习题三1. 试证 3.1 节均方收敛的性质2. 证明：若 X (t ), t ÎT ; Y (t ), t ÎT 均方可微，a,b 为任意常数，则 aX (t ) +bY (t ) 也是均方可微，且有[aX (t ) +bY (t )]¢=aX¢(t) +bY¢(t)3. 证明：若 X (t ), t ÎT 均方可微， f (t ) 是普通的可微函数，则 f (t ) X (t ) 均方 可微且[ f (t ) X (t )]¢=f¢(t) X (t ) + f (t ) X ¢(t)4. 证明：设 X (t ) 在 [a, b ] 上均方可微，且 X ¢(t) 在 [a , b] 上均方连续，则有òbaX ¢(t) dt =X (b) -X ( a)X (t ) dt +bòò X (t ) dt +5. 证明，设 X (t ), t ÎT =[ a, b]; Y (t ), t ÎT =[ a , b] 为两个随机过程，且在 T 上 均方可积， a和 b为常数，则有òb[aX (t ) +bY(t )] dt =aòb bY (t ) dtaa aòbaX (t ) dt =òc bX (t ) dt , a ≤ c ≤ ba6. 求随机微分方程a cìíîX ¢(t) +aX (t ) =Y (t ) X (0) =0t Î[0, +¥]的 X (t ) 数学期望 E [ X (t )] 。
式中 a >,Y (t ) 为平稳过程 E [Y (t )] =l习题四>01. 考虑一个具有随机相位的余弦波，它由如下定义的随机过程描述：X (t ) =cos( lt +q)，其中 l 是常数， q 服从 ( -p,p)上的均匀分布，证明 X(t) 是宽 平稳过程2. 考虑一个具有随机振幅的正弦波，它由如下定义的随机过程描述X (t ) =Axos 2pt +bsin 2pt其中， A 、 B 为两个随机变量，且满足 E ( A) =E ( B ) =0, D ( A) =D ( B ) =1 ， E ( AB ) =0 ，度 X(t)为宽平稳过程3. 设随机过程 X (t ) =Y , Y 是方差不为零的随机变量，试讨论其各态历经性 4. 设 X(t) 是 雷达的 发射信号，遇 到目标 后返回接收机 的微弱 信号是aX (t -t), a 1<1,t 是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声，记噪声为 1N (t ) ，于是接收机收到的全信号为 Y (t ) =aX (t -t1) +N (t ) ①若 X(t)和 Y(t)是联合平稳，求互相关函数 R (t)XY②在①的条件下，假如 N(t)的均值为零，且 X(t)是相互独立，求 R (tXY是利用互相关函数从全信号中检测小信号的接收法）。
) （这5. 设有随机过程 X (t ) =A cos (wt +q)，其中 A 是具有瑞利分布的随机变量， 其概率密度为ìa a2ï e - t ( a ) =ís2 2s2a >0ïî0a ≤ 0q是在（0, 2 p）上具有均匀分布且与 A 相互独立的随机变量， w 是一个常ï î ï ï î 数，问 X(t)是否是宽平稳过程习题五1. 已知平稳过程 X (t ) 的谱密度为 G (w) =Xw4w2+3w2+2，求 X (t ) 的均方值E [ X 2 (t )] 2. 已知平稳过程 X (t ) 的自相关函数为R (t) =4e X-|t|cos pt+cospt求 G (w) X3. 如下图的系统中，若 X (t ) 为平稳过程，证明 Y (t ) 的功率谱是G (w) =2G (w) (1 +cos wt )Y X习题 3 图4. 已知平稳过程 X (t ) 的谱密度为G (w) = Xì w ï8d(w)+20(1- ) í 100w ≤ 10其它求 RX (t)5. 设 X (t ) =A sin(wt +j)和 Y (t ) B sin(wt +j-a)为两个平稳过程，其中，A、 B 、 a与 w 为 常 数 ， j是在 (0,2 p) 上 服 从 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 。
求R (tXY) 和 R (t XY) 6. 已知平稳过程 X (t ) 和 R (tXY) G (w) = XYìa + jbw/ í0w0w
习题七1. 设岩性这个随机变量只能取砂岩（用E 代表）、灰岩（用E 代表）两种状态，对于1 2某地层剖面观测记录的一次实现为E E E E E E E 1 1 1 2 1 1 1E E E E E E E E E 2 2 1 1 1 2 1 1 1，试写出它的转移概率矩阵é ê ê 2 ê ú ú ú ç ÷ ø ê ê ê ù ú ú ú ú2. 设有四个状态{a , a , a , a } 1 2 3 4的马氏链，它的一步转移概率矩阵为01êP =ê0êê1êë21201200120121 ù2ú0 úú12ú0 úû试画出其状态传递图3. 设有一马尔可夫链，其转移状态有两种： E 、 E ，经计算得一阶转移概率矩阵为1 2P(1)æ=çè0.790.590.21ö÷0.41求证该链具有遍历性，并求出极限分布4. 设有四个状态{00, 01, 10, 11}的马氏链，它的一步转移概率矩阵为P(1)é12êê0=ê14êê0ë12034002302501ú30ú3 úú5 û试画出它的状态传递图第二十五章概率综合测试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题３分，共 30 分）1．下列事件是必然发生事件的是（ ）A.打开电视机，正在转播足球比赛B．小麦的亩产量一定为 1000 公斤C.在只装有 5 个红球的袋中摸出 1 球，是红球D.农历十五的晚上一定能看到圆月2．气象台预报“本市明天降水概率是 80%”．对此信息，下列说法正确的是（ ） A.本市明天将有 80％的地区降水 B．本市明天将有 80％的时间降水C.明天肯定下雨 D.明天降水的可能性比较大3．小晃用一枚质地均匀的硬币做抛掷试验，前 9 次掷的结果都是正面向上，如果下一次掷得的正面向上的概率为 P(A)，则（ ）A.P(A)＝1B．P(A)＝1 1 1C. P(A)＞ D. P(A)＜2 2 24．在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下面各个试验中哪个不能代替 （ ）A.两张扑克，“黑桃” 代替“正面”，“红桃” 代替“反面”，B．两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球，C.扔一枚图钉，D.人数均等的男生、女生，以抽签的方式随机抽取一人。
5．十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒当你抬头看信号 灯时，是黄灯的概率是（ ）A.1 1 5 1B． C. D.12 3 12 26．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为 1~10 号共 10 道综合素质测试题共选手 随机抽取作答在某场比赛中，前两位选手分别抽走了 2 号，7 号题，第 3 位选手抽中 8 号题的概率是（ ）A.1 1 1 1B． C. D.10 9 8 77．某市民政部门：“五一”期间举行“即开式福利彩票”的销售活动，发行彩票 10 万张（每 张彩票 2 元），在这此彩票中，设置如下奖项：奖金（元） 1000 数量（个） 10500 100 50 10 2 40 150 400 1000 10000如果花 2 元钱购买 1 张彩票，那么所得奖金不少于 50 元的概率是（ ）A.1 3 1 1B． C. D.200 500 500 20008．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿 3 块分别写有“20”，“10”和“北京”的 字块，如果婴儿能够拼排成“2010 北京”或者“北京 2010”，则他们就给婴儿奖励。
假设婴 儿能将字块横着排列，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ）A.1 1 1 1B． C. D.6 4 3 29．甲、乙、丙三位同学参加一次节日活动，很幸运的是，他们都得到了一件精美的礼物 事情是这样的：墙上挂着两串礼物（如图 1），每次只能从其中一串的最下端取一件，直 到礼物取完为止.甲第一个取得礼物，然后，乙、丙依次取得第 2 件、第 3 件礼物，事后 他们打开这些礼物仔细比较发现礼物 B 最精美，那么取得礼物 B 可能性最大的是（ ） A.甲 B．乙 C.丙 D.无法确定10．一个均匀的立方体各面上分别标有数字 1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图 2 所 示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的 2 倍的概率是 （ ）1 1 1 2A． B． C． D．6 3 2 386 4 3B CA图 12 1图 2二、填空题（本大题共 6 小题，每小题３分，共 18 分）11．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸2出一个乒乓球是黄色的概率是 ，可以怎样放球： （只写一种）512．有 4 条线段，分别为 3cm，4cm，5cm，6cm，从中任取 是 。
3条，能构成直角三角形的概率13．一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外没有任何区别），分别是 2 个红球，3 个 白球和 5 个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续 9 次摸出的都是黑 球的情况下，第 10 次摸出红球的概率是 14．成语“水中捞月”用概率的观点理解属于不可能事件，请仿照它写出一个必然事件 15.某班级中有男生和女生各若干个，若随机抽取 1 人，抽到男生的概率是45，则抽到女生的概率是： __ ___16.不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2 个，黄球有 1 个，现从中任意摸出一个白球的概率是16，则口袋里有蓝球＿＿＿个.三、解答题（本大题共 9 小题，共 52 分）17.如图是一个被等分成 6 个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向 红色区域的概率是多少？18. 投掷两颗普通的正方体骰子，求： （1）点数之和为“11”的概率；（2）点数之和 为“7”的概率；（3）点数之和为“3 的倍数”的概率19.小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜。
这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树 状图加以分析20.布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个 （1）从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回布袋，搅匀后再摸出一个球，记录下颜色求得到的两个颜色中有“一红一黄”的 概率是多少？（2）如果摸出第一个球后部放回布袋，再摸出第二个球，这时得到两个颜色中有“一红 一黄”的概率是多少？21.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20 只，某学习小 组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复下 表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数 n 摸到白球的次数 m100 150 200 500 800 1000 58 96 116 295 484 601摸到白球的频率mn（1）请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ； （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?22.甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地 的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？(用树状图或列表法解答)23.如图，甲转盘被分成 3 个面积相等的扇形、乙转盘被分成 2 个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次、小秋转乙盘一次为一次 游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）。
1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为 6 或 7，则我获胜；否则你获胜” 按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少?（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法 (例如：树状图，列表)说明其公平性24.小颖为九年级 1 班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色” 成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率蓝红蓝红25.有两个可以自由转动的均匀转盘A，B红，都被分成了 3 等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘 A，B ；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重 转一次，直到指针指向某一份为止）1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为 3 的倍数和数字之积为 5 的倍数的概率； （2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为 3 的倍数时，小亮得 2分；数字之积为 5 的倍数时，小芸得 3 分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由； 认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平。
123A465B图 2。