5,4.2线性化方法,1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：,2020/8/17,6,1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法 非标准线性回归模型的一般形式为： u 令 则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,7,4.2线性化方法,下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型 （1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,8,例： yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为 yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似 b10, b20, b30) (b10, b3<0),例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）,t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3 (1.8) (12.0) (-2.8) (9.6) R2 = 0.9998, N = 15,( b10, b20) (b1<0, b2 <0,另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
2） 双曲函数模型 双曲函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,12,双曲线函数还有另一种表达方式， yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得yt = a + b xt* + ut 上式已变换成线性回归模型1/yt = a + b/xt + ut,yt = a + b/xt + ut,（2） 双曲函数模型,（3） 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,14,( 0),(< 0),（4） 、S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为： 首先对上式做倒数变换得： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,15,2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法,下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型 （1）指数函数模型,指数函数模型的一般形式为 对上式两边取对数得到 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型；,2020/8/17,17,（1）指数函数模型,（2）幂函数模型（全对数模型） 幂函数模型的一般形式为： 对上式两边取对数得到： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型：,2020/8/17,18,对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型 其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知参数。
试利用天津市1980年1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型19,例. ：天津市GDP函数(教材第95页),首先建立天津市的C-D生产函数模型 i=1，2，17 两边取对数得到： 令 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,20,例.,例4.2：天津市GDP函数,= -10.46 + 1.02 X1t + 1.47 X2t (-8.1) (34.7) (6.2) R2 = 0.9986, DW = 1.7, N = 17 因为1.02 + 1.47= 2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）,。