一、利用毕奥一萨法尔定律计算磁感应强度—>一 Idl x r毕奥一萨法尔定律：dB =业4兀r31 有限长载流直导线的磁场B =蚪(cos喝-cos a2),无限长载流直导线B 二纹4兀a 2兀a半无限长载流直导线B =也1，直导线延长线上B = 04兀aIR2 I I2 圆环电流的磁场B = ，圆环中心B = ~^，圆弧中心B = ?2( R + x2 )32 2 R 2 R电荷转动形成的电流：1 = % = 一——=——T 2兀① 2兀【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径1)与正方形线圈(边长 a通有相同电流/.如图假设两个线圈的中心1、O处的磁感强度大 小相同，则半径a1与边长a2之比a1 :也为解法：Bo —迎(A) 1 : 1 (B) <2k : 1 (C) <2k : 4(D)72兀:8Bo2 = 4 X 日 X cos450 - COS1350 = 2了"， 由Bo1 = Bo2,得^1 = ^|^4兀x工 2 22【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的p点的磁感强度B的大小为 rtVi _(A) ―^0^ . (B) 迦ln(a-^b .(C) 些ln 牛^ . (D) ―^0^ .2 兀(a + b) 2 兀。
b 2汕 b 兀(a + 2b)解法：在距离P点为r处选取一个宽度为dr的电流元(相当于一根无限长的直导线)，电流为双=-dr, adI — _ —它在P处产生的』8 =世一,方向垂直纸面向内；依据B = fdB,B的方向也垂直纸面向内2兀,B的大小为：B = f逐1 =座］“d =蛆ln竺 2兀r 2兀a b r 2兀a b【 】自测提升2、通有电流I的无限长直导线有如图三种形状，则P, Q, O各点磁感强度的大小bp, bq,Bo间的关系为 ,,(A) Bp> Bq> Bo (B) Bq> Bp> Bo. L i .篇B°> 如(D)如〉Bq〉如 娘/B = -^(cos01 -cos02)和圆弧电流产生磁场公式4兀aB = < - £可得B =喙、B = 2 X碧〔1 +号=隼〔1 +号Bo = 2 x史+虻=迦〔1 +生〕 4兀a 4a 2兀a 2【 】自测提升7、边长为的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q的点电荷.此正 方形以角速度 绕A轴旋转时，在中心°点产生的磁感强度大小为B1；此正方形同样以 角速度 绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感应强度的大 二 …小为&2,则&1与&2间的关系为1(A) Bi= B2. (B) Bi= 2B2. (C) Bi= B2. (D) Bi= B2/4 .2 - * ▲解法： ■设正方形边长为a , AO = OC =。
式中~ = — a)2两种状况下正方形旋转时的角速度①相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同，为I =竺2兀当正方形绕A轴旋转时，一个点电荷在点产生的磁感应强度的大小为B =好，实际2b上有两个点电荷同时绕AC旋转产生电流，在O点产生的总磁感应强度的大小为Bi = 2 B = 2 x 判1 =些 2b b同理，当正方形绕过点垂直于正方形平面的轴旋转时，在点产生的磁感应强度的大小为B2 = 4 B = 4 x虹=坦2b b故有B2 = 2 B]基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Qx轴放置，电流沿J正向.在原点处、取一电流元1 dI，则该电流元在(0, 0)点处的磁感强度的大小为，方向为解法：丁 r ^ b一 Un Idl xe iin Idlj x i iin Idl 力依据毕奥-萨伐尔定律B =由一L 二也一^ =-些-Tk4兀 r 4兀 a 4兀a自测提升19、将通有电流I的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B的大小解法：其中3/4圆环在D处的场B1 =3日01/(8a)AB段在D处的磁感强度B2 =[日01 /(4应)]•(1 *3)A1B[=[四01 /(4应)]•(厂 2)A、 、B2、B3方向相同，可知D处总的B为日0/ 3兀 <2 ( + ~T~)4 兀 2a b基础训练23如图所示，半径为人，线电荷密度为A (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度"转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向.解法:圆线圈的总电荷q = 2炳人，转动时等效的电流为T q 2兀砍1 = =T 2 兀 / m代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得方向沿y轴正向.二、利用安培环路定律求对称性分布的电流四周的磁场— —安培环路定理：JB・出=日0 Z1 i1。
无限长载流圆柱导体r > R , B =毕1r < R B =整2" 2 冗R2n nI内2. 长直载流螺线管B =，印 :0夕卜［四N3.环形载流螺线管B = 1 2〞0「 ° 〔 0 两板外侧4无限大载流导体薄板B =曲叫2 ,两块无限大载流导体薄板B = J、曲以两板之间【 】基础训练5、无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为久电流在导体截面上 均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离〃的关系定性地如图所 示.正确的图是解法：I ^ 2 a 2 依据安培环路定理：当|尸< a时B = 0 当b > r > a时B = 虬.- 2兀 r b2 - a2 当r > b时 b = ^0-且r = a时B = 0和b >尸> a时，曲线斜率随着r增大2兀r自测提升16、如图所示.电荷q 〔＞0〕均匀地分布在一个半径为A的薄球壳 外表面上，假设球壳以恒角速度coo绕z轴转动，则沿着z轴从一8到+ 8磁感强度的线积分等于 解法：由安培环路定理jB・d，= jB・d，=日 01一3而I =—— 2兀基础训练18、将半径为R的无限长导体薄壁管〔厚度忽略〕沿轴向割去一宽度 为h 〔 h＜〈 R〕的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流， 其面电流密度〔垂直于电流的单位长度截线上的电流〕为，，则管轴线磁感强度 的大小是〔提示：填补法〕解法：依据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面 的根数〔磁通量为负〕与穿出的根数〔磁通量为正〕相同，代数和为零.基础训练25、一无限长的电缆，由一半径为a的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b、c的 圆筒状导线组成，如图11-42所示。
在两导线中有等值反向的电流I通过，求：〔1〕内导体中任一点〔r〈a〕的磁感应强度；〔2〕两导体间任一点〔a〈r〈b〕的磁感应强度； 1、一⑶外导体中任一点〔b＜r〈c〕的磁感应强度； /瞰〔4〕外导体外任一点〔r〉c〕的磁感应强度 A [ ① \ ]解法： • ’用安培环路定理| B - dl =曲指I求解磁感应强度的方向与内 J.=’导线的电流成右手螺旋关系.其大小满足：B 2"=日0 VI 〔r为场点到轴线的距离〕(1) r < a : B • 2兀r =曰二冗r2, B = ^0^双 2兀a(2) a < r < b : B赤=日01・.B =四1 2nr(3) b < r < c : B2兀r =日0(-兀(，2 卷2)i]. b 二 〔兀(c2 - b2) J .(4) r > c : B. 2" = 0, B = 0三、磁通量的计算dS , d ① m = B • dS ,①皿=j 加 m 高斯定理：j d①m = 0基础训练11、均匀磁场的磁感强度6与半径为〃的圆形平面的法线亓的夹角为，今以圆周为边界，作一个半球面S, S与圆形平面组成封闭面如图11-31.贝IJ通过S面的磁通量中=。
〔提示：填补法〕解法：依据磁场的高斯定理，通过S面的磁通量数值上等于通过圆平面的通量.当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S面的磁通量为负值自测提升13、一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流/.假设 作一个半径为R=5a、高为/的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线 的轴平行且相距3o.则B在圆柱侧面S上的积分jj B-6S = s解法：依据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面 的根数〔磁通量为负〕与穿出的根数〔磁通量为正〕相同，代数和为零基础训练22一无限长圆柱形铜导体〔磁导率卬〕，半径为R,通有均 匀分布的电流/.今取一矩形平面S 〔长为1!11,宽为2 7?〕,位置如图中 画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量.解法：依据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感应 强度的大小为：Im因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为中］=J如i= J0 *4尸dr =半0 2兀R 8兀在导体外穿过导体外矩形截面的磁通量为故总的磁通量为1R〔详见同步与复习自测例题12-3〕2=j B - dS=r / 必略in 2附加题自测提升26、均匀带电刚性细杆AS线电荷密度为入,绕垂直于直线的轴O以 角速度匀 速转动〔。
点在细杆AB延长线上〕.如图11—43所示，求：、〔1〕 O点的磁感强度B0 ；〔2〕 系统的磁矩pm ;(3)假设 a〉＞ b,求 B0及pm.解法：(1)将带电细杆分割为许多电荷元在距离o点r处选取长为dr的电荷元,其带电dq = \dr 该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：dI =攵=4 =剪 drT 2兀/① 2兀它在O点产生的磁感应强度为dB0= 虹=心巫dr,方向垂直于纸面向内0 2r 4nr~> . —> —► —►依据B° = JdB° , B0的方向也是垂直于纸面向内，B0的大小为(2) dq所等效的圆电流di的磁矩为dpm = 党史l —兀r 方向垂直于纸面向内;I依据p m = J dp m 一的方向也是垂直于纸面朝内r的大小为pm =兀r 2 巫 dr =亚(a + b)3 - a3a 2 兀 6 v 7(3) a〉〉b时,AB杆可近似看作点电荷：电量为"，等效的圆电流：I =仲——在o点产生的磁感应强度为B = bo£ = l 0■渺2a 4兀a系统的磁矩★★★★布置的作业中遗漏(自测提升24)在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动.求等效圆电流的磁矩pm与电 子轨道运动的动量矩L大小之比，并指出和E方向间的关系•(电子电荷为e,电子质量为 m)解：设电子绕核运动的轨道半径为R，匀速圆周运动的速率为v 核外电子绕核运动等效的圆电流为e ev1 = ~=——2冗R 2冗Rv电流的磁矩=IS =evevR电子轨道运动的动量矩可见Pm = _e_L 2m两者的方向相反。
〔自测提升28〕用安培环路定理证实，图中所表示的那种不带边缘效应的均 匀磁场不可能存在.证实：用反证法.假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为8.作 矩形有向闭合环路如图所示，其ab边在磁场内，其上各点的磁感强度为B,cd 边在磁场外，其上各点的磁感强度为零.由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而依据安培环路定理有：j B • d l = Bab = 0L因Ob卫0 .所以B = 0,这不符合原来的假设.故这样的磁场不可能存 在.。