平面几何中的几个重要定理一． 塞瓦定理塞瓦（GCeva 1647—1743），意大利著名数学家塞瓦定理 设为三边所在直线外一点，连接分别和的边或三边的延长线交于（如图1），则与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理塞瓦定理逆定理 设为的边或三边的延长线上的三点（都在三边上或只有其中之一在边上），如果有 ，则三直线交于一点或互相平行 E例1． 如图3，是内一点，分别与边交于，过三点作圆，与三边交于求证：交于一点例2． 设分别为三边的中点，为内一点，分别交于（如图4）求证：三线共点例3． 以各边为底边向外作相似的等腰三角形（如图5）求证相交于一点二． 梅涅劳斯定理Menelaus（公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作《球论》里梅涅劳斯定理 设的三边或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于三点（如图6），则 梅涅劳斯定理逆定理 设分别是的三边上或它们延长线上三点，若有 ，则三点在同一直线上例4．设的∠A的外角平分线与BC的延长线交于P,∠B的平分线与AC交于Q,∠C的平分线和AB交于R.求证： 三点在同一直线上。
例5． 图8，过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线注： 直线PQR叫做△ABC的莱莫恩（Lemoine）线例6（戴沙格定理）设△ABC和△对应点的连线、、交于一点，这时如果对应边和、和、和（或它们的延长线）相交，则它们的交点D、E、F在同一直线上注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理例7．（牛顿定理）设四边形的一组对边和的延长线交于点，另一组对边 和的延长线交于点，则的中点、的中点及的中点，三点共线三．斯特瓦尔特定理Stewart （1753—1828），英国数学家、哲学家斯特瓦尔特定理 如图，设P是的边上一点，且==，则有 斯特瓦尔特定理另外形式： 或 当时，P为BC的中点，有 （巴布斯定理） （中线定理）当AP是△ABC∠A的平分线是，有 例8．在△ABC中设AB=c，AC=b，c>b，AD是∠A的平分线，E为BC上一点，且BE=CD例9．设为△ABC的重心，M是平面上任意一点，求证： 练习1．△ABC的边BC上任意一点D，设∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E，求证：AD、BE、CF交于一点。
2．已知AD是△ABC的边BC上的高，P为AD上任意一点，直线BP、CP分别交AC、AB于E、F，求证：∠FDA=∠ADE3．△ABC中，内切圆⊙O与各边BC、CA、AB相切于D、E、F，求证：AD、BE、CF交于一点4．在△ABC中，，AM为BC边上的中线，AD为∠A的平分线，顶点B在AD上的射影为E，BE交AM于N，求证：DN∥AB5．设△ABC的三个旁切圆在BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则AD、BE、CF交于一点6．设平行四边形ABCD内一点E，过E引AB的平行线与AD、BC交于K、G，过E引AD的平行线与AB，CD交于F、H，则FK、BD、GH互相平行或交于一点7．一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N，若点与L、M、N关于三边的中点对称，求证三点共线8．设四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为，则相交于一点（或相交于一点）9．设D、E为的边上两点，且，则10．设正三角形ABC边长为a，P为平面上任意一点，证明：三．托勒密定理 Ptolemy（约公元85—165年），希腊大数学家，他的主要著作《天文集》被后人称作“伟大的数学书”。
托勒密定理 设四边形ABCD内接于圆，则有 例1． 如图，设为平行四边形的边上的两点，的外接圆交对角线于例2．设为圆内接正方形，为弧上一点，求证：例3如图，已知圆内接正五边形，若为弧上一点，则 例4．设为同心圆，的半径是的半径的2倍，四边形内接于圆，分别延长交圆于，求证：四边形的周长不小于四边形的周长的2倍三． 西姆松定理R．Simson（1867—1768），英国数学家，曾于1756年校订了欧几里德的《几何原本》 西姆松定理 从的外接圆上任意一点向或它们的延长线引垂线，垂足分别为，则三点共线过点的直线叫做关于点的西姆松线西姆松定理的逆定理也成立，即：从的三边或它们的延长线引垂线，垂足分别为在同一直线上，则点在的外接圆上西姆松定理还可以推广为：（卡诺定理）过的外接圆上一点，引与三边分别成同向的等角直线，与三边交点分别为，则三点共线 例5．设的三条高为，过作的垂线，垂足分别为，则在同一直线上例6．（史坦纳定理）设垂心为，其外接圆上任意一点，则关于点的西姆松线过线段的中点。
例7．如图，设为外接圆上的两点，若关于的西姆松线和交于，则四． 欧拉定理L．Euler（1707—1783），瑞士大数学家，在数学的多个领域都作出过重大贡献欧拉定理 设的外心、重心、垂心分别为，则三点共线，且 我们称的连线为欧拉线例8．如图，设为三边的中点，求证：的外心在的欧拉线上例9．三角形三边中点、三垂线足、三顶点、和垂心所连线的中点，此九点在同一圆周上，此圆称为九点圆，或欧拉圆九点圆的圆心在三角形的欧拉线上，即三角形的外心、重心和九点圆的圆心在同一直线上例10．设为⊙O的内接四边形，依次为、、、的垂心求证：四点在同一圆上，并定出该圆圆心的位置殴拉公式 设三角形的外接圆和内切圆半径分别为和，则两圆的圆心距练习1．若圆内接四边形的对角线互相垂直，则两对边乘积的和等于四边形的面积的两倍2．已知为⊙上两点，为弧的中点，为圆上任意一点，求证：或为定值3．设圆内接四边形的四边，两对角线求证：4．设为⊙的一条弦，为弧的中点，过作弦和分别交于，求证：5．利用西姆松定理证明托勒密定理6．为等边的外接圆上的弧上任意一点，点的西姆松线为（在上，在上），与交于。
求证：7．圆内接四边形中，，过作的垂线，垂足分别为求证：平分8．设为所在平面上一点，过向三边作垂线，垂足为，设的外心为，外接圆的半径为，求证：9．设外接圆的半径为，某旁切圆的半径为，为两圆的圆心距求证：10．设为三边的长，为外接圆的半径，分别为的外心、垂心。