与函数项级数相同,含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的性.在相应的一致收敛的条件下,含参量反常积分具有连续性、可微性、可积性.含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.(,)f x y,)Ra 设函数设函数定义在无界区域定义在无界区域上上,其其中中 是是任任意意区区间间,y.若对于若对于()(,)d(1)aI yf x yxlim(,)dAaAf x yx收收敛敛，则则由由定定义义，即即存存在在，并并记记为为lim(,)d(,)d().AaaAf x yxf x yxI y反常积分反常积分 (,.)()I yIyy 若若对对都都收收敛敛，则则在在上上收收敛敛 称称(1)为定义在为定义在 上的含参量上的含参量 y 的无穷限反常积分的无穷限反常积分,或或称称.lim(,)d0.AAf x yx000,(,),(,)d.AAyaAAf x yx 000,(,),(,)d.AAAyaA AAf x yx 若含参量反常积分若含参量反常积分(1)与函数与函数 I(y)对对0,00()(),Aa Ay只只与与有有关关，与与的的取取值值无无关关 使使得得(,)d(),Aaf x yxI y 即即(,)d,Af x yx 则称含参变量的反常积分则称含参变量的反常积分(1)在在 上上或简单地说含参量积分或简单地说含参量积分(1)在在 上上.0,AAy 对对于于，对对都都有有()(,)daI yf x yx ()(,)daI yf x yx 由定义由定义,在在 上上是是 ()sup(,)d0().AyAf x yxA ()(,)daI yf x yx 由定义由定义,在在 上上是是 000,AaAAy 及及00(,)d.Af x yx 讨论含参量反常积分讨论含参量反常积分 0ed,(0,)xyxy x的一致收敛性的一致收敛性.若若0,xuxy令令则则 ede de,xyuxAAxAxyu于是于是0,)()suped1,xyAxAxy 因此因此,含参量积分在含参量积分在(0,)上非一致收敛上非一致收敛.,)()supede0(),xyAAxAxyA 因此因此,该含参量积分在该含参量积分在,)上一致收敛上一致收敛.而对于任何正数而对于任何正数 ,有有 含参量反常积分含参量反常积分(1),c d0,Aa 在在上一致收敛的充要条件是上一致收敛的充要条件是:12,AAA,yc d使得当使得当时时,对一切的对一切的都有都有 21(,)d.AAf x yx ()(,)daI yf x yx 若若 在在上一致收敛上一致收敛,则则0,AaAAy 及及有有 (,)d(),2Aaf x yxI y 因此因此,12,A AA 2121(,)d(,)d(,)dAAAAaaf x yxf x yxf x yx12(,)d()(,)d()AAaaf x yxI yf x yxI y .22 21(,)d.AAf x yy 则令则令 2,(,)d.MAf x yy 得得()(,)dcI xf x yyJ这就证明了这就证明了在在上一致收敛上一致收敛.证明含参量的反常积分证明含参量的反常积分0sin()dxyJ xyy若若120,NcMAAN ,)(0),上上一一致致收收敛敛 其其中中(0,)在在但在但在 内内不一致收敛不一致收敛.作变量代换作变量代换,uxy得得sinsindd,AAxxyuyuyu0,A0sinduuu其中其中由于由于收敛收敛,故对任给的正数故对任给的正数,AM 总存在某一实数总存在某一实数M,当当时就有时就有sind.Auuu ,MAMA 则则当当时时,0,x 对对 取取 由由(5)式式sind,Axyyy 所以所以J(x)在在 0 x 上一致收敛上一致收敛.现证明现证明 J(x)在在(0,)内不一致收敛内不一致收敛.由一致收敛由一致收敛定定义义的注的注2,只要证明只要证明:存在某一正数存在某一正数 0,使得对任使得对任(0,),x使得使得()McAM ,总相应地存在某个总相应地存在某个及某个及某个何实数何实数 由于非正常积分由于非正常积分0sinduuu收敛收敛(后继内容中后继内容中我们我们 将将求出这个积分的值求出这个积分的值),故对故对000,M 与与总总 0,x 使得使得00sinsindd,Mxuuuuuu 即即0(,)d.Af x yy 现令现令001sind,2uuu 由此就有由此就有000sinsindd2.MMxxyuyuyu所以所以 J(x)在在(0,)内不一致收敛内不一致收敛.收敛之间的联系有下述定理收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致(1)含含参参量量反反常常积积分分在在上上一一致致收收敛敛的的0000sinsinsinddd.Mxuuuuuuuuu (:nA 充充要要条条件件是是 对对任任一一趋趋于于的的递递增增数数列列其其中中111(,)d()nnAnAnnf x yxuy 1),Aa 函函数数项项级级数数在在 上一致收敛上一致收敛,其中其中1()(,)d.nnAnAuyf x yx 只只要要利利用用关关系系式式：1111()(,)d(,)dn in pn inppAAn iAAiiuyf x yxf x yx nACauchy 及及准准则则即即可可证证明明.由定理由定理2,含参量反常积分可看作函数项级数含参量反常积分可看作函数项级数.下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.它它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿们的证明与函数项级数相应的判别法相仿.(,)(),.f x yF xaxy 若若()d(,)daaF xxf x yx 收收敛敛,则则在在上一致收敛上一致收敛.()d0,cF xxAa 收收敛敛,对对于于 由于由于21()d.AAg yy 因此因此12,A AAy 及及12,A AA 设有函数设有函数 F(x),使得使得 2211(,)d()d.AAAAf x yxF xx 从而从而(,)daf x yx 在在 上一致收敛上一致收敛.设设 对一切实数对一切实数,Aa含参量正常积分含参量正常积分(,)dAaf x yx 对参量对参量 y 在在上一致有界上一致有界,即存在正数即存在正数M,对一切对一切,Aa,y 及一切及一切都有都有 (,)d;Aaf x yxM,y(,)g x y对每一个对每一个函数函数关于关于 x 单调且当单调且当则含参量反常积分则含参量反常积分(,)(,)daf x y g x yx在在 上一致收敛上一致收敛.0,(,).4AaxAyg x yM 有有时时,对参量对参量 y,(,)g x y一致收敛于一致收敛于0,x 于是于是,12,A AAy 由积分第二中值定理，由积分第二中值定理，21(,)(,)dAAf x y g x yx 21()12()(,)(,)d(,)(,)dyAAyg A yf x yxg Ayf x yx 21()12()(,)(,)d(,)(,)dyAAyg A yf x yxg A yf x yx ,A Aa 对对(,)d(,)d(,)d2.AAAAaaf x yxf x yxf x yxM 22.44MMMM (,)(,)daf x y g x yx 由一致收敛的柯西准则由一致收敛的柯西准则,在在上一致收敛上一致收敛.设设(,)dcf x yx 在在上上一一致致收收敛敛；,y(,)g x y对每一个对每一个函数函数为为 x 的单调函数的单调函数,y 且且对对参量参量一致有界一致有界,0,Ly 即即对对 在在 上一致收敛上一致收敛.(,).f x yL则含参量反常积分则含参量反常积分(,)(,)daf x y g x yy 0,AaA AAy 有有(,)d.2AAf x yxL 于是于是,12,A AAy 由积分第二中值定理，由积分第二中值定理，21(,)(,)dAAf x y g x yx 21()12()(,)(,)d(,)(,)dyAAyg A yf x yxg Ayf x yx 21()12()(,)(,)d(,)(,)dyAAyg A yf x yxg A yf x yx .22LLLL 证明含参量反常积分证明含参量反常积分20cos()d1xyI yxx在在(,)上一致收敛上一致收敛.由于对任何实数由于对任何实数 y 有有22cos1,11xyxx 及反常积分及反常积分20d1xx 收敛收敛,故由魏尔斯特拉斯故由魏尔斯特拉斯M判判 别法别法,含参量反常积分含参量反常积分I(y)在在(,)上一致收敛上一致收敛.0sinedxxxx 关于关于0,一致收敛一致收敛.由于反常积分由于反常积分0sindxxx 收敛收敛(当然当然,对于参量对于参量,0,(,)exg x 它在它在上一致收敛上一致收敛),函数函数对每对每证明含参量反常积分证明含参量反常积分0 x 0,0 x 一个一个单调单调,且对任何且对任何都有都有(,)e1().xg x 关关于于一一致致有有界界 故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分在在0,+上一致收敛上一致收敛.证明证明:若若(,),)f x ya bc 在在上连续上连续,又又(,)dcf x yy(,)dcf x yy在在,)a b上收敛上收敛,但在但在 处发散处发散,则则 xb 在在,)a b上不一致收敛上不一致收敛【P264:3】.0sinedxxxx 用反证法用反证法.假若积分在假若积分在,)a b上一致收敛上一致收敛,则对于则对于0,Mc,A AM 任给任给总存在总存在当当时对一切时对一切 ,)xa b 恒有恒有(,)d.AAf x yy(,),f x ya bA A 在在(,)dAAf x yy因因上连续上连续,所以所以x,xb 是是的连续函数的连续函数.在上面不等式中令在上面不等式中令 得到当得到当 AAM 时时,(,)d.AAf b yy (,)dcf x yyxb 而而是任给的是任给的,因此因此 在在处收敛处收敛,(,)dcf x yy,)a b这与这与假设矛盾假设矛盾.所以积分所以积分 在在上上不一致收敛不一致收敛.设设(,),)f x ya 在在上连续上连续,若含参量反常积分若含参量反常积分()(,)daI yf x yx()(,)daI yf x yx 在在上上一一致致收收敛敛，所所以以因为因为 在在上一致收敛上一致收敛,则则 I(y)在在 上连续上连续.000,(),AaA Ay 对对于于使使得得当当时时，对对 (,)dAf x yx ,yyy 因因此此当当时时，对对也也成成立立 (,)dAf x yyx(,),()(,)dAaf x ya Ayf x yx 又又在在上上连连续续，故故 0,0,y 在在上上连连续续，故故对对当当时时，()()(,)d(,)dAAaayyyf x yyxf x yx y 从从而而当当时时，()()I yyI y(,)d(,)daaf x yyxf x yx 证明了在一致收敛的条件下证明了在一致收敛的条件下,极限运极限运 算与积分运算可以交换，即算与积分运算可以交换，即00lim(,)d(,)daayyf x yxf x yx0lim(,)d.ayyf x yx(,)d(,)dAAaaf x yyxf x yx(,)d(,)dAAf x yyxf x yx 3.(,),),(,)daf x yac df x yx 设设在在上上连连续续关关于于 ,()(,)d,ayc dI yf x yxR c d 一一致致收收敛敛 则则且且 d(,)dd(,)d.ddcaacyf x yxxf x yy,c d 上可积上可积.又由定理又由定理2得：得：函数项级数函数项级数 ,c d(),nuyc d在在上一致收敛上一致收敛,且各项且各项 上连续上连续,因此因此 由定理由定理3 知道知道I(y)在在,c d上连续上连续,从而从而I(y)在在 (含参量反常积分的可积性含参量反常积分的可积性)111(,)d()nnAnAnnf x yxuy 111()d()dd(,)dnndddAncccAnnI yyuyyyf x yx11d(,)dd(,)d.nnAddAcacnxf x yyxf x yy根据函数项级数逐项求积分定理根据函数项级数逐项求积分定理,有有(无穷区间无穷区间含参量反常积分的可积性含参量反常积分的可积性)(,)daf x yxy关关于于,c d(i)在任何在任何 上一致收敛上一致收敛,(,)f x y,),)ac 设设在在上连续上连续,且且 (,)dcf x yy,a b 关于关于 x 在任何在任何 上一致收敛上一致收敛;(ii)积分积分 d(,)dd(,)daccaxf x yyyf x yx与与中有一个收敛中有一个收敛.则必有则必有d(,)dd(,)daccaxf x yyyf x yx.d(,)dacxf x yy也收敛也收敛.dc 当当时时,不妨设其中中第一个积分不妨设其中中第一个积分收敛收敛,由此推得由此推得 d(,)dd(,)dddcaacIyf x yxxf x yyd(,)dd(,)dddcaacyf x yxxf x yyd(,)dadxf x yy根据条件根据条件(i)及定理及定理4,有有d(,)ddadIxf x yyd(,)dd(,)d.AadAdxf x yyxf x yy 由条件由条件(ii),对于任给的对于任给的 0,GaAG 有有使使当当时时,d(,)d.2Adxf x yy 有有(,)d.2()df x yyAa 使得当使得当 时有时有dM选定选定A 后后,由由 (,)dcf x yy的一致收敛性的一致收敛性,存在存在Mc,lim0.22dddII 从从而而即即 (,)(,)yf x yfx y与与,)a 设设在区域在区域 上连续上连续.若若 ()(,)daI yf x yx(,)dyafx yx在在 上收敛上收敛,在在上一致收敛上一致收敛,则则 I(y)在在 上可微上可微,且且 ()(,)dyaIyfx yx()(,)d,()yayfx yxy 记记由由连连续续性性定定理理知知证证,4cyyc 在在上上连连续续，故故对对于于且且由由定定理理，()dd(,)dyyyccayyyfx yx d(,)dyyacxfx yy(,)daf x cx()().I yI c()y 对对上上式式两两边边求求导导，由由的的连连续续性性，得得()().I yy d(,)d(,)d.daaf x yxf x yxyy表明在定理条件下表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换求导运算和积分运算可以交换.也可表达成也可表达成(,)daf x yx 计算计算 220()ecos2d(0)a xI yyx xa之之值值.22(,)ecos2,(,)a xf x yyxf x y则则在在 设设 220,)(,)(,)e,a xf x y上上连连续续，且且 220ed.P31922a xxa 由由于于广广义义积积分分【：例例】220()ecos2d(0)()a xI yyx xa故故一一致致 收收敛敛.22(,)2 ecos2,(,)a xyyfx yxxy fx y注注意意到到在在 220,)(,)(,)2 e.a xyfx yx上上连连续续，且且 2222222200112 eded().a xa xxxa xaa而而0(,)d()yfx yx从从而而一一致致 收收敛敛.由由定定理理5 5，有有220()2esin2da xIyxyx x 22201sin2dea xyxa2222220012esin2ecos2dxa xa xxyyxyx xaa22().yI ya 22()e.yaI yC解解此此微微分分方方程程，得得2200,(0)ed.2a xyCIxa 令令得得220,()ecos2d,a xCI yyx x为为确确定定常常数数在在中中22()e.2yaI ya 所所以以 计算计算0sinsined(0,).pxbxaxIxpbax 因为因为sinsincosd,babxaxxy yx所以所以0sinsinedpxbxaxIxx0ecosd dbpxaxy yx0decosd.bpxaxxy y ecosepxpxxy 01edpxxp由于由于及及收敛收敛,根根据据M判定法判定法,含参量反常积分含参量反常积分 0ecosdpxxy x,a becospxxy 在区间在区间 上一致收敛上一致收敛.由于由于 在在 0,),a b 上连续上连续,根据定理根据定理4交换积分交换积分有顺序，有顺序，积分积分I 的值不变的值不变.于是于是 220decosddbbpxaapIyxy xypyarctanarctan.bapp 四、欧四、欧 拉拉 积积 分简介分简介 B 函函 数数 两种重要的含参变量广义积分两种重要的含参变量广义积分：1110B(,)(1)d,0,0pqp qxxxpq 函函 数数10()ed,0,sxsxxs 在在中有广泛的应用中有广泛的应用.(,)0,0.B p qpq 的的定定义义域域为为:0,0(,)pqp q 不不难难证证明明 当当时时，收收敛敛，所所以以 0.s 为为:0()()sss 同同理理 当当时时，收收敛敛，所所以以的的定定义义域域01 函函数数的的连连续续性性000,0,0,0,s.t:pqpq 对对000,0.pp 000011111110(1)(1),(1)dpqpqpqxxxxxxx 由由而而00(,),),)p qpq 收收敛敛，故故在在上上一一致致收收敛敛，(,)0,0.p qpq 从从而而在在时时连连续续 02 函函数数的的连连续续性性1111001()edededsxsxsxsxxxxxx 12()().IsIs111110()ee,edsxaxaxIsxxxx对对，由由而而收收敛敛，()(0,)s 结结论论：在在内内闭闭一一致致收收敛敛.,(0,),a b事事实实上上，对对于于1(),Isa b故故在在上上一一致致收收敛敛.11121()ee,edsxbxbxIsxxxx对对，由由而而收收敛敛，2(),Isa b故故在在上上一一致致收收敛敛.(1)=().sss 0(1)e dsssxx 事事实实上上，100ee dsxsxxsxx().ss 1nsn设设，则则(,)()p qs即即：和和在在定定义义域域内内连连续续.()0ss 因因此此在在内内连连续续.(1)()(1)(1)ssss ss (1)()().s ssnsn ()01.ss 因因此此只只需需要要知知道道在在中中的的值值即即可可1sn特特别别地地，当当时时：0(1)()!(1)!ed!xnnnnnxn .即即：函函数数可可以以看看成成是是阶阶乘乘的的推推广广2cosx 1110B(,)(1)dpqp qxxx2121202cossindpq ()()B(,)(0,0)()pqp qpqpq 求证求证0d11 1(,).4 23cos2 2xBx 令令2cos,2xu 则则002dd3cos22cos2xxxx 1 201 21 21111d(1)2(1)uuuu 121 21 201(1)d.2uuu 再令再令 2,tu 则则121 21 201(1)d2uuu 11 21 41 201(1)d2 2tttt 111112401(1)d2 2ttt 11 1B(,).2 42 2 作 业 布 置:264265:2(1),(3);4(2),(4);7.。