1.3.2函数的极值与导数问题问题引航引航1.1.函数极值点、极值的定义是什么函数极值点、极值的定义是什么?函数取得极值的函数取得极值的必要条件是什么必要条件是什么?2.2.求可导函数极值的步骤有哪些求可导函数极值的步骤有哪些?1.1.极小值点与极小值极小值点与极小值(1)(1)特征：函数特征：函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=ax=a的函数值的函数值f(a)f(a)比它在点比它在点x=ax=a附近附近其他点的函数值其他点的函数值_，f(a)=0.f(a)=0.(2)(2)符号：在点符号：在点x=ax=a附近的左侧附近的左侧f(x)0f(x)0f(x)0f(a)f(a)2.2.极大值点与极大值极大值点与极大值(1)(1)特征：函数特征：函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=bx=b的函数值的函数值f(b)f(b)比它在点比它在点x=bx=b附近附近其他点的函数值其他点的函数值_，f(b)=0.f(b)=0.(2)(2)符号：在点符号：在点x=bx=b附近的左侧附近的左侧f(x)0f(x)0，右侧，右侧_._.(3)(3)结论：点结论：点b b叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极大值点，的极大值点，_叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的极大值的极大值.3.3.极值的定义极值的定义(1)(1)极小值点、极大值点统称为极小值点、极大值点统称为_._.(2)(2)极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为_._.都大都大f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)01.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)(1)(1)函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2-x+1-x+1必有必有2 2个极值个极值.(.()(2)(2)在可导函数的极值点处，切线与在可导函数的极值点处，切线与x x轴平行或重合轴平行或重合.(.()(3)(3)函数函数f(x)=f(x)=有极值有极值.(.()1x【解析解析】(1)(1)正确正确.f(x)=3x.f(x)=3x2 2+2ax-1+2ax-1，其，其=(2a)=(2a)2 2-4-43 3(-1)=4a(-1)=4a2 2+120+120，所以，所以f(x)=0f(x)=0有两个不等实根，故有两个不等实根，故f(x)f(x)必有必有两个极值两个极值.故正确故正确.(2)(2)正确正确.在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切在可导函数的极值点处导数为零，所以在该点处的切线与线与x x轴平行或重合轴平行或重合.(3)(3)错误错误.在定义域内在定义域内f(x)=-0f(x)=-0，由极值的判断方法可知，由极值的判断方法可知函数无极值函数无极值.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)21x2.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)函数函数f(x)f(x)的定义域为开区间的定义域为开区间(a(a，b)b)，导函数，导函数f(x)f(x)在在(a(a，b)b)内的图象如图所示，则函数内的图象如图所示，则函数f(x)f(x)在开区间在开区间(a(a，b)b)内极大值点的内极大值点的个数为个数为_._.(2)(2)函数函数f(x)=axf(x)=ax3 3+x+1+x+1有极值的充要条件是有极值的充要条件是_._.(3)(3)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2lnx-2lnx，则，则f(x)f(x)的极小值是的极小值是_._.【解析解析】(1)(1)根据导函数的图象，若左侧的导数值大于零，右根据导函数的图象，若左侧的导数值大于零，右侧的导数值小于零，那么此点就是极大值点侧的导数值小于零，那么此点就是极大值点.因而有因而有2 2个极大值个极大值点点.答案：答案：2 2(2)(2)由题意知由题意知f(x)=3axf(x)=3ax2 2+1=0+1=0有两个不同的实数根，所以有两个不同的实数根，所以a0.a0.答案：答案：a0a0)(x0)，所以，所以x(0 x(0，1)1)时，时，f(x)0f(x)0f(x)0，f(x)f(x)的极小值是的极小值是f(1)=1.f(1)=1.答案：答案：1 12x2(x1)(x1)x【要点探究要点探究】知识点知识点 函数的极值点和极值函数的极值点和极值1.1.对极值概念的两点说明对极值概念的两点说明(1)(1)端点非极值：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某端点非极值：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是极值点是区间内部的点而不会是端点端点.(2)(2)单调无极值：若单调无极值：若f(x)f(x)在某区间内有极值，那么在某区间内有极值，那么f(x)f(x)在该区在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.2.2.极值点与导数为零的关系极值点与导数为零的关系(1)(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即一定是极值点，即“点点x x0 0是可导函数是可导函数f(x)f(x)的极值点的极值点”是是“f(xf(x0 0)=0)=0”的充分不必要条件的充分不必要条件.(2)(2)可导函数可导函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是f(xf(x0 0)=0)=0，且在且在x x0 0左侧和右侧左侧和右侧f(x)f(x)的符号不同的符号不同.(3)(3)如果在如果在x x0 0的两侧的两侧f(x)f(x)的符号相同，则的符号相同，则x x0 0不是不是f(x)f(x)的极值点的极值点.3.3.极值点的分布规律极值点的分布规律(1)(1)函数函数f(x)f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点极小值点之间必有一个极大值点.(2)(2)当函数当函数f(x)f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.4.4.函数在极值点附近切线斜率的变化规律函数在极值点附近切线斜率的变化规律从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0 0，并且，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.【知识拓展知识拓展】极值点与导数的关系极值点与导数的关系(1)(1)可导函数的极值点必须是导数为可导函数的极值点必须是导数为0 0的点，但导数为的点，但导数为0 0的点不的点不一定是极值点一定是极值点.(2)(2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点不可导点可能是极值点，也可能不是极值点.(3)(3)导数为导数为0 0是极值点的情况：是极值点的情况：f(x)=xf(x)=x2 2，f(0)=0f(0)=0，x=0 x=0是极值是极值点点.(4)(4)导数为导数为0 0但不是极值点的情况：但不是极值点的情况：f(x)=xf(x)=x3 3，f(0)=0f(0)=0，x=0 x=0不不是极值点是极值点.(5)(5)不可导点是极值点的情况：不可导点是极值点的情况：y=|sinx|y=|sinx|，x=0 x=0不可导，是极值不可导，是极值点点.(6)(6)不可导点不是极值点的情况：不可导点不是极值点的情况：y=y=，x=0 x=0不可导，不是极不可导，不是极值点值点.13x【微思考微思考】(1)(1)函数的极值点与函数单调性有什么关系函数的极值点与函数单调性有什么关系?提示：提示：极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点点是函数递减区间与递增区间的分界点.(2)(2)函数在某区间上若有多个极值点，则一定既有极大值点也函数在某区间上若有多个极值点，则一定既有极大值点也有极小值点有极小值点?提示：提示：在一个给定的区间上，因为函数极值点左右两侧的单调在一个给定的区间上，因为函数极值点左右两侧的单调性要发生变化，因此相邻的极值点也要发生变化，所以极大值性要发生变化，因此相邻的极值点也要发生变化，所以极大值点与极小值点一定同时出现点与极小值点一定同时出现.【即时练即时练】1.1.下列函数中，下列函数中，x=0 x=0是极值点的函数是是极值点的函数是()A.y=-xA.y=-x3 3 B.y=cos B.y=cos2 2x xC.y=sinx-x D.y=C.y=sinx-x D.y=2.2.函数函数f(x)=x(x-a)f(x)=x(x-a)在在x=1x=1处取得极值，则处取得极值，则a a的值为的值为_._.1x【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为y=cosy=cos2 2x=x=，所以，所以y=-sin 2xy=-sin 2x，显然当显然当x=0 x=0时，时，y=0y=0，x=0 x=0左侧附近的值大于零，右侧附近的左侧附近的值大于零，右侧附近的值小于零，所以值小于零，所以x=0 x=0是其极大值点是其极大值点.2.f(x)=x2.f(x)=x2 2-ax-ax是开口向上，对称轴为是开口向上，对称轴为x=x=的抛物线，在对称轴的抛物线，在对称轴x=x=处取得极值，所以处取得极值，所以a=2.a=2.答案：答案：2 21cos 2x2a2a2【题型示范题型示范】类型一类型一 求函数的极值点或极值求函数的极值点或极值【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014湛江高二检测湛江高二检测)函数函数f(x)f(x)的导函数为的导函数为f(x)f(x)，若，若(x+1)f(x)0(x+1)f(x)0，则下列结论中正确的一项为，则下列结论中正确的一项为()A.x=-1A.x=-1一定是函数一定是函数f(x)f(x)的极大值点的极大值点B.x=-1B.x=-1一定是函数一定是函数f(x)f(x)的极小值点的极小值点C.x=-1C.x=-1不是函数不是函数f(x)f(x)的极值点的极值点D.x=-1D.x=-1不一定是函数不一定是函数f(x)f(x)的极值点的极值点(2)(2)已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c在在x=1x=1与与x=x=时，都取得极值时，都取得极值.求求a a，b b的值；的值；若若f(-1)=f(-1)=，求，求f(x)f(x)的单调区间和极值的单调区间和极值.2323【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中如何根据中如何根据(x+1)f(x)0(x+1)f(x)0确定确定f(x)f(x)的单的单调性？调性？2.2.题题(2)(2)中由中由f(x)f(x)在在x=1x=1与与x=x=处取得极值能得出什么结论？处取得极值能得出什么结论？【探究提示探究提示】1.1.根据积商符号法则，可分根据积商符号法则，可分x x-1-1，x x-1-1进行讨进行讨论，确定论，确定f(x)f(x)0 0或或f(x)f(x)0 0，进而确定函数的单调性，进而确定函数的单调性.2.2.能得出能得出f(1)=0f(1)=0，ff（）=0.=0.2323【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.因为因为(x+1)f(x)(x+1)f(x)0 0，所以，所以x x-1-1时，时，f(x)f(x)0 0，函数，函数f(x)f(x)在区间在区间(-1(-1，+)+)上单调递增，上单调递增，x x-1-1时，时，f(x)f(x)0 0，函数，函数f(x)f(x)在区间在区间(-(-，-1)-1)上单调递减，但是函数上单调递减，但是函数f(x)f(x)在在x=-1x=-1处不一定有定义，如处不一定有定义，如f(x)=f(x)=x=-1x=-1不是函数不是函数f(x)f(x)的极值点的极值点.故选故选D.D.x1 x1x1 x1 ，(2)(2)f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b.+2ax+b.由题设知，由题设知，x=1x=1，x=x=为为f(x)=0f(x)=0的解的解.所以所以a=a=，b=-2.b=-2.f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2-2x+c-2x+c，由，由f(-1)=-1-+2+c=f(-1)=-1-+2+c=，得，得c=1.c=1.所以所以f(x)=xf(x)=x3 3-x-x2 2-2x+1-2x+1，f(x)=3xf(x)=3x2 2-x-2.-x-2.f(x)f(x)随随x x的变化情况如下表的变化情况如下表2322 b2a11().33 33 ，1212123212x x(1(1，+)+)f(x)f(x)+-+2()3，2()3，1所以所以f(x)f(x)的递增区间为（的递增区间为（-，）及）及(1(1，+)+)，递减区间为，递减区间为（，1 1）.当当x=x=时，时，f(x)f(x)有极大值，有极大值，f f（）=当当x=1x=1时，时，f(x)f(x)有极小值，有极小值，f(1)=f(1)=232323234927；1.2【方法技巧方法技巧】求可导函数求可导函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤(1)(1)确定函数的定义区间，求导数确定函数的定义区间，求导数f(x).f(x).(2)(2)求求f(x)f(x)的拐点，即求方程的拐点，即求方程f(x)=0f(x)=0的根的根.(3)(3)利用利用f(x)f(x)与与f(x)f(x)随随x x的变化情况表，根据极值点左右两侧的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值单调性的变化情况求极值.【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=+ln xf(x)=+ln x，求，求f(x)f(x)的极值的极值.【解析解析】因为因为f(x)=f(x)=，令，令f(x)=0f(x)=0，则，则x=x=，注意函数定义域为，注意函数定义域为(0(0，+)+)，所以驻点是，所以驻点是x=x=，当，当x(0 x(0，)时，时，f(x)0f(x)0f(x)0，f(x)f(x)为增函数，为增函数，所以所以x=x=是极小值点，是极小值点，f(x)f(x)的极小值为的极小值为f()=(1+ln 2)f()=(1+ln 2)，没有极大值没有极大值.21x23321x2xxx22222212【补偿训练补偿训练】(2014(2014西安高二检测西安高二检测)已知函数已知函数(c0(c0且且c1c1，kR)kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是一个是x=-c.x=-c.(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的另一个极值点的另一个极值点.(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的极大值的极大值M M和极小值和极小值m m，并求，并求M-m1M-m1时时k k的取值范的取值范围围.2kx1f(x)xc【解析解析】(1)f(x)=(1)f(x)=由题意知由题意知f(-c)=0f(-c)=0，即得，即得c c2 2k-2c-ck=0k-2c-ck=0，(*)因为因为c0c0，c1c1所以所以k0.k0.由由f(x)=0f(x)=0得得-kx-kx2 2-2x+ck=0-2x+ck=0，由根与系数的关系知另一个极值点为由根与系数的关系知另一个极值点为x=1x=1或或(x=c-).(x=c-).222222k(xc)2x(kx1)kx2xck(xc)(xc)，2k(2)(2)由由(*)式得式得k=k=，即，即当当c1c1时，时，k0k0；当当0c10c1时，时，k-2.k0k0时，时，f(x)f(x)在在(-(-，-c)-c)和和(1(1，+)+)内是减函数，在内是减函数，在(-c(-c，1)1)内是增函数内是增函数.所以所以M=f(1)=M=f(1)=m=f(-c)=m=f(-c)=由由M-m=M-m=及及k0k0，解得，解得kk2c 12c1.k k1k0c12，22kc1k0cc2(k2)，2kk122(k2)2.()()当当k-2k0M=f(-c)=0，m=f(1)=0m=f(1)=0，M-m=M-m=恒成立恒成立.综上可知，所求综上可知，所求k k的取值范围为的取值范围为(-(-，-2)-2)，+).+).2k2(k2)k222kk(k1)1112(k2)2k2 2类型二类型二 已知函数的极值求参数范围已知函数的极值求参数范围【典例典例2 2】(1)(1)函数函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+cx在在x=x=处有极值，则处有极值，则ac+2bac+2b的值为的值为()A.-3 B.0 A.-3 B.0 C.1 C.1 D.3 D.3(2)(2)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax在在R R上有两个极值点，则实数上有两个极值点，则实数a a的取值的取值范围是范围是_._.(3)(3)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-bx-bx2 2+2cx+2cx的导函数的图象关于直线的导函数的图象关于直线x=2x=2对称对称.求求b b的值；的值；若函数若函数f(x)f(x)无极值，求无极值，求c c的取值范围的取值范围.1a【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中函数在中函数在x=x=处取得极值的必要条件是处取得极值的必要条件是什么什么?2.2.题题(2)(2)中函数在中函数在R R上有两个极值点，导函数上有两个极值点，导函数f(x)f(x)满足什么条满足什么条件件?3.3.题题(3)(3)中函数中函数f(x)f(x)的导数是什么？其对称轴如何求的导数是什么？其对称轴如何求?【探究提示探究提示】1.1.函数在函数在x=x=处取得极值的必要条件是处取得极值的必要条件是f()=0.f()=0.2.2.函数在函数在R R上有两个极值点，导函数上有两个极值点，导函数f(x)=0f(x)=0有两个不等的根有两个不等的根.3.3.由题意知由题意知f(x)=3xf(x)=3x2 2-2bx+2c-2bx+2c，其对称轴可由系数确定，即对，其对称轴可由系数确定，即对称轴为称轴为1a1a1a2bbx.2 33【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.f(x)=3axA.f(x)=3ax2 2+2bx+c+2bx+c，由题可知，由题可知f()=3a()f()=3a()2 2+2b+2b +c=0 +c=0，所以，所以 所以所以ac+2b=ac+2b=-3-3，故选，故选A.A.(2)f(x)=3x(2)f(x)=3x2 2+a+a，由题可知，由题可知f(x)=0f(x)=0有两个不等的根，所以有两个不等的根，所以a0.a0)a0)上存在极值，求实数上存在极值，求实数a a的取的取值范围值范围.【解析解析】因为因为f(x)=f(x)=，x0 x0，则则f(x)=f(x)=当当0 x10 x0f(x)0，当，当x1x1时，时，f(x)0.f(x)0)a0)上存在极值，上存在极值，所以所以 解得解得 a1.a1.12a11a12，12【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x3 3+ax+ax2 2+b(a+b(a，bR)bR)，若函数，若函数f(x)f(x)在在x=0 x=0，x=4x=4处取得极值，且极小值为处取得极值，且极小值为-1-1，求，求a a，b b的值的值.【解析解析】f(x)=-3xf(x)=-3x2 2+2ax+2ax，由由f(x)=0f(x)=0得得x=0 x=0或或依题意有依题意有 =4=4，所以，所以a=6.a=6.又当又当x0 x0时，时，f(x)0f(x)0，当当0 x40 x0.f(x)0.故当故当x=0 x=0时，时，f(x)f(x)取得极小值取得极小值f(0)=bf(0)=b，所以所以b=-1.b=-1.所以所以a=6a=6，b=-1.b=-1.2ax3，2a3类型三类型三 函数极值的综合应用函数极值的综合应用【典例典例3 3】(1)(1)函数函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+cx的图象如图所示，且的图象如图所示，且f(x)f(x)在在x=xx=x0 0与与x=2x=2处取得极值，则处取得极值，则f(1)+f(-1)f(1)+f(-1)的值一定的值一定()A.A.等于等于0 B.0 B.大于大于0 0C.C.小于小于0 D.0 D.小于或等于小于或等于0 0(2)(2)已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+2.+cx+2.若若f(x)f(x)在在x=1x=1时有极值时有极值-1-1，求，求b b，c c的值的值.在的条件下，若函数在的条件下，若函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=ky=k的图象恰有的图象恰有三个不同的交点，求实数三个不同的交点，求实数k k的取值范围的取值范围.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中结合图象，方程中结合图象，方程f(x)=0f(x)=0的根的情况的根的情况是怎样的是怎样的?2.2.题题(2)(2)中函数中函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=ky=k的图象恰有三个不同的的图象恰有三个不同的交点的实质是什么交点的实质是什么?【探究提示探究提示】1.1.方程方程f(x)=0f(x)=0有一正一负根，且两根之和小于有一正一负根，且两根之和小于零零.2.2.函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与函数的图象与函数y=ky=k的图象恰有三个不同的交点的的图象恰有三个不同的交点的实质是实质是k k的值介于极大值和极小值之间的值介于极大值和极小值之间.【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.由函数由函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+cx+cx，方程，方程f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c=0+2bx+c=0有一正一负根，且两根之和小于零，有一正一负根，且两根之和小于零，即即 且且 ，所以，所以ac0ac0.ab0.函数函数f(x)f(x)在在(x(x0 0，2)2)上为减函数，上为减函数，所以不等式所以不等式f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c0+2bx+c0a0，所以，所以b0b0，因为因为f(1)+f(-1)=(a+b+c)+(-a+b-c)=2b0f(1)+f(-1)=(a+b+c)+(-a+b-c)=2b0，所以所以f(1)+f(-1)f(1)+f(-1)的值一定大于的值一定大于0.0.2b03ac03a(2)(2)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+2+cx+2，所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2+2bx+c.+2bx+c.由已知得由已知得f(1)=0f(1)=0，f(1)=-1f(1)=-1，所以所以解得解得b=1b=1，c=-5.c=-5.经验证，经验证，b=1b=1，c=-5c=-5符合题意符合题意.32bc01bc21 ，由知由知f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-5x+2-5x+2，f(x)=3xf(x)=3x2 2+2x-5.+2x-5.由由f(x)=0f(x)=0得得x x1 1=，x x2 2=1.=1.当当x x变化时，变化时，f(x)f(x)，f(x)f(x)的变化情况如表：的变化情况如表：53x x1 1(1(1，+)+)f(x)f(x)+0 0-0 0+f(x)f(x)极大值极大值极小值极小值5()3，53513（，）根据表格，当根据表格，当x=x=时函数取得极大值且极大值为时函数取得极大值且极大值为f()f()=当当x=1x=1时函数取得极小值且极小值为时函数取得极小值且极小值为f(1)=-1.f(1)=-1.根据题意结合上图可知根据题意结合上图可知k k的取值范围为的取值范围为(-1(-1，).).535322927，22927【方法技巧方法技巧】1.1.三次函数有极值的充要条件三次函数有极值的充要条件三次函数三次函数y=axy=ax3 3+bx+bx2 2+cx+d(a0)+cx+d(a0)有极值有极值导函数导函数f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c=0+2bx+c=0的判别式的判别式=4b=4b2 2-12ac0.-12ac0.2.2.三次函数单调性与极值三次函数单调性与极值(设设x x1 1x0a0，则，则f(x)f(x)在在R R上是增函数；上是增函数；若若a0a00时，若时，若a0a0，则，则f(x)f(x)的增区间为的增区间为(-(-，x x1 1)和和(x(x2 2，+)+)，减区间为，减区间为(x(x1 1，x x2 2)，f(xf(x1 1)为极大值，为极大值，f(xf(x2 2)为极小值；为极小值；若若a0a0000a0a0a0a0【变式训练变式训练】（20142014陕西高考）如图，某飞行器在陕西高考）如图，某飞行器在4 4千米高千米高空水平飞行，从距着陆点空水平飞行，从距着陆点A A的水平距离的水平距离1010千米处下降，已知下千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为（）33331324A.yxx B.yxx12551255331C.yxx D.yxx1251255【解析解析】选选A.A.由函数图象可得函数的极值点为由函数图象可得函数的极值点为5 5，对四个选，对四个选项中函数解析式进行求导，只有选项项中函数解析式进行求导，只有选项A A的函数解析式求导得的函数解析式求导得y=3y=3 ，令，令y=0y=0得得x=x=5 5，所以只有选项，所以只有选项A A的解析的解析式与图象相统一，故选式与图象相统一，故选A.A.213x1255【补偿训练补偿训练】若若a a0 0，b b0 0，且函数，且函数f(x)=4xf(x)=4x3 3-ax-ax2 2-2bx+2-2bx+2在在x=1x=1处有极值，则处有极值，则abab的最大值为的最大值为_._.【解析解析】因为因为f(x)=12xf(x)=12x2 2-2ax-2b-2ax-2b，又因为在又因为在x=1x=1处有极值，所以处有极值，所以a+b=6a+b=6，因为因为a a0 0，b b0 0，所以所以当且仅当当且仅当a=b=3a=b=3时取等号，时取等号，所以所以abab的最大值等于的最大值等于9.9.答案：答案：9 92abab()92，【规范解答规范解答】用极值求解含有参数的函数问题用极值求解含有参数的函数问题 【典例典例】(12(12分分)已知已知f(x)=2ln(x+a)-xf(x)=2ln(x+a)-x2 2-x-x在在x=0 x=0处取得极值处取得极值(ln(x+a)ln(x+a)=).=).(1)(1)求实数求实数a a的值的值.(2)(2)若关于若关于x x的方程的方程f(x)+b=0f(x)+b=0在区间在区间-1-1，1 1上恰有两个不同上恰有两个不同的实数根，求实数的实数根，求实数b b的取值范围的取值范围.1xa【审题审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：若在处不能正确利用函数取得极值的必要条件，：若在处不能正确利用函数取得极值的必要条件，列不出关于列不出关于a a的方程，从而导致本例不得分的方程，从而导致本例不得分.失分点失分点2 2：若在处，不能合理利用已知条件，根据函数导数：若在处，不能合理利用已知条件，根据函数导数的变化情况，判断函数的单调性并求出函数的极值，则最多给的变化情况，判断函数的单调性并求出函数的极值，则最多给6 6分分.失分点失分点3 3：若在处不会结合函数图象：若在处不会结合函数图象.利用函数的单调性和函利用函数的单调性和函数的极值列出关于数的极值列出关于b b的不等式，则最多得的不等式，则最多得8 8分分.【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.牢记常用的结论牢记常用的结论对于利用导数求函数的极值问题，要牢固掌握函数取得极值的对于利用导数求函数的极值问题，要牢固掌握函数取得极值的必要条件和求极值的一般方法，要对求得的导数为零的值进行必要条件和求极值的一般方法，要对求得的导数为零的值进行检验，如本例要对检验，如本例要对a=2a=2进行检验，否则会产生错误进行检验，否则会产生错误.2.2.定义域优先原则定义域优先原则讨论函数问题，首先要考虑函数的定义域，在本例讨论函数问题，首先要考虑函数的定义域，在本例(2)(2)中含有中含有对数式，故求解时先求函数的定义域对数式，故求解时先求函数的定义域.3.3.数形结合思想的应用数形结合思想的应用解决函数问题，特别是在已知函数单调性的情况下，可画出函解决函数问题，特别是在已知函数单调性的情况下，可画出函数的大致图象，如在本例处，利用数形结合会使问题变得直数的大致图象，如在本例处，利用数形结合会使问题变得直观、明了观、明了.【类题试解类题试解】已知函数已知函数f(x)=ef(x)=e-x-x+ax+ax，(1)(1)已知已知x=-1x=-1是函数是函数f(x)f(x)的极值点，求实数的极值点，求实数a a的值的值.(2)(2)若若a=1a=1，求函数，求函数f(x)f(x)的极值的极值.【解析解析】(1)(1)由由f(x)=ef(x)=e-x-x+ax+ax，得：，得：f(x)=-ef(x)=-e-x-x+a+a，因为，因为x=-1x=-1是是函数函数f(x)f(x)的极值点，的极值点，所以所以f(-1)=-e+a=0f(-1)=-e+a=0，解得：，解得：a=ea=e，经检验，经检验a=ea=e符合条件符合条件.(2)(2)令令f(x)=-ef(x)=-e-x-x+1=0+1=0，得：，得：x=0 x=0，列表如下，列表如下，当当x=0 x=0时，时，f(x)f(x)的极小值为的极小值为1 1；f(x)f(x)无极大值无极大值.x x(-(-，0)0)0 0(0(0，+)+)f(x)f(x)-0 0+f(x)f(x)极小值极小值。