线性代数试题及答案

ç ÷ç ÷ 0 0 3ç ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ç ÷ è -2 1 41 2s 1 2s 1 2s 1 1 2 2s s1 1 2 2 ss 1 2s 1 1 1 2 2 2s s s1 2s 1 1 1 2 2 2s s s1 2s 1 2s 1 1 2 2s s1 1 2 2s s1 21 21 21 21 2第一部分 选择题单项选择题1.设行列式aa1121aa1222=m，aa1323aa1121=n，则行列式aa1121a +a12 13a +a22 23等于（D ）A. m+nC. n- mB. - (m+n)D. m- næ1 0 0ö2.设矩阵 A= 0 2 0 ，则 A- 1ç ÷è ø等于（B）A.æ1ç3ç0çç0çè0120ö0÷0÷÷1÷÷øæ1çB. ç0çç0è01200013ö÷÷÷÷÷÷øC.æççççè1 ö0 030 1 010 0 ÷2 øD.æ1ç2ç0çç0çèö0 010÷3 ÷0 1÷÷øæ3 -1 2 ö3.设矩阵 A= 1 0 -1 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（B ）ç ÷øA. –6 B. 6 C. 2 D. –24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（D ）A. A =0B ¹C 时 A=0C. A ¹0 时 B=CB=C5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（C ） A. 1C. 3D. |A|B. 2D. 4B.¹ 0 时6.设两个向量组α ，α ，…，α 和β ，β ，…，β 均线性相关，则（D ）A.有不全为 0 的数λ ，λ ，…，λ 使λ α +λ α +…+λ α =0 和λ β +λ β +…λ β =0B.有不全为 0 的数λ ，λ ，…，λ 使λ （α +β ）+λ （α +β ）+…+λ （α +β ）=0 C.有不全为 0 的数λ ，λ ，…，λ 使λ （α - β ）+λ （α - β ）+…+λ （α - β ）=0 D.有不全为 0 的数λ ，λ ，…，λ 和不全为 0 的数μ ，μ ，…，μ 使λ α +λ α +…+λ α =0 和μ β +μ β +…+μ β =07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（C ）A.所有 r- 1 阶子式都不为 0 B.所有 r- 1 阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，η ，η 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（A）1 1A.η +η 是 Ax=0 的一个解 B. η + η 是 Ax=b 的一个解2 2C.η -η 是 Ax=0 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A ）D.2η -η 是 Ax=b 的一个解1 / 151 2 31 2 31 20 0 ç ÷ 0 -3 5ç ÷ 1 0 2× 3ij 3ijij11 21 12 22 13 23 21 21 22 22 23 23 31 21 32 22 33 231 21 2 12 2 1A.秩(A)3A.|A| 2必为 1 B.|A|必为 1C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=CTAC.则（D） A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）A.æ2 3öç ÷è3 4øB.æ3 4öç ÷è2 6øæ1 0 0 ö ç ÷C. 0 2 -3 ç ÷è ø二、填空题æ1 1 1ö ç ÷D. 1 2 0ç ÷è ø第二部分 非选择题（共 72 分）1 1115. 356 = 6 .9 25 3616.设 A=æçè1 -1 1 ö æ1 2 3ö æ3 3 7ö÷，B= ç ÷.则 A+2B= ç ÷1 1 -1ø è-1 -2 4ø è-1 -3 7ø17. 设 A=(a ) ， |A|=2 ， A 表 示 |A| 中 元 素 a 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则 (a A +a A +a A )2+(a A +a A +a A )2+(a A +a A +a A )2= 4 .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 a= –10 .19.设 A 是 3×4 矩阵，其秩为 3，若η ，η 为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解，则 它的通解为η +c(η - η )（或η +c(η - η )），c 为任意常数.20.设 A 是 m×n 矩阵，A 的秩为 r(

4 1 2 3解一æ-2 1 3 0 ö æ0 -5 3 -2ö ç ÷ ç ÷1 -3 0 -1 1 -3 0 -1¾¾®ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è3 4 -1 9 ø è0 13 -1 12 ø¾¾®æççççè10000 3 5 ö æ1 0 3 5ö÷ ç ÷1 1 2 0 1 1 2¾¾®÷ ç ÷÷ ç ÷0 -14 -14ø è0 0 0 0ø¾¾®æççççè10000 0 2ö÷1 0 10 1 1÷0 0 0ø,所以α =2α +α +α ，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α =x α +x α +x α ，即ì-2x +x +3x =0 ïx1 -3x 2 =-1í2x +2x =4ï3x +4x -x =9.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.设矩阵 A=æççççè1 -2 -1 -2 4 22 -1 03 3 30 2 ö÷6 -62 3÷3 4 ø.求：（1）秩（A）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组 解 对矩阵 A 施行初等行变换A ¾ ®æççççè1 -2 -1 0 0 00 3 20 9 60 2 ö÷6 -28 -2÷3 -2ø4 / 15ç ÷ ç 0 0 06 -20 0 0÷ ÷ ç ÷ç ÷ 2 4 -31 2 1 0 5 / 3ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷3 3 è -2ø è-2/ 30 5 / 3 -2 / 3ç ÷ç ÷ 0 0 -85 / 5 -4 5 / 15 -2 / 31 2 32 2 21 2 3 1 2 1 3 2 31 2 3 1 2 32 2 3 31 2 32 33 î 1 1 2 32 2 33 3 1 1 22 2 33 3 ¾¾®æ1 -2 -1 0 2 ö æ1 -2 -1 ç ÷ ç0 3 2 8 -3 0 3 2¾¾®ç ÷ çç ÷ çè0 0 0 -21 7 ø è0 0 00 2 ö÷8 -33 -1÷0 0 ø=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一 个最大线性无关组。

A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）æ0 -2 2 ö30.设矩阵 A= -2 -3 4 的全部特征值为 1 ，1 和- 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T-ç ÷è ø1AT=D.解 A 的属于特征值λ=1 的 2 个线性无关的特征向量为ξ =（2，- 1，0）T， ξ =（2，0，1）T.经正交标准化，得η =æ2 5 / 5ö æ2 5 / 15ö ç ÷ ç ÷ç-5 / 5÷，η2= ç4 5 / 15÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø.λ=-8 的一个特征向量为æ1 ö æ1 / 3 ö ξ = 2 ，经单位化得η = 2 / 3 .ç ÷ ç ÷ø所求正交矩阵为 T=æ2 5 / 5 2 15 / 15 1/ 3 çç-5 / 5 4 5 / 15 2 / 3ö÷÷.ç ÷è øæ1 0 0 ö对角矩阵 D= 0 1 0 .ç ÷è ø（也可取 T=æçç2 5 / 5 2 15 / 15 1/ 3 0 - 5 / 3 2 / 3ö÷÷.）ç ÷è ø31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x ,x ,x )= x+2x -3x +4x x -4x x -4x x ，并写出所用的满秩线性变换。

解 f(x ，x ，x )=（x +2x - 2x ）2- 2x 2+4x x - 7x 2=（x +2x - 2x ）2- 2（x -x ）2- 5x 2.设ìïïíïïy =x +2x -2xy = x -x ， 即 y = xìïíïîx =y -2y x = y +y x = y，5 / 15ç ÷ç ÷ 0 0 11 2 31 2 30 1 21 0 1 2 0 20 1 2 1 0 10 12 1 20 0 1 1 2 20 1 2 0 1 1 2 20 1 20 1 1 2 21 21 20 ï ï î ç ç è æ1 -2 0ö因其系数矩阵 C= 0 1 1 可逆，故此线性变换满秩ç ÷è ø经此变换即得 f(x ，x ，x )的标准形y 2- 2y 2- 5y 2 .四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E- A 可逆，且（E- A）- 1=E+A+A2.证 由于（E- A）（E+A+A2）=E- A3=E， 所以 E- A 可逆，且（E- A）- 1= E+A+A2.33.设η 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，ξ ，ξ 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系. 试证明（1）η =η +ξ ，η =η +ξ 均是 Ax=b 的解；（2）η ，η ，η 线性无关。

0 1 2证 由假设 Aη =b，Aξ =0，Aξ =0.（1）Aη =A（η +ξ ）=Aη +Aξ =b，同理 Aη = b，所以η ，η 是 Ax=b 的 2 个解2）考虑 l η +l η +l η =0，即 （l +l +l ）η +l ξ +l ξ =0.则 l +l +l =0，否则η 将是 Ax=0 的解，矛盾所以l ξ +l ξ =0.又由假设，ξ ，ξ 线性无关，所以 l =0，l =0，从而 l =0 .所以η ，η ，η 线性无关0 1 2一、填空题（将正确答案填在题中横线上每小题 2 分，共 10 分）1-311. 若05x =0 ，则 c=_____5 _____12-2ìlx+x +x =0 1 2 32．若齐次线性方程组 íx +lx +x =01 2 3x +x +x =0 1 2 3只有零解，则l应满足l¹13．已知矩阵A ， B，C =(c )ijs ´n，满足AC =CB，则A与B分别是s ´s ， n ´n阶矩阵æa114．矩阵 A =ça21a31a12a22a32ö÷÷÷ø的行向量组线性相关。

5． n 阶方阵 A 满足 A2-3 A -E =0 ，则 A-1= A -3 E二、判断正误1. 若行列式D中每个元素都大于零，则Dñ0× ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合 √ ）3. 向量组 a ，a ，L，a1 2线性相关√）m中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a ，a ，L，a 1 2s6 / 15é01 0 0ù4.A =êêê100 0 00 0 1úúú，则A-1=A√）êë00 1 0úû5. 若 l 为可逆矩阵A的特征值，则A-1的特征值为 l (× )三、单项选择题1. 设A为n阶矩阵，且A =2，则A AT=（③ ）①2n②2n -1③2n +1④ 42.n 维向量组 a，a ，L，a （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（③ ）1 2 s① a，a ，L，a 中任意两个向量都线性无关1 2 s② a，a ，L，a 中存在一个向量不能用其余向量线性表示1 2 s③ a，a ，L，a 中任一个向量都不能用其余向量线性表示1 2 s④ a，a ，L，a 中不含零向量1 2 s3. 下列命题中正确的是(③ )。

① 任意n个n +1维向量线性相关② 任意 n 个 n +1 维向量线性无关③ 任意④ 任意n +1n +1个个nn维向量线性相关 维向量线性无关4. 设A，B均为 n 阶方阵，下面结论正确的是(②)① 若 A ， B 均可逆，则 A +B 可逆 ② 若 A ， B 均可逆，则A B可逆③ 若A +B可逆，则A -B可逆 ④ 若A +B可逆，则A ， B 均可逆5. 若n， n， n， n 1 2 34是线性方程组AC =0的基础解系，则n +n +n+n 1 2 34是AC =0的（① ）① 解向量 ② 基础解系 四、计算题 ( 每小题 9 分，共 63 分)③ 通解 ④ A 的行向量1. 计算行列式x +aaaabx +bbbccx +ccdddx +d解·7 / 150 1 4ê úë û ê ë û ú - 2 10 0， X0 1 -2 1x +aaaabx +bbbccx +ccdddx +d=x +a +b +c +d x +a +b +c +d x +a +b +c +d x +a +b +c +dbx +bbbccx +ccdddx +d1bcd1 b c d=( x +a +b +c +d )1 x +b1 bcx +cdd=( x +a +b +c +d )0 x 00 0 x00=( x +a +b +c +d ) x31 bcx +d0 0 0x2. 设æ3 0 1 ö ç ÷AB =A +2 B ，且 A =ç1 1 0 ÷,ç ÷è ø求 B 。

é2 -1 -1ù( A -2 E ) B =A解 .5 -2 -2 éB =( A -2 E )A = 4 -3 -2 -1êê-2 2 3ùúúú( A -2 E )-1= 2 -2 -1 ê úê-1 1 1 ú，3. 设æçB =çççè1000-1 0 01 -1 00 1 -10 0 1ö æ÷ ç ÷, C =ç ÷ ç÷ çø è2 10 20 00 031204312ö÷÷÷÷ø且矩阵C满足关系式X (C -B ) ' =E ,求 Cé12 3 4 ù é1 000ùC -B =êêê001 2 30 1 2ú，(C -B ) ' = úêêê23120100úúúêë00 0 1ú êû ë4321úû[(C-B)']-1=é1 0 0 0 ù ê úê ú ê1 -2 1 0 ú ê úë û=E [(C-B)']-1=éêêêêë1-21001-21001-20001ùúúúúû8 / 151 - ç ÷a æ ö2 ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷2 2 ç ÷1 a ç ÷ç - ÷1 2 3ï l ï î ê ú ê ú ê úë û ë û ë ûç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷1 2 3 40 -3 -1 -74 90 100 1 -4 -2 0® ® ë û ë û ë0 0 0 0æ ö æ 1 ö ç ÷ ç- ÷ 21 ç ÷ 14. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？a = - , a = a , a = -1 ç ÷ 2 3 ç ÷ ç ÷ 1 ç ÷ç- ÷è 2 ø ç ÷è 2 ø è ø。

1 1a - -2 21 1 1a ，a ，a = - a - = (2 a +1)2 2 81 1- - a2 221(2 a -2) 当 a =- 或 a =1 时 ， 向 量 组2a ，a ，a 1 23线性相关ìlx+x +x =l-3 1 2 35. 为何值时，线性方程组 íx +lx +x =-21 2 3x +x +lx =-2 1 2 3有无穷多解时求其通解有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组① 当 l ¹1 且l¹-2时，方程组有唯一解；②当l=-2时方程组无解③当 l =1 时，有无穷多组解，通解为é-2ù é-1ù é-1ù C = 0 +c 1 +c 0ê ú 1 ê ú 2 ê ú ê0 ú ê0 ú ê1 ú6. 设æ1ö æ2 ö æ1 ö æ3 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç4÷ ç9 ÷ ç0 ÷ ç10 ÷a = , a = , a = , a = . 1 -1 -3 -7ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

é1 21 3 ù é1 2 1 3 ù é12 13ù( a ， a ， a ， a ) = 1 2 3 41 0 0 -2 éùê ú ê ú ê ê ú ê ú ê ê1 -1 -3 -7 ú ê0 -3 -4 -10 ú ê0 ê ú ê ú ê 0 -3 -1 -7 0 -3 -1 -7 01 -4 -2 0 -16 -16 0 -13 -13úúúúû=êêê0 1 0 20 0 1 1úúúê úë û9 / 15ç ÷ç ÷ 0 2 1E -A = 0 0 0k 0 +l 0ë û ëû ëû¢ ¢1 1 a -2 x 43 则r (a，a ， a ， a 1 2 34)=3 ，其中 a ， a ， a1 2 3构成极大无关组，a =-2a +2 a +a 4 1 2 3æ1 0 0ö7. 设A = 0 1 0 ，求 A 的特征值及对应的特征向量 ç ÷è øl-1 0 0lE -A = 0 l-10=(l-1)3=00-2l-1é0 0 0ù é1ù é0ù特征值l =l =l =1 1 2 3，对于λ1＝1，l1ê ú êú êú，特征向量为ê ú êú êú ê0 -2 0ú ê0ú ê1ú五、证明题 (7 分)若 A 是 n 阶方阵，且AAT=I，A =-1，证明A +I =0 。

其中 I 为单位矩阵A +I = A +AA¢=A I +A¢=-(I+A)=-(I+A)∴2 (I+A)=0， ∵(I+A)=0一、选择题1、设 A ， B 为 n 阶方阵，满足等式 AB =0 ，则必有（C ）(A) A =0 或 B =0 ; (B) A +B =0 ； （C） A =0 或 B =0 ; (D) A +B =0 2、 A 和 B 均为 n 阶矩阵，且 ( A +B ) 2 =A 2 +2 AB +B 2 ，则必有（D ）(A) A =E ； (B) B =E ； （C） A =B . (D) AB =BA 3、设 A 为 m ´n 矩阵，齐次方程组 Ax =0 仅有零解的充要条件是（ A ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关；（C） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关 .4、 n 阶矩阵 A 为奇异矩阵的充要条件是（ A）(A) A 的秩小于 n ； (B) A ¹0 ；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零；二、填空题5、若 4 阶矩阵 A 的行列式 A =-5， A*是 A 的伴随矩阵，则 A*=-125。

6、 A 为 n ´n 阶矩阵，且 A 2 -A -2 E =0 ，则 ( A +2 E ) -1 =p27、已知方程组æ1 2 1 öæxö æ1ö ç ÷ç ÷ ç ÷ ç2 3 a +2 ÷çx÷=ç3÷2ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø无解，则 a =-110 / 15å i i =18 、二次型 f ( x , x , x ) =2 x 2 +3 x 2 +tx 2 +2 x x +2 x x 是正定的，则 t 的取值范围是1 2 3 1 2 3 1 2 1 33t > 5三、计算题1 +x 1 1 19、计算行列式 D =1 1 -x 1 1 1 1 1 +y 1 1 1 1 1 -y解：第一行减第二行，第三行减第四行得：x x 0 0D =11 1 -x 10 0 yy1 1 1 1 -yx 0 00第二列减第一列，第四列减第三列得： D =1 -x 1 0 0 0 y 01 01 -y按第一行展开得-x 1 0D =x 0 y 00 1 -y按第三列展开得-x 0D =-xy =x 2 y 2 1 y10、计算 n 阶行列式D =nx +3 x x 1 2 nx x +3 x 1 2 nx1x2x +3næn ö解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子 ç x +3 ÷，再通过行列式的变è ø换化为上三角形行列式11 / 15å ç è å ç i è ænD = x +3 n ii =1ö÷ø1 x21 x +321 x2xnxnx +3næn= x +3i =1=3n -1ö÷øæçè1 x20 30 0nåx +3ii =1ö÷øxn03四、证明题11、若向量组 a , a , a 线性相关，向量组 a , a , a 线性无关。

证明：1 2 3 2 3 4(1) a 能有 a , 1 2a 线性表出； 3(2) a 不能由 a , 4 1证明：a ,2a 线性表出 3(1)、 因为 a ，a, a 线性无关，所以 a ，a线性无关2 3 3 2 3又 a ，a ，a线性相关，故 a 能由 a ，a 线性表出 1 2 3 1 2 3r (a ，a，a) =3 ，1 2 3（2）、（反正法）若不，则 a 能由 a ，a, a 线性表出，4 1 2 3不妨设a =k a +k a +k a 4 1 1 2 2 3 3由（1）知， a 能由 a ，a 线性表出，1 2 3不妨设a =t a +t a 1 1 2 2 3所以 a =k (t a +t a ) +k a +k a ，4 1 1 2 2 3 2 2 3 3这表明 a ，a, a 线性相关，矛盾2 3 4(4 分)12 、 设 A 是 n 阶 矩 方 阵 ， E 是 n 阶 单 位 矩 阵 ， A +E 可 逆 ， 且 f ( A) =( E -A)( E +A) -1 证明（1） ( E + f ( A))( E +A) =2 E ；（2） f ( f ( A)) =A 。

证明12 / 15ç ÷ç ÷ 0 2 3ç ÷1 ç ÷ç ÷0 ç ÷ç ÷1 - 1 ， p = 0 ， p = 12 0 1 1 0 1 0( ) （ 5）取 P = p , p , p = -（ 6） P0 AP = 0 2 0ç ÷ 2 2ç ÷ 0 0 51 1 0 2 2（1） ( E + f ( A))( E +A) =[ E +( E -A)( E +A) -1]( E +A)=( E +A) +( E -A)( E +A)-1（2） f ( f ( A)) =[ E - f ( A)][ E + f ( A)]1由（1）得： [E + f ( A)]-1 = ( E +A) ，代入上式得2-1( E +A) =( E +A) +( E -A) =2 Ef ( f ( A)) =[ E -( E -A)( E +A)-11 1 1 ] ( E +A) = ( E +A) -( E -A)( E +A) -12 2 2( E +A)1 1= ( E +A) - ( E -A) =A 2 2五、解答题æ2 0 0ö13、设 A = 0 3 2 ，求一个正交矩阵 P 使得 P -1AP 为对角矩阵。

ç ÷è ø解：（1）由 lE -A =0 得 A 的特征值为 l =1 ， l =2 ， l1 23=5 2） l =1 的特征向量为 x 1l =2 的特征向量为 x 212æ0 ö= -1 ，ç ÷ç ÷è øæ1ö= 0 ，ç ÷è øæ0öl3=5 的特征向量为 x3= 1 ç ÷è ø（3）因为特征值不相等，则 x,1x,2x 正交3（4）将 x, x, x 单位化得 p = 1 2 3 1æ ö12æ0 ö æ1ö æ0ö ç ÷ ç ÷ 1 ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ 3 ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è øç ÷ç ÷ æ1 0 0 ö ç 1 1 ÷ ç ÷-11 2 3 ç ÷ç ÷è øç ÷ç ÷è ø13 / 15ï ï î ç ÷ ç ÷1 6 5ç ÷ç ÷1 2 35 4 ï í ï î ç ÷ ç ÷ 1 2 1 a - 10 0 1 - a a - 1ì x +x +x =01 2 314、已知方程组 íx +2 x +ax =0 与方程组 x +2 x +x 　=a-1有公共解1 2 3 1 2 3x +4 x +a 2 x =01 2 3求 a 的值。

解：该非齐次线性方程组 Ax =b 对应的齐次方程组为Ax =0因 R ( A) =3 ，则齐次线性方程组的基础解系有 1 个非零解构成，即任何一个非零解 都是它的基础解系另一方面，记向量 x=2h -(h +h) ，则1 2 3Ax=A(2h -h -h) =2 Ah -A h -Ah =2b -b -b =01 2 3 1 2 3直接计算得 x=(3,4,5,6)T¹0 ， x就是它的一个基础解系根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为æ3ö æ2öç ÷ ç ÷ç4÷ ç3÷x =kx+h=k + ， k Î R 5 4ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø15 、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 h ， h ， h 是它的三个1 2 3解向量，且æ2ö æ1öç ÷ ç ÷ç3÷ ç2÷h = ， h +h =4 3ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø求该方程组的通解解：将①与②联立得非齐次线性方程组 :ì x + x + x = 0,1 2 3ï x + 2 x + ax = 0,1 2 3x + 4x + a 2 x = 0,1 2 3ïx + 2 x + x 　　=a - 1.1 2 3若此非齐次线性方程组有解 , 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解 . 对③的增广矩阵 A 作初等行变换得 :A =æ1 1 1 0 ö æ1 1 1 0 ö ç ÷ ç ÷ ç1 2 a 0 ÷ ç0 1 a - 1 0 ÷®1 4 a 2 0 0 0 ( a - 2)( a - 1) 0 ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø.1°当 a =1 时，有 r ( A) =r ( A ) =2 <3 ，方程组③有解 , 即①与②有公共解 , 其全部 公共解即为③的通解，此时14 / 151 1 ç ÷ 0 0 0 0ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷- 1- A ®æçççççè10000 1 01 0 00 0 00 0 0ö÷÷÷÷÷ø，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为 :æ-1öç ÷ç 0 ÷ç ÷è ø,æ- 1öç ÷所以①与②的全部公共解为 k ç 0 ÷，kç ÷è ø为任意常数 .2° 当 a =2 时，有 r ( A) =r ( A ) =3 ，方程组③有唯一解 , 此时æ1 0 0 0 öç ÷ç0 1 0 1 ÷A ® ，0 0 1 - 1ç ÷ç ÷è øæ0 öæ0 ö故方程组③的解为 : 1 , 即①与②有唯一公共解 x = 1 .ç ÷ ç ÷è ø è ø15 / 15。