第3课时 力的合成与分解基础知识回顾1．合力与分力一个力，如果它产生的效果与几个力的共同作用效果相同，则这个力叫做那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．合力与分力之间是等效替代关系．2．力的合成与分解图2-3-1（1）求几个力的合力的过程叫做力的合成，反之，求一个力的分力的过程叫做力的分解．（2）平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向（如图2-3-1所示）．（3）力的合成与分解都遵从平行四边形定则．（4）力的合成唯一，而力的分解一般不是唯一．3．矢量和标量 既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量叫做矢量．只有大小没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量．重点难点例析一．力的合成1．合成法则：平行四边形定则或三角形定则．2．同一直线上的力合成，选定一个正方向，与正方向相同的力为正，与正方向相反的力为负．即可将矢量运算转化为代数运算求合力．3．互成角度的两力F1、F2的合成①作图法：选定合适的标度，以F1、F2为两邻边作平行四边形，两邻边之间的对角线即为所求．根据标度，用刻度尺量出合力的大小，用量角器量出合力与任意分力的夹角φ．F1F2FOθφA DC图2-3-2②计算法：若以F1、F2为邻边作平行四边形后，F1、F2夹角为θ，如图2-3-2所示，利用余弦定理得合力大小合力F方向与分力F1的夹角φ【讨论】 a．若θ=0，则F = F1+F2 ；若θ=90，则，若θ=180，则F = |F1-F2|；若θ=120，且F1=F2，则F = F1=F2． b．共点的两个力合力的大小范围是 |F1－F2| ≤ F合≤ F1＋F2，当两力夹角θ在0～1800范围内变化时，两分力大小一定时，F合随两力间夹角的增大而减小．c．合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于分力．（4）多个共点力的合成方法2F4F3FOF5F6F图2-3-3 依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求该合力与第三个力的合力，依次类推，求完为止．也可以先正交分解后合成的方法．3F3F3F图2-3-4O【例1】六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60，如图2-3-3所示．试确定它们的合力的大小和方向．【解析】本题若将六个共点力依次逐步合成，无论是计算法还是作图法，都相当繁琐．然而，仔细研究这六个共点力的特点，则不难发现其中的奥秘——同一直线上的两个力的合力均为3F，利用这一点将可大大简化求解过程．先将六个共点力中在同一直线上的力两两合成，可得图2-3-4．再根据平行四边形定则，将两侧的两个3F合成，它们的合力应与中间的3F重合．从而，最终可求得这六个力的合力为6F，方向与大小为5F的那个力同向．【点拨】求多个力的合力时，适当选取力的合成顺序，往往能简化求解过程．通常，可将同一直线上的力先行合成，而对称规律的应用（如大小相等、两两相隔120的三个力的合力为0）也是很有必要的．图2-3-5l 拓展如图2-3-5所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线．已知F1＝10N，则这五个力的合力大小为 N．【解析】方法一：利用平行四边形定则求解 将F5与F2、F4与F3合成，作出平行四边形如图2-3-6（1）所示，它们的对角线对应的力的大小均等于F1，这五个力的合力大小为3F1=30N．故这五个力的合力大小为3F1=30N．方法二：利用三角形法求解 将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的末端之间，如图2-3-6（2）所示．F3、F4的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，这五个力的合力大小为3F1=30 N．方法三：利用正交分解法求解 将力F2、F3、F4、F5沿F1方向和垂直F1的方向分解，如图2-3-6（3）所示.根据对称性知Fy=0， 合力F=Fx， F=2F2cos60+2F4cos30+F1=30 N． 方法四：利用公式法求解 因F1=10N，由几何关系不难求出，F5=F4= N、F2=F3=5N，将F5与F4、F2与F3组合求它们的合力，它们的夹角分别为60和120，由于两个相等力的合力可由公式F合=2Fcos，故它们的合力的大小为5N与15N，方向沿F1的方向，所以这五个力的合力为30N．【答案】30N二．力的分解（1）力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则或三角形定则．（2）两个力的合力唯一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解．（3）力分解时有解、无解的讨论①已知合力F的大小与方向，两个分力的方向，则两个分力的大小有唯一确定解．②已知合力F的大小与方向，一个分力的大小和方向，另一分力的大小与方向有唯一确定解．③已知合力和一个分力F1的大小与另一个分力F2的方向，求分力F1的方向和分力F2的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一．图2-3-7如图所示，已知F、α（F1与F的夹角）和F2的大小．这时有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析．从力F的端点O作出力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆． a．当F 2＜F sinα 时，圆与F1无交点，说明此时无解，如上图a 所示．图2-3-6（1） （2） （3）b．当F 2=F sinα 时，圆与F1相切，说明此时有一解，如上图b所示．c．当F sinα＜F 2＜F时，圆与F1有两个交点，说明此时有两解，如上图c所示．图3—1222lbFABCDααd．当F 2≥F时，圆与F1有一个交点，说明此时有一解，如上图d所示．【例2】图2-3-8是压榨机的原理示意图，B为固定铰链，A为活动铰链，在A处作用一水平力F，滑块C就以比F大得多的压力压物体D．已知图中l=0.5m，b=0.05m，F=200N，C与左壁接触面光滑，D受到的压力多大？（滑块和杆的重力不计）图2-3-9（a ） （ b）【解析】力F的作用效果是对AB、AC两杆沿杆向产生挤压作用，因此可将F沿AC、AB方向分解为F1、F2，如图2-3-9（a）所示，则．力F2的作用效果是使滑块C对左壁有水平向左的挤压作用，对物体D有竖直向下的挤压作用．因此可将F2沿水平方向和竖直方向分解为F3、F4，如图2-3-9（b）所示，则物体所受的压力为．由图可知，且F=200N，故FN =1000 N．【答案】1000 N【点拨】（1）在有些问题中，需要将力多次分解．根据力的作用效果，确定分力方向，是求解此类问题的关键．本题也可运用共点力的平衡知识求解，分别对活动铰链A和滑块C进行受力分析，运用平衡条件列式求得物体D对滑块C的弹力，然后根据牛顿第三定律得物体D所受的压力．（2）当合力和分力组成的平行四边形为菱形时，常将菱形转化为直角三角形，从而确定合力和分力的关系．图2-3-10FαβDECBAl 拓展如图2-3-10是拔桩架示意图．绳CE水平，CA竖直，已右绳DE与水平方向成α角；绳BC与竖直方向成β角．若在E点施加竖直向下的大小为F的拉力作用，求CA绳向上拔桩的力的大小．【解析】将F分解为沿DE方向的分力F1和沿CE方向的分力F2，如图2-3-11（a）所示．再将CE的拉力F2分解为沿BC、AC图2-3-11方向的分力F4、F3，如图2-3-11（b）所示．由几何关系得到：F2 = Fcotα，F3 = F2cotβ，所以F3 = Fcotαcotβ．这就是CA拔桩的拉力大小．【答案】F3 = Fcotαcotβ三．正交分解图2-3-12把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法．如图2-3-12所示，将力F沿x和y两个方向分解，则Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ F2F1F3F437106图2-3-13tanθ=（θ为F与x轴的夹角）【例3】在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N，方向如图2-3-13所示，求它们的合力．xF2F1F3F437图2-3-14xyO37（a）OyFyFxF（b）【解析】本题若连续运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，一次又一次确定部分合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．如图2-3-14（a）建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，x轴和y轴上的合力Fx和Fy ，有Fx=F1+F2cos37－F3cos37=27N Fy= F2sin37+F3sin37－F4=27N因此，如图2-3-14（b）所示，合力大小为 N合力方向 即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45．【点拨】用正交分解法求多个力的合力的基本思路是：先将所有的力沿两个互相垂直的方向分解，求出这两个方向上的合力，再合成所得合力就是所有力的合力．l 拓展图2-3-15F1F26030如图2-3-15所示，两个大人和一个小孩沿河岸拉一条船前进，两个大人的拉力分别是F1=400N和F2=320N，F1、F2的方向分别与河岸成60和30角，要使船在河流中间行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向．【解析】将F1、F2分别沿平行于河岸和垂直于河岸方向分解，则要使船在河流中间行驶，小孩对船施加的最小拉力NN≈186N，方向与河岸垂直且偏向F2一侧．【答案】186N，方向与河岸垂直且偏向F2一侧．四．注意“死杆”和“活杆”问题OCmAB图2-3-16【例4】如图2-3-16所示，质量为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆OB可绕B点转动，当物体静止时细绳OA与轻杆OB间的夹角为θ．求此时细绳OA中张力F1的大小和轻杆OB受力F2的大小．【解析】 由于悬挂物体质量为m，绳OC拉力大小是mg，将重力沿杆和OA方向分解，根据几何关系，可求F1=mg/sinθ；F2=mgcotθ．【答案】F1=mg/sinθ；F2=mgcotθACBm图2-3-17【点拨】在处理支架类力的分解问题时，关键是搞清楚支架的相关部位受拉还是受压，以便决定分力的方向。
一般说来，绳子总是受拉不可能受压，而轻杆则可能受拉也可能受压．判断轻杆的受力情况，可将轻杆换成绳子——在原有外力作用下，若绳子仍能张紧，则轻杆受拉；若绳子不能伸直，则轻杆受压．如本题中若将轻杆换成绳子，则此绳在重物的作用下必将被压缩，所以轻杆肯定受压．l 拓展 如图2-3-17所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小的轻质滑轮B，一轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，∠CBA=30，则滑轮受到绳子作用力为（ ）A．50N B． C．100N D．【解析】对于本题若依照例4中方法，则绳子对滑轮F2=mgcotθ=，应选择D项，实际不然．由于杆AB不可转动，是死杆，杆所受弹力的方向不沿杆AB方向．由于B点处是滑轮，它只是改变绳中力的方向，并未改变力的大小，滑轮两侧绳上拉力大小均是100N，夹角为，故滑轮受绳子作用力即是其合力，大小为100N，正确答案是C而不是D．【答案】C五．用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律（a） （b） 图2-3-181．当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是：两个分力垂直，如图2-3-18（a）甲所示．最小的F2＝Fsinα. （2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图2-3-16（b）所示．最小的F2＝F1sinα.（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，最小的F2＝|F-F1|．图2-3-19 易错门诊【例5】如图2-3-19所示，物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OO 方向做加速运动（F 和OO都在水平面内）．那么，必须同时再加一个力F ，这个力的最小值是（ ）A．Fcosθ B．Fsinθ C．F tanθ D．Fcotθ【错解】当F 与F 垂直时，F 最小，且F = Fcotθ，所以选项D正确．【错因】上述错误的原因是机械的套用两力垂直时力最小，而实际上本题中合力大小不定，方向确定．图2-3-20【正解】根据题意可知，F和F 的合力沿OO 方向，做出其矢量三角形，如图2-3-20所示．由图可知，由F矢端向OO 做垂线，此垂线段即为F 的最小值，故F 的最小值为Fsinθ． 【点悟】做出矢量三角形是解决此类问题的关键，同时要注意哪些力方向不变，哪些力大小、方向都不变．这类问题解决的方法是：大小和方向的力向方向不变的力做垂线，该垂线长即为所求最小力．实际上也可以以F的矢端为圆心，用分力F 的大小为半径作圆，当圆与另一方向不变的力相切时，该半径即为所求力的最小值．课堂自主训练1．用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是（ ）A．保持不变 B．逐渐增大C．逐渐减小 D．以上说法都有可能【解析】 因为重物保持静止，且重物的重力保持不变，则两绳的合力一定与重力大小相等、方向相反，故选项A正确．【答案】A（a）（b）图2-3-21θθ2．如图2-3-21所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，求（a）、（b）两种情况下小球对斜面的压力之比．（a）（b）图2-3-22θθGF2aF2bGF1aF1b【解析】（a）、（b）两种情况中，由于挡板放置方式不同，重力产生的作用效果就不同，因此重力的分解方向就不同．重力的分解如图2-3-22所示，可知球对斜面的压力分别为F1a=，F2b=Gcosθ，所以F1a ：F2b=1：cos2θ．【答案】1：cos2θ课后创新演练1．两个共点力F1与F2的合力为F，则（BD）A．合力一定大于任一分力 B．合力有可能等于某一分力 C．分力F1增大，而F2不变，且它们的夹角不变时，合力F一定增大 D．当两个分力大小不变时，增大两分力的夹角，则合力一定减小 2．有三个力，F1=3N，F2=5N，F3=9N，则（CD）A．F1可能等于F2和F3的合力 B．F2可能等于F1和F3的合力C．三个力合力最小值是1N D．三个力合力最大值是17N 3．两个大小恒定的共点力，合力的最大值为a，合力的最小值为b，当这两个共点力互相垂直时，其合力的大小为（ D）A．a+b B． C． D．图2-3-234．AB、AC两绳相交于A点，绳与绳、绳与天花板间夹角大小如图2-3-23，现用一力F作用于交点A，与右绳夹角为α，保持力F大小不变，改变α角大小，忽略绳本身重力，则在下述哪种情况下，两绳所受张力大小相等（B）A．α=150 B．α=135 C．α=120 D．α=90【解析】两绳所受张力大小相等时，其合力方向一定沿两绳所夹角的角平分线，且与F等值反向，因此α=180-（180-60-30）/2=135．故选项B正确．【答案】BαFG图2-3-24GFF1F2FfFNα图2-3-255．如图2-3-24所示，用跟水平方向成α角的推力F推重量为G的木块沿天花板向右运动，木块和天花板间的动摩擦因数为μ，求木块所受的摩擦力大小． 【解析】如图2-3-25所示，先将推力F沿水平方向和竖直方向分解，则其竖直方向的分力为F2=Fsinα，从而天花板对木块的压力为FN= F2－G =Fsinα－G，因此木块所受的摩擦力为 Ff =μFN=μ（Fsinα－G）【答案】μ（Fsinα－G）6．将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30，试求（1）另一个分力的大小不会小于多少？（2）若另一个分力大小为20/N，则已知方向的分力的大小是多少？图2-3-26【解析】（1）根据已知条件，可作出如图2-3-26（a），合力F与它的两个分力要构成一个三角形，F的末端到直线OA的最短距离表示那个分力的最小值，即过F末端做OA的垂线，构成一个直角三角形，如图2-3-26（b），由几何关系可知F2=Fsin30=10N． （2）当另一分力F2=20/N＞10N，可以组成两个不同的三角形，如图2-3-26（c）．根据正弦定理有F2/sinO=F/sinA=F1/sinB，其中F2=20/N，F=20N，O=30，而A+B=150．可求得F1=20/N，F1=40/N．【答案】（1）10N （2）20/N 40/N7．电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图2-3-27所示，将相距为 L 的两根固定支柱 A、B（图中小圆框表示支柱的横截面）垂直于金属绳水平放置，在 A、B 的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于 A、B 的方向竖直向上发生一个偏移量 d（d< F ，则误差较大的原因可能是哪些？【解析】由题意可知，F为F1和F2的合力，通过平行四边形定则得到，而F 为一个弹簧测力计也拉到O点时的拉力，显然F 的方向应在细绳的方向上，因甲同学F 的方向与细绳在同一直线上，故甲同学的实验结果是尊重实验事实的．由题意可知，F > F，且F 的方向相对F 偏左．由几何知识，F1和F2的大小减小，方向比真实方向偏左将导致图中情况发生．【答案】甲；误差较大的原因可能是：①F1的图示方向比其真实方向偏左，大小比真实值小；②F2的图示方向比其真实方向偏左，大小比真实值小；③作图不规范（如作图时两虚线不分别与F1、F2平行）等．2．实验步骤的分析与判断 本实验中需要记录的有：①用两个测力计拉细绳套使橡皮条伸长，绳的结点到达某位置O点时，要记录结点O的位置、两测力计的示数F1、F2和两测力计所示拉力的方向；②用一个测力计重新将结点拉到O点时，弹簧测力计的拉力大小F及方向．【例2】在“验证力的平行四边形定则”的实验中，其中的三个实验步骤如下：（1）在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板上，另一端拴两根细绳，通过细绳同时用两个测力计互成角度的拉橡皮条，使它与细绳的结点到达某一位置O点，在白纸上记下O点和两测力计的读数F1和F2．（2）在纸上根据F1和F2的大小，选择合适的标度，应用平行四边形定则求出合力F．（3）只用一只测力计通过细绳拉橡皮条，使它的伸长量与两测力计拉时相同，记下此时测力计的读数F和细绳的方向．以上三个步骤中均有错误或疏漏，请指出来．（1）中是 ．（2）中是 ．（3）中是 ．【解析】按实验操作要求，记录力的大小和方向，同时在两次拉橡皮条的过程中，节点O要达到相同位置，这样才能保证两次效果相同．【答案】（1）中是未记下细绳套的方向．（2）中是除F1、F2的大小之外，还应根据F1、F2的方向才能准确作图．（3）中是应将橡皮条与细绳套的结点拉至同一位置O点．【点拨】实验问题的处理方法常常是根据实验原理的要求选择器材，安排合理的操作步骤，只要懂实验原理，处理问题就不难了，所以实验前后都必须弄清楚实验原理．l 拓展在验证“力的平行四边形定则”的实验中，橡皮条的一端固定在木板上，用两个弹簧测力计把橡皮条的另一端拉到某一确定的O点，以下操作中错误的是 （ ）A．同一次实验过程中，O点的位置允许变动B．实验中，弹簧测力计必须保持与木板平行，读数时视线要正对弹簧测力计刻度C．实验中，先将其中一个弹簧测力计沿某一方向拉到最大量程，然后只需调节另一弹簧测力计的大小和方向，把橡皮条的另一端拉到O点D．实验中，把橡皮条的另一端拉到O点时，两个弹簧测力计之间夹角应取90，以便于算出合力大小 【解析】由前面的实验原理、注意事项和误差分析可知BD正确，AC错误．注意本实验是在等效情形下，通过弹簧测力计示数获得合力而不是通过平行四边形定则计算，两个弹簧测力计之间夹角不必成90．【答案】AC课堂自主训练1．下列关于“验证力的平行四边形定则”实验的说法中，正确的是（ ）A．拉橡皮条的绳套细一些且长一些，实验效果较好B．F1和F2的夹角尽量大一些好C．拉橡皮条时，橡皮条、细绳和弹簧秤应贴近且平行于木板D．橡皮条弹性要好，拉到结点O时，拉力要适当大一些【解析】A项可使拉力的方向确定更准确；B项中F1和F2的夹角θ取得太大，其合力误差也越大，因此夹角θ不要太大，也不要太小；C项可使弹簧测力计的示数更准确；D项可减小误差．故本题答案为ACD．【答案】ACD2．“验证力合成的平行四边形定则”的实验原理是等效，其等效性是指（ ）A．使弹簧测力计在两种情况下发生相同的形变B．使两分力与合力满足平行四边形C．使两次橡皮条伸长的长度相等D．使两次橡皮条与两绳套的节点都与O点重合【解析】“验证力合成的平行四边形定则”的实验中，两次拉伸橡皮条时，伸长长度及伸长的方向均相同，两分力与合力的作用效果才相同，也才有等效替代关系，因此C错误，D正确．实验过程，弹簧测力计的拉力的大小和方向是可以改变的，A错误；合力与分力间必须满足平行四边形定则，不是人为造成的，故B也错误．因此本题的答案为D．【答案】D课后创新演练1．在“验证力的平行四边形定则”实验中，假如F1的大小及方向固定不变，那么为了使橡皮条仍伸长到O点，对F2来说，下面几种说法中正确的是（C）A．F2有多个方向 B．F2的方向和大小可以有多个值C．F2的方向和大小有唯一值 D．F2的方向是唯一的，但大小可以有多个值【解析】由力的平行四边形定则可知，在合力一定时且其中一个分力也一定时，另一分力也是唯一的．F1F ′F2F图2-5-42．在“验证力的平行四边形定则”实验中，某同学根据实验数据画出了如图2-5-4所示的图，则其中由实验操作测得的数据有（ ABD ）A．F1 B．F2 C．F D．F 3．在“验证力的平行四边形定则”实验中，下列说法正确的是（B）A．两分力的夹角越大越好B．改用一只弹簧测力计拉时，必须将橡皮条节点拉至同一位置OC．橡皮条系的细绳应尽可能短D．在同一次实验过程中，表示F1、F2 、F的力的图示必须采用同一标度，F 可以采用另一标度4．在“验证力的平行四边形法则”实验中，如图2-5-5所示，用A、B两弹簧拉橡皮条结点，使其位于O点处，此时（α+ β） = 900，然后保持测力计A的读数不变，当α角由图中所示的值逐渐减小时，要使结点仍在O处，可采取的办法是（ ）图2-5-5 A．增大B的读数，同时减小β角 B．增大B的读数，同时增大β角 C．减小B的读数，同时减小β角 D．减小B的读数，同时增大β角图2-5-6【解析】由题意可知，合力的大小和方向不变而A的拉力的大小不变，做出合力F与FA、FB的矢量三角形如图2-5-6所示．据题意，FA的方向以及FB改变后，三者仍必须构成一矢量三角形．以O点为圆心，以FA为半径做圆，可以看出，随着α角减小，FB及β角都减小．故选项C正确．【答案】C5．在“验证力的平行四边形法则”实验中，除了必要的实验器材外，只用一个弹簧测力计能否完成本实验？如果能，应如何操作（只要求写出与提供两个弹簧测力计时不相同的部分即可）？【解析】“一个弹簧测力计如何起到两个弹簧测力计的作用”，是本实验创新设计需要突破的一个难点．体现在迁移能力上就是用一个弹簧测力计分次测力来代替两个弹簧测力计同时测力，但仍遵循力的合成的等效型，即每次都是将节点拉到同一位置O，这就是解决本实验创新的核心问题．【答案】只用一个弹簧测力计能完成本实验．与提供两个弹簧测力计时不相同的实验操作如下：（1）把两条细绳的一条细绳与弹簧测力计连接，另一条细绳用手直接抓住，然后同时拉这两条细绳，使节点至O点，记下两条细绳的方向和此时弹簧测力计的示数F1．（2）放回橡皮条后，将弹簧测力计连接到另一细绳上，用手再同时拉这两条细绳，使节点至O点，并使两条细绳拉于记录下来的方向上，记下此时弹簧测力计F2．34OA甲 乙图2-5-86．橡皮筋的一端固定在A点，另一端栓上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5N、最小刻度为0.1N的弹簧测力计，沿着两个不同的方向拉弹簧测力计．当橡皮筋的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直，如图2-5-8所示．这时弹簧测力计的读数可从图甲读出．（1）由图1-5-8可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为 N和 N．（只须读到0.1N）012345（N）（N）1234图2-5-9（2）在右图的方格纸中按作图法的要求画出这两个力及它们的合力．【解析】（1）读弹簧测力计示数时，应注意首先清楚测力计的最小分度（本题中最小分度为0.1N），其次要找零刻度线，尤其是本题中竖直放置的那个弹簧测力计的倒置，它的读数为2.5N（而不是3.5N），水平方向的弹簧测力计的读数为4.0N．如果本题中没有“只须读到0.1N”的说明，则精确到0.1N的测力计，要估读到0.01N，那么本题的读数分别为2.50N，4.00N．（2）如图2-5-9所示．【答案】（1）2.5 4.0 （2）如图2-5-9所示2 力的合成和分解教学目标：1．理解合力、分力的概念，掌握矢量合成的平行四边形定则。
2．能够运用平行四边形定则或力三角形定则解决力的合成与分解问题3．进一步熟悉受力分析的基本方法，培养学生处理力学问题的基本技能教学重点：力的平行四边形定则教学难点：受力分析教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、标量和矢量1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果3．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等二、力的合成与分解力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。
1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律F1F2FOF1F2FO（2）平行四边形定则可简化成三角形定则由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零3）共点的两个力合力的大小范围是 |F1－F2| ≤ F合≤ F1＋F2（课件演示）（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零例1】物体受到互相垂直的两个力F1、F2的作用，若两力大小分别为5N、５ N，求这两个力的合力．解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F1、F2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：N=10 N合力的方向与F1的夹角θ为： θ＝30点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N，两力之间的夹角为60，求这两个拉力的合力．解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．N=346 N 合力与F1、F2的夹角均为30．点评：（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解例3】将放在斜面上质量为m的物体的重力mg分解为下滑力F1和对斜面的压力F2，这种说法正确吗？解析：将mg分解为下滑力F1这种说法是正确的，但是mg的另一个分力F2不是物体对斜面的压力，而是使物体压紧斜面的力，从力的性质上看，F2是属于重力的分力，而物体对斜面的压力属于弹力，所以这种说法不正确例4】将一个力分解为两个互相垂直的力，有几种分法？解析：有无数种分法，只要在表示这个力的有向线段的一段任意画一条直线，在有向线段的另一端向这条直线做垂线，就是一种方法如图所示3）几种有条件的力的分解①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一4）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。
如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα ②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜（5）正交分解法：把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法用正交分解法求合力的步骤：①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向③求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合④求合力的大小 合力的方向：tanα=（α为合力F与x轴的夹角）点评：力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）例5】质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个? A．mg Ｂ．（mg+Fsinθ）Ｃ．（mg+Fsinθ） Ｄ．Fcosθ 解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力F．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即Fcosθ＝F ①FN＝mg+Fsinθ ②又由于F＝FN ③∴F＝（mg+Fsinθ） 故Ｂ、Ｄ答案是正确的．小结：（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。
也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量2）矢量的合成分解，一定要认真作图在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45当题目规定为45时除外）三、综合应用举例【例6】水平横粱的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的重物，∠CBA＝30，如图甲所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g=10m/s2）A．50N B．50N C．100N D．100N解析：取小滑轮作为研究对象，悬挂重物的绳中的弹力是T＝mg=1010N=100 N，故小滑轮受绳的作用力沿BC、BD方向的大小都是100N，分析受力如图（乙）所示． ∠CBD＝120，∠CBF＝∠DBF，∴∠CBF=60，⊿CBF是等边三角形．故F＝100 NθOPmgEq【例7】已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP向斜下方运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的最小值是多少？解析：根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP方向。
用三角形定则从右图中不难看出：重力矢量OG的大小方向确定后，合力F的方向确定（为OP方向），而电场力Eq的矢量起点必须在G点，终点必须在OP射线上在图中画出一组可能的电场力，不难看出，只有当电场力方向与OP方向垂直时Eq才会最小，所以E也最小，有E =A BGF1F2N点评：这是一道很典型的考察力的合成的题，不少同学只死记住“垂直”，而不分析哪两个矢量垂直，经常误认为电场力和重力垂直，而得出错误答案越是简单的题越要认真作图 【例8】轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N是压力G的平衡力，方向竖直向上因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d∶l =∶4，所以d最大为FBGFαABva【例9】 A的质量是m，A、B始终相对静止，共同沿水平面向右运动。
当a1=0时和a2=0.75g时，B对A的作用力FB各多大？ 解析：一定要审清题：B对A的作用力FB是B对A的支持力和摩擦力的合力而A所受重力G=mg和FB的合力是F=ma当a1=0时，G与 FB二力平衡，所以FB大小为mg，方向竖直向上当a2=0.75g时，用平行四边形定则作图：先画出重力（包括大小和方向），再画出A所受合力F的大小和方向，再根据平行四边形定则画出FB由已知可得FB的大小FB=1.25mg，方向与竖直方向成37o角斜向右上方例10】一根长2m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，如图所示，求直棒重心C的位置解析：当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，如果其中两个力的作用线相交于一点．则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示由几何知识可知：BO=AB/2=1m BC=BO/2=0.5m故重心应在距B端 0.5m处例11】如图（甲）所示．质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？解析：虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论．以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个：对斜面产生的压力N1、对挡板产生的压力 N2，根据重力产生的效果将重力分解，如图（乙）所示，当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，N1大小改变但方向不变，始终与斜面垂直，N2的大小和方向均改变，如图（乙。