第四章第四章 立体的投影立体的投影 我们把这些简单的几合体称为我们把这些简单的几合体称为基本几何体基本几何体，有时也称为，有时也称为基本形基本形体体，把建筑物及其构配件的形体称为，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体建筑形体在建筑工程中，我们会接触到各种形状的在建筑工程中，我们会接触到各种形状的建筑物建筑物（如：房屋、水塔）（如：房屋、水塔）及其及其构配件构配件（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细分（如：基础、梁、柱等）的形状虽然复杂多样，但经过仔细分析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或相交析，不难看出它们一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割、或相交等形式组合而成等形式组合而成基本几何体基本几何体（按照其表面（按照其表面的组成）的组成）平面立体：表面全部由平面围成的几何体（简称平面体）平面立体：表面全部由平面围成的几何体（简称平面体）曲面立体：表面全部由曲面或曲面与平面围成的几何体曲面立体：表面全部由曲面或曲面与平面围成的几何体（简称曲面体）（简称曲面体）第一节第一节 平面立体的投影平面立体的投影 一、平面立体的投影一、平面立体的投影 平面立体的表面都是平面立体的表面都是平面多边形平面多边形，凡是带有斜面的平面体统称为凡是带有斜面的平面体统称为斜面体斜面体，如棱锥、棱台等。
如棱锥、棱台等绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各多边形表面，即绘绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各多边形表面，即绘制各棱线和各顶点的投影制各棱线和各顶点的投影在平面立体的投影图中，在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表示可见棱线用实线表示，不可见棱线用虚线表不可见棱线用虚线表示，示，以区分可见表面和不可见表面以区分可见表面和不可见表面一）棱柱体（一）棱柱体（1）形体特征形体特征:棱柱的各棱柱的各棱线互相平行，底面、顶面棱线互相平行，底面、顶面为多边形棱线垂直顶面时为多边形棱线垂直顶面时称称直棱柱直棱柱，棱线倾斜顶面时，棱线倾斜顶面时称称斜棱柱斜棱柱2）安放位置安放位置:安放形体时安放形体时要考虑两个因素：要考虑两个因素：一要使形体一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况的工作状况为了作图方便，为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面直于投影面3）投影分析投影分析（二）棱锥体（二）棱锥体（1）形体特征）形体特征:底面是多边形，棱底面是多边形，棱线交于一点，侧棱面均为三角形线交于一点，侧棱面均为三角形2）安放位置）安放位置:底面底面ABC平行于平行于H面。
面3）投影分析）投影分析【例【例4-1】作四棱台的正投影图作四棱台的正投影图 解：（解：（1）分析）分析（2）作图）作图 1）四棱台的上、下底面都与）四棱台的上、下底面都与H面平行，前、面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面2）上、下两底面与）上、下两底面与H面平行，其水平投影反面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线映实形；其正面、侧面投影积聚为直线3）前、后两棱面与）前、后两棱面与W面垂直，其侧面投影积聚为直线；与面垂直，其侧面投影积聚为直线；与H、V面倾斜，投影为缩小面倾斜，投影为缩小的类似形的类似形4）左、右两个面与）左、右两个面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小面倾斜，投影为缩小的类似形的类似形5）四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长二、平面立体上点和直线的投影二、平面立体上点和直线的投影 即在其表面上取点、取线的作图问题即在其表面上取点、取线的作图问题 其作图的其作图的基本原理基本原理就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上。
就是：平面立体上的点和直线一定在立体表面上判断立体表面上点和线可见与否的原则是判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投：如果点、线所在的表面投影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见求解方法求解方法有：有：（一）从属性法（一）从属性法 当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，既可利用线上点的在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性从属性”求解二）积聚性法（二）积聚性法 当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上三）辅助线法（三）辅助线法 【例【例4-2】已知三棱柱的三面投影及已知三棱柱的三面投影及其表面上的点其表面上的点M和和N的正面投影的正面投影m和和n，求作它们的另两个投影，求作它们的另两个投影分析分析：根据已知条件，：根据已知条件，M点必在三点必在三棱柱前右侧的棱面上（因棱柱前右侧的棱面上（因m可见），可见），而而N点必在三棱柱的后棱面上（因点必在三棱柱的后棱面上（因n不不可见）。
可见）作图作图：利用棱柱各棱面的水平投影有积聚性，可向下引投影连接，直：利用棱柱各棱面的水平投影有积聚性，可向下引投影连接，直接找到两点的水平投影接找到两点的水平投影m和和n，然后即可按投影规律求出这两点的侧面投，然后即可按投影规律求出这两点的侧面投影影m和和n例【例4-3】如下图所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点如下图所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的点M、N的正的正面投影，求出另外两面投影面投影，求出另外两面投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图【例【例4-4】已知三棱锥的三面投影已知三棱锥的三面投影及其表面上点及其表面上点K的正面投影的正面投影k和点和点L的水平投影的水平投影l,求出它们的别两个求出它们的别两个投影1、分析、分析 2、作图、作图（1）利用过锥顶）利用过锥顶S的辅助线求的辅助线求K点各投影点各投影（2）利用过）利用过L点且平行于底边的直线为辅点且平行于底边的直线为辅助线求助线求L点的各投影点的各投影【例【例4-5】如左图所示，已知三如左图所示，已知三棱锥的三面投影及其表面上的线棱锥的三面投影及其表面上的线段段EF的投影的投影ef，求出线段的其它，求出线段的其它投影。
投影下面列出了一些下面列出了一些工程中常见到的平面立体的投影图和立体图工程中常见到的平面立体的投影图和立体图，可按，可按前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面立体投影的表达方法和规律立体投影的表达方法和规律第二节第二节 曲面立体的投影曲面立体的投影 一、基本概念一、基本概念 由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体称为由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体称为曲面立体曲面立体圆柱、圆圆柱、圆锥、球和环是工程上常见的曲面立体锥、球和环是工程上常见的曲面立体一）曲线（一）曲线 曲线曲线 曲线曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹平面曲线平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）线、抛物线等）空间曲线空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）二）曲面（二）曲面 曲面曲面 曲面曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。
直线曲面直线曲面：由直线运动而形成的曲面称为由直线运动而形成的曲面称为曲线曲面曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面称为由曲线运动而形成的曲面称为回转体回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体圆柱曲面圆柱曲面是一条直线是一条直线围绕一条轴线始终保围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而持平行和等距旋转而成母线母线圆锥面圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的母线母线球面球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成三）素线与轮廓线（三）素线与轮廓线 形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线素线我们把确定曲面范围的外形线称为我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线轮廓线（或（或转向轮廓线转向轮廓线），轮廓），轮廓线也是可见与不可见的分界线线也是可见与不可见的分界线当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重轮廓线与素线重合合，这种素线称为，这种素线称为轮廓素线轮廓素线。
在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最前边素线、最后边素线最后边素线、最左边素线最左边素线和和最右边素线最右边素线四）纬圆（四）纬圆 由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆既为线，此圆既为纬圆纬圆二、曲面立体的投影二、曲面立体的投影（一）圆柱体的投影（一）圆柱体的投影（1）形体分析）形体分析 圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的2）安放位置）安放位置 我们只研究圆柱轴我们只研究圆柱轴线垂直于某一投影面，底面、顶面为投线垂直于某一投影面，底面、顶面为投影面平行面的情况影面平行面的情况3）投影分析）投影分析 H面投影：面投影：V面投影：面投影：W面投影：面投影：（4）作图步骤）作图步骤 1）用点划线画出圆柱体各投影的）用点划线画出圆柱体各投影的轴线、中心线；轴线、中心线；2）有直径画水平投影圆；）有直径画水平投影圆；4）由）由“高平齐、宽相等高平齐、宽相等”作侧面投影矩形作侧面投影矩形3）由）由“长对正长对正”和高度作正面投影矩形；和高度作正面投影矩形；注意注意：非轮廓线的素线投影不必画出非轮廓线的素线投影不必画出。
二）圆锥体的投影（二）圆锥体的投影（1）形体分析）形体分析 圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的2）安放位置）安放位置 当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投影轮廓也随之确定如右图所示，圆锥轴线垂直于影轮廓也随之确定如右图所示，圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面面，底平面为水平面3）投影分析）投影分析 H面投影面投影 V面投影面投影 W面投影面投影（4）作图步骤）作图步骤 用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；画出底面圆的三面投影底面为水平面，水平投画出底面圆的三面投影底面为水平面，水平投影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长度等于底圆直径；度等于底圆直径；依据圆锥的高度画出锥顶点依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影的三面正投影画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰当素线的投影不是轮廓线时，均不画出当素线的投影不是轮廓线时，均不画出三）圆球体的投影（三）圆球体的投影 1、投影分析、投影分析 圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直径与球径相等。
径与球径相等H面投影的圆面投影的圆a是是 V面投影的圆面投影的圆b是是 W面投影的圆面投影的圆c是是 2、作图步骤、作图步骤 用点划线画出圆球体各投用点划线画出圆球体各投影的中心线影的中心线 以球的直径为直径画三个等以球的直径为直径画三个等大的圆，如右图所示大的圆，如右图所示bac三、曲面立体上点和直线的投影三、曲面立体上点和直线的投影（一）圆柱面上的点和线（一）圆柱面上的点和线 1圆柱面上点的投影圆柱面上点的投影 如右图所示，若已知圆柱面上两点如右图所示，若已知圆柱面上两点A和和B和和正面投影正面投影a和和b，求出它们的水平投影，求出它们的水平投影a、b和和侧面投影侧面投影a、b分析分析：根据已知条件：根据已知条件a可见，可见，b不可见，可知不可见，可知A点在前半个圆柱面上；点在前半个圆柱面上；B点在后半个圆柱面上点在后半个圆柱面上利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到a和和b，然后根据已知二投影求出，然后根据已知二投影求出a和和b由于由于A点在左半圆柱面上，所以点在左半圆柱面上，所以a为可见；为可见；而而B点在右半圆柱面上，所以点在右半圆柱面上，所以b为不可见。
为不可见2圆柱面上线的投影圆柱面上线的投影【例【例4-5】如下图所示，已知圆柱面上的如下图所示，已知圆柱面上的AB线段的正面投影线段的正面投影ab，求其另两面投，求其另两面投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图（二）圆锥面上的点和线（二）圆锥面上的点和线 1圆锥面上点的投影圆锥面上点的投影 圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种：圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种：方法一：素线法方法一：素线法例【例4-6】如下图所示，已知圆锥面上一点如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影的正面投影a，求，求a、a解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 方法二：纬圆法方法二：纬圆法例【例4-7】如下图所示，已知圆锥表面上一点如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影的投影a，求，求a、a解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 2圆锥表面上线的投影圆锥表面上线的投影【例【例4-8】如下图所示，已知圆锥表面上的线段如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影的正面投影，求其另两面投影作圆锥面上线段的投影的方法作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点端点、轮廓线上的点、分界点等等特殊位置特殊位置的点及适当数量的的点及适当数量的一般点一般点，并依次连接各点的同面投影。
并依次连接各点的同面投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图（三）圆球体上的点和线（三）圆球体上的点和线 1圆球体上的点圆球体上的点 由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方便，便，常沿投影面的平行面作相应投影面的常沿投影面的平行面作相应投影面的纬圆纬圆，这样过球面上任一点可以得到，这样过球面上任一点可以得到H、V、W三个方向的纬圆三个方向的纬圆因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影例【例4-9】如下图所示，已知球面上的一点如下图所示，已知球面上的一点A的投影的投影a，求，求a及及a解：解：（1）分析）分析 由由a得知得知A点在左上半点在左上半球上，可以利用水平纬球上，可以利用水平纬圆解题2）作图）作图 2圆球体上的线圆球体上的线【例【例4-10】如右图所示，已知如右图所示，已知属于球体上的点属于球体上的点A、B、C及线及线段段EF的一个投影，求其另两个的一个投影，求其另两个投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 小结小结：求曲面上点的投影的方法主要有：求曲面上点的投影的方法主要有素线法素线法和和纬圆法纬圆法两种，在采用这两种方法时两种，在采用这两种方法时应着重弄清以下概念：应着重弄清以下概念：（1 1）某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上。
某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上2 2）求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影3 3）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的形成规律和特性形成规律和特性第三节第三节 立体表面交线的投影立体表面交线的投影 一、立体表面的截交一、立体表面的截交线线 平面与锥面的交线 圆柱面与锥面的交线 我们把假想用来截割形体的平面，成为我们把假想用来截割形体的平面，成为截平面截平面截平面与形体表面的交线称为截平面与形体表面的交线称为截交线截交线截平面截平面 截交线围成的平面图形称为截交线围成的平面图形称为截面截面（或（或断面断面）截交线截交线截交截交线线断面断面平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性平面立体和曲面立体截交线都具有以下特性：1截交线的形状一般都是截交线的形状一般都是封闭的平面多边形或封闭的平面多边形或曲线曲线2截交线是平面与立体表面的共有线，既在截截交线是平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面是截平面与立体表面共有点的集合。
共有点的集合一）平面立体截交线（一）平面立体截交线 平面立体截交线的特征：平面立体截交线的特征：平面立体截交线是一个平面立体截交线是一个封闭的平面多边形封闭的平面多边形，多边形，多边形的的顶点顶点是平面立体的是平面立体的棱线与截平面的交点棱线与截平面的交点，多边形的，多边形的每条边每条边是平面立体的是平面立体的棱面与截平面的交线棱面与截平面的交线截平面截平面 截交线截交线截交截交线线断面断面求作平面立体截交线的方法有两种方法：求作平面立体截交线的方法有两种方法：（1）交点法：）交点法：即先求出平面立体的棱线、底边与截平即先求出平面立体的棱线、底边与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线连接各交点有一定的原则：连接各交点有一定的原则：只有两点在同一个棱面只有两点在同一个棱面上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可上时才能连接，可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接见棱面上的两点用虚线连接2）交线法：）交线法：即求出平面立体的棱面、底面与截平面即求出平面立体的棱面、底面与截平面的交线1、棱柱上的截交线、棱柱上的截交线【例【例4-11】如下图所示，求作四棱柱被正垂面截断后的投影。
如下图所示，求作四棱柱被正垂面截断后的投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图（3）求作截断面的实形）求作截断面的实形 2棱锥上的截交线棱锥上的截交线【例【例4-12】求作正垂面求作正垂面P截割三棱锥截割三棱锥S-ABC所得的截交线所得的截交线解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图（2）作图）作图【例【例4-13】如图如图4-25所示，求作铅垂面所示，求作铅垂面Q截割三棱锥截割三棱锥S-ABC所得的截交线所得的截交线解：解：（1）分析）分析 3带缺口的平面立体的投影带缺口的平面立体的投影 画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚而画切口轮画带有切口形状的投影时，关键是要把切口轮廓线的投影表达清楚而画切口轮廓线的投影，廓线的投影，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，其实质就是求作切口平面与立体的截交线，切口的截交线就是由数条切口的截交线就是由数条截交线组合而成截交线组合而成例例：完成带切口的四棱柱的投影：完成带切口的四棱柱的投影（图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗（图中双点划线表示立体上被切掉的部分，粗实线表示留下的部分）实线表示留下的部分）解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图【例【例4-14】如右图所示，已知三如右图所示，已知三棱锥及其上缺口的棱锥及其上缺口的V面投影，求面投影，求H面和面和W面投影。
面投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 （二）曲面立体截交线（二）曲面立体截交线（1）平面与曲面立体相交，所得的平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线截交线一般为封闭的平面曲线2）截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的）截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点共有点求曲面立体截交线的方法：求曲面立体截交线的方法：求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线求共有点的方法有：求共有点的方法有：素线法、纬圆法和辅助平面法素线法、纬圆法和辅助平面法曲面立体截交线的特征：曲面立体截交线的特征：平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线有三种情况有三种情况 1圆柱上的截交线圆柱上的截交线 圆柱面上的截交线圆柱面上的截交线截平面截平面P的的位置位置截平面垂直于圆柱轴线截平面垂直于圆柱轴线截平面倾斜于圆柱轴线截平面倾斜于圆柱轴线截平面平行于圆柱轴线截平面平行于圆柱轴线截交线空间截交线空间形状形状圆圆椭圆椭圆两条平行直线两条平行直线投影图投影图【例【例4-15】如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线。
如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 1）求特殊点求特殊点这些点包括轮廓线上的点、这些点包括轮廓线上的点、特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴的端点2）求一般点求一般点为了作图准确，在截交线上特为了作图准确，在截交线上特殊点之间选取一些一般位置点殊点之间选取一些一般位置点3）连点将所求各点的侧面投影顺次光滑将所求各点的侧面投影顺次光滑连接连接 4）判别可见性判别可见性2圆锥上的截交线圆锥上的截交线 当平面与圆锥截交时，当平面与圆锥截交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可产生五种不同，可产生五种不同形状的截交线：形状的截交线：截平面截平面p位置位置截平面垂直于圆锥轴截平面垂直于圆锥轴线线截平面与锥面上所有截平面与锥面上所有素线相交素线相交截平面平行于圆锥面截平面平行于圆锥面上一条素线上一条素线截平面平行于圆锥面截平面平行于圆锥面上两条素线上两条素线截平面通过锥顶截平面通过锥顶截交线截交线空间形空间形状状圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线两条素线两条素线投影图投影图 圆锥面上的截交线圆锥面上的截交线【例【例4-16】如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面P的投影，求截交线的投的投影，求截交线的投影及实形。
影及实形解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 1）求长轴端点）求长轴端点 2）求短轴端点）求短轴端点 3）求最前、最后素线与）求最前、最后素线与P面的交点面的交点E、F 4）求一般点）求一般点L、N 5）连接各点并判别可见性）连接各点并判别可见性 6）求截面的实形）求截面的实形【例【例4-17】如下图所示，求作侧平面如下图所示，求作侧平面Q与圆锥的截交线与圆锥的截交线解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 3球上的截交线球上的截交线 球体上的截面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆截平面距球心球体上的截面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆截平面距球心的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆1）球上截交线的特征：）球上截交线的特征：（2）球上截交线的投影分析）球上截交线的投影分析 4带缺口的曲面立体的投影带缺口的曲面立体的投影【例【例4-18】如下图所示，给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影如下图所示，给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 1）求特殊点。
求特殊点2）求一般点求一般点例【例4-19】如下图所示，求切割后圆锥的投影如下图所示，求切割后圆锥的投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 1）求特殊点）求特殊点 2）求一般点）求一般点 3）连点并判别可见性）连点并判别可见性【例【例4-20】如下图所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水平投影及侧如下图所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水平投影及侧面投影解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 二、立体表面的相贯线二、立体表面的相贯线 在建筑形体中常常会遇到由两个或两个以上的基本形体在建筑形体中常常会遇到由两个或两个以上的基本形体相交相交（或称（或称相贯相贯）而）而成的组合形体，两相交的立体称为成的组合形体，两相交的立体称为相贯体相贯体它们的表面交线称为它们的表面交线称为相贯线相贯线（或称（或称相交线相交线）1.相贯线是两形体表面的共有线相贯线是两形体表面的共有线2.相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点立体相交可分为三种情况：立体相交可分为三种情况：（1）平面立体与平面立体相交，）平面立体与平面立体相交，（2）平面立体与曲面立体相交，）平面立体与曲面立体相交，（3）曲面立体与曲面立体相交。
曲面立体与曲面立体相交相贯线的特性相贯线的特性:直线与立体相交直线与立体相交 直线与立体表面相交，其交点称为直线与立体表面相交，其交点称为贯穿点贯穿点贯穿点的特征：一般情况是成对出现的（一进一出）贯穿点的特征：一般情况是成对出现的（一进一出）求贯穿点的常用方法有两种：求贯穿点的常用方法有两种：第一种方法：利用积聚性求贯穿点；第一种方法：利用积聚性求贯穿点；第二种方法：利用辅助平面求贯穿点即当直线与立体表面的投影没有积聚性第二种方法：利用辅助平面求贯穿点即当直线与立体表面的投影没有积聚性时，用辅助平面求贯穿点时，用辅助平面求贯穿点作辅助平面求贯穿点的步骤如下：作辅助平面求贯穿点的步骤如下：首先，过直线作适当的辅助平面；首先，过直线作适当的辅助平面；其次，求出辅助平面与平面立体的截交线；其次，求出辅助平面与平面立体的截交线；再次，求出截交线与已知直线的交点，即为所求的贯穿点再次，求出截交线与已知直线的交点，即为所求的贯穿点辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：应使所作的辅助平面与立体的交线简单易画应使所作的辅助平面与立体的交线简单易画(直线或圆直线或圆)，为了简化作图，通常选择投影面垂直面作为辅助面。
为了简化作图，通常选择投影面垂直面作为辅助面1直线与平面立体相交直线与平面立体相交（1）利用积聚性法求贯穿点）利用积聚性法求贯穿点【例【例4-21】如下图所示，已知铅垂线如下图所示，已知铅垂线EF的水平投影，求其与三棱锥的水平投影，求其与三棱锥S-ABC 的贯穿的贯穿点解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求贯穿点的正面投影求贯穿点的正面投影m、n判别可见性判别可见性例【例4-22】如下图所示，求一般位置直线如下图所示，求一般位置直线EF与三棱柱与三棱柱ABC 的贯穿点的贯穿点M、N解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求贯穿点的正面投影求贯穿点的正面投影m、n判别可见性判别可见性2）利用辅助平面法求贯穿点）利用辅助平面法求贯穿点【例【例4-23】如下图所示，求直线如下图所示，求直线KL与三棱锥与三棱锥S-ABC 的贯穿点的贯穿点M、N解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 作辅助平面作辅助平面求出截交线的水平投影求出截交线的水平投影123，123与与kl的交点的交点m、n即为贯穿点即为贯穿点M、N的水平投影的水平投影判别可见性判别可见性2直线与曲面立体相交直线与曲面立体相交（1）利用积聚性法求贯穿点）利用积聚性法求贯穿点【例【例4-24】如下图所示，求一般位置直线如下图所示，求一般位置直线AB与圆柱的贯穿点。
与圆柱的贯穿点解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求水平投影求水平投影m、n根据点、线的从属关系，根据点、线的从属关系，求出求出m、n判别可见性判别可见性2）利用辅助平面法求贯穿点）利用辅助平面法求贯穿点【例【例4-25】如左图所示，求正垂线如左图所示，求正垂线CD与圆与圆锥面的贯穿点锥面的贯穿点解：解：1）分析）分析 2）作图）作图 求正面投影求正面投影k、l求水平投影求水平投影k、l判别可见性判别可见性例【例4-26】如下图所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的相贯线如下图所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的相贯线解：解：（1）分析）分析（2）作图）作图 是互贯，互贯的相贯是互贯，互贯的相贯线为一组空间折线线为一组空间折线第四节第四节 组合体的三面正投影组合体的三面正投影 一、组合体的组成一、组合体的组成 由基本几何体组成的形体称为组合体由基本几何体组成的形体称为组合体组合体组合体（根据构成方式的不同）（根据构成方式的不同）叠加型组合体叠加型组合体：是由若干个基本几何体叠加而成：是由若干个基本几何体叠加而成 切割型组合体切割型组合体：是由基本几何体切割去某些形体而成：是由基本几何体切割去某些形体而成 相贯型组合体相贯型组合体：是由若干个基本几何体相交而成：是由若干个基本几何体相交而成 综合型组合体综合型组合体：是既有叠加又有切割或相交的组合体：是既有叠加又有切割或相交的组合体 二、组合体三面投影图的画法二、组合体三面投影图的画法（一）三面投影和三视图（一）三面投影和三视图 基本几何体在基本几何体在H、V及及W投影面上的投影统称为投影面上的投影统称为三面投影三面投影。
三面投影三面投影 H面投影又称为面投影又称为水平投影水平投影 V面投影又称为面投影又称为正面投影正面投影 W面投影又称为面投影又称为侧面投影侧面投影 在建筑工程制图中，通常把建筑形体或组合体在投影面上的投影称为在建筑工程制图中，通常把建筑形体或组合体在投影面上的投影称为视图视图；既把建筑形体或组合体的三面投影图称为既把建筑形体或组合体的三面投影图称为三面视图三面视图（简称三视图简称三视图）三视图三视图 形体的水平投影称为形体的水平投影称为平面图平面图 形体的正面投影称为形体的正面投影称为正立面图正立面图 形体的侧面投影称为形体的侧面投影称为左侧立面图左侧立面图 三视图三视图 形体的水平投影称为形体的水平投影称为平面图平面图 形体的正面投影称为形体的正面投影称为正立面图正立面图 形体的侧面投影称为形体的侧面投影称为左侧立面图左侧立面图（二）组合体三面投影图的画法（二）组合体三面投影图的画法 把一个复杂形体分解成若干基本形体或简单形体的方法，称为把一个复杂形体分解成若干基本形体或简单形体的方法，称为形体分析法形体分析法它是画图、读图和标注尺寸的基本方法它是画图、读图和标注尺寸的基本方法1形体分析形体分析 如下图如下图a所示为一室外台阶，把它可以看成是由边墙、台阶、边墙三大部分组成。
所示为一室外台阶，把它可以看成是由边墙、台阶、边墙三大部分组成再如下图再如下图a所示是一肋式杯形基础，可以把它看成由底板、中间挖去一楔形块的所示是一肋式杯形基础，可以把它看成由底板、中间挖去一楔形块的四棱柱和六块梯形肋板组成四棱柱和六块梯形肋板组成画组合体的投影图时，必须正确表示画组合体的投影图时，必须正确表示各基本形体之间的表面连接各基本形体之间的表面连接形体之间形体之间的表面连接可归纳为以下四种情况：的表面连接可归纳为以下四种情况：（1）两形体表面）两形体表面相交时相交时，两表面投影之间应画出交线的投影；，两表面投影之间应画出交线的投影；（2）两形体的表面）两形体的表面共面时共面时，两表面投影之间不应画线；，两表面投影之间不应画线；（3）两形体的表面）两形体的表面相切时相切时，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线；，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线；（4）两形体的表面）两形体的表面不共面时不共面时，两表面投影之间应该有线分开两表面投影之间应该有线分开2投影图选择投影图选择 投影图选择包括确定物体的安放位置、选择正面投影及确定投影图数量等投影图选择包括确定物体的安放位置、选择正面投影及确定投影图数量等。
1）确定安放位置）确定安放位置 一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况为为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影面2）选择正面投影）选择正面投影 正立面图是表达形体的一组视图中正立面图是表达形体的一组视图中最主要的视图最主要的视图，所以在视图分析的过程中应，所以在视图分析的过程中应重点考虑其选择的原则为：重点考虑其选择的原则为：1）应使正面投影尽量反映出物体各组成部分的形状特征及其相对位置；）应使正面投影尽量反映出物体各组成部分的形状特征及其相对位置；2）应使视图上的虚线尽可能少一些；）应使视图上的虚线尽可能少一些；3）应合理利用图纸的幅面；）应合理利用图纸的幅面；正面投正面投影方向影方向（3）确定投影图数量：用较少的投影图把物体的形状完整、清楚、准确的表达）确定投影图数量：用较少的投影图把物体的形状完整、清楚、准确的表达出来3画图步骤画图步骤（1）选取画图比例、确定图幅）选取画图比例、确定图幅（2）布图、画基准线）布图、画基准线 正面投正面投影方向影方向（3）绘制视图的底稿）绘制视图的底稿 根据物体根据物体投影规律投影规律，逐个画出各基本形体的三视图。
逐个画出各基本形体的三视图画图的顺序是画图的顺序是：一般先画实形体，后画虚形体（挖去的形体）；先画大形体后：一般先画实形体，后画虚形体（挖去的形体）；先画大形体后画小形体；先画整体形状，后画细节形状画小形体；先画整体形状，后画细节形状4）检查、描深）检查、描深：检查无误后，可按规定的：检查无误后，可按规定的线型线型进行加深进行加深1）选取画图比例、确定图幅）选取画图比例、确定图幅（2）布图、画基准线）布图、画基准线（3）绘制视图的底稿）绘制视图的底稿（4）检查、描深）检查、描深 作右图所示形体的三视图作右图所示形体的三视图 三、尺寸标注三、尺寸标注（一）基本几何体的尺寸标注（一）基本几何体的尺寸标注 形体的真实大小，必须由尺寸来确定形体的真实大小，必须由尺寸来确定1.任何基本几何体都有任何基本几何体都有长、宽、高三个方向上长、宽、高三个方向上的大小，在视图上，通常要把反的大小，在视图上，通常要把反映这三个方向的大小尺寸都标注出来映这三个方向的大小尺寸都标注出来2.对于回转体，可在其非圆视图上注出直径方向尺寸对于回转体，可在其非圆视图上注出直径方向尺寸“”3.球的尺寸标注要在直径数字前加注球的尺寸标注要在直径数字前加注“S”。
4.尺寸一般标注在反映实形的投影上，并尽可能集尺寸一般标注在反映实形的投影上，并尽可能集中注写在一两个投影的下方或右方，必要时才注写中注写在一两个投影的下方或右方，必要时才注写在上方或左方在上方或左方5.一个尺寸只需标注一次，尽量避免重复一个尺寸只需标注一次，尽量避免重复6.正多边形的大小，可标注其外接圆的直径尺寸正多边形的大小，可标注其外接圆的直径尺寸不必再不必再标注标注对于被切割的基本几何体，除了要注出基本形体的尺寸外，还应注出截平面的对于被切割的基本几何体，除了要注出基本形体的尺寸外，还应注出截平面的位置尺寸，但不必注出截交线的尺寸位置尺寸，但不必注出截交线的尺寸二）组合体的尺寸标注（二）组合体的尺寸标注 组合体尺寸标注的基本要求是完整、清晰、合理组合体尺寸标注的基本要求是完整、清晰、合理1）尺寸标注的方法）尺寸标注的方法 标注组合体的尺寸时，应标注组合体的尺寸时，应先对物体进行形体分析先对物体进行形体分析，然，然后顺序标注出其定形后顺序标注出其定形尺寸、定位尺寸和总尺寸尺寸、定位尺寸和总尺寸定形尺寸定形尺寸确定物体各组成部分的形状、大小的尺寸确定物体各组成部分的形状、大小的尺寸。
定位尺寸定位尺寸确定物体各组成部分之间的相对位置的尺寸确定物体各组成部分之间的相对位置的尺寸总尺寸总尺寸确定物体的总长、总宽和总高的尺寸确定物体的总长、总宽和总高的尺寸以下图所示的肋式杯形基础为例，以下图所示的肋式杯形基础为例，说明组合体尺寸标注的步骤：说明组合体尺寸标注的步骤：1）形体分析）形体分析 2）标注定形尺寸）标注定形尺寸 3）标注定位尺寸）标注定位尺寸 4）标注总尺寸）标注总尺寸（2）尺寸标注应注意的几个问题）尺寸标注应注意的几个问题 1）尺寸一般宜注写在反映形体特）尺寸一般宜注写在反映形体特征的投影图上征的投影图上 2）尺寸应尽可能标注在图形轮廓）尺寸应尽可能标注在图形轮廓线外面，不宜与图线、文字及符号线外面，不宜与图线、文字及符号相交；但某些细部尺寸允许标注在相交；但某些细部尺寸允许标注在图形内3）表达同一几何形体的定形、定）表达同一几何形体的定形、定位尺寸，应尽量集中标注位尺寸，应尽量集中标注4）尺寸线的排列要整齐对同方向上的尺寸线，组合起来排成几道尺寸，从被）尺寸线的排列要整齐对同方向上的尺寸线，组合起来排成几道尺寸，从被注图形的轮廓线由近至远整齐排列，小尺寸线离轮廓线近，大尺寸线应离轮廓注图形的轮廓线由近至远整齐排列，小尺寸线离轮廓线近，大尺寸线应离轮廓线远些，且尺寸线间的距离应相等。
线远些，且尺寸线间的距离应相等5）尽量避免在虚线上标注尺寸尽量避免在虚线上标注尺寸四、组合体三面正投影图的识读四、组合体三面正投影图的识读（一）读图的基本知识（一）读图的基本知识 投影图的识读就是根据物体投影图想象出物体的空间形状，也就是看图、读图、投影图的识读就是根据物体投影图想象出物体的空间形状，也就是看图、读图、识图画图是由物到图，读图则是由图到物画图是由物到图，读图则是由图到物1）将几个投影图联系起来看）将几个投影图联系起来看 一个投影图不能确定物体的形状一个投影图不能确定物体的形状 有时两个投影图也不能确定物体的形状有时两个投影图也不能确定物体的形状（2）有基本技能）有基本技能 熟练掌握基本几何体、较简单的组合体的形状特征和的熟练掌握基本几何体、较简单的组合体的形状特征和的投影特征投影特征（3）读图时应先从特征视图入手）读图时应先从特征视图入手（4）明确投影图中封闭线框和图线的含义）明确投影图中封闭线框和图线的含义 投影图上一个封闭线框可能有下述几种含义：投影图上一个封闭线框可能有下述几种含义：表示一个平面或曲面；表示一个平面或曲面；表示一个相切的组合面；表示一个相切的组合面；表示一个孔洞。
表示一个孔洞投影图上的一条线段可能表示：投影图上的一条线段可能表示：物体上一个具有积聚性的平面或曲面；物体上一个具有积聚性的平面或曲面；表示两个面的交线；表示两个面的交线；表示曲面的轮廓素线表示曲面的轮廓素线二）读图的基本方法（二）读图的基本方法 1形体分析法形体分析法 所谓形体分析法，就是通过对物体几个投影图的对比，先找到特征视图，然后所谓形体分析法，就是通过对物体几个投影图的对比，先找到特征视图，然后按照视图中的每一个封闭线框都代表一个简单基本形体的投影道理，将特征视图按照视图中的每一个封闭线框都代表一个简单基本形体的投影道理，将特征视图分解成若干个封闭线框，按分解成若干个封闭线框，按“三等关系三等关系”找出每一线框所对应的其它投影，并想找出每一线框所对应的其它投影，并想出形状然后再把他们拼装起来，去掉重复的部分，最后构思出该物体的整体形出形状然后再把他们拼装起来，去掉重复的部分，最后构思出该物体的整体形状例【例4-35】试根据投影图想象出物体的形状试根据投影图想象出物体的形状2线面分析法线面分析法 线面分析法线面分析法就是以线、面的投影规律为基础，根据形体投影的某些图线和线框，就是以线、面的投影规律为基础，根据形体投影的某些图线和线框，分析它们的形状和相互位置，从而想象出被它们围成的形体的整体形状。
分析它们的形状和相互位置，从而想象出被它们围成的形体的整体形状形体分析法和线面分析法是有联系的，不能截然分开形体分析法和线面分析法是有联系的，不能截然分开对于比较复杂的图形，对于比较复杂的图形，先从形体分析获得形体的大致整体形象之后，不清楚的地方针对每一条先从形体分析获得形体的大致整体形象之后，不清楚的地方针对每一条“线段线段”和每一个封闭和每一个封闭“线框线框”加以分析，从而明确该部分的形状，弥补形体分析的不加以分析，从而明确该部分的形状，弥补形体分析的不足以形体分析法为主，结合线面分析法，综合想象得出组合体的全貌以形体分析法为主，结合线面分析法，综合想象得出组合体的全貌例【例4-36】试根据下图试根据下图a所示投影图，想象出挡土墙的形状所示投影图，想象出挡土墙的形状三）读图的步骤（三）读图的步骤 以下图以下图a所示的组合体投影为例，介绍读图的过程所示的组合体投影为例，介绍读图的过程例【例4-37】识读组合体投影图，如下图识读组合体投影图，如下图a所示解：（解：（1）分析投影图抓住特征）分析投影图抓住特征 （2）对投影想形状）对投影想形状（3）综合起来想整体）综合起来想整体【例4-38】补画下图补画下图a所示组合体的侧面投影。
所示组合体的侧面投影。