专题训练(三) 圆中的多解问题 ► 类型一 点与圆的位置关系1．已知点P到⊙O上的点的最短距离为3 cm，最长距离为5 cm，则⊙O的半径为________ cm.2．如图3－ZT－1所示，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有________个．图3－ZT－1► 类型二 圆中的平行弦间的距离3．在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，弦CD＝8 cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离．► 类型三 弦所对的圆周角4．圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为( )A．30° B．60°C．60°或120° D．30°或150°5．已知在半径为2的⊙O中，圆内接三角形ABC的边AB＝2 ，则∠C的度数为( )A．60° B．30°C．60°或120° D．30°或150°6．已知圆的一条弦把圆周分成1∶3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是________．7．若⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，求弦AB所对圆周角的度数．8．在⊙O中，直径AB＝2，弦AC＝，弦AD＝，求∠CAD的度数．9．如图3－ZT－2所示，在半径为6的⊙O中，弦AB的长为6 .(1)求弦AB所对的圆周角的度数．(2)若⊙O中一条长为6 的弦CD在圆周上运动，当点C与点B重合时，求∠ABD的度数；当C是的中点时，设CD与AB交于点P，求OP的长．图3－ZT－2► 类型四 外心的位置10．若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为( )A．2＋ B.C．2＋或2－ D．4＋2 或2－11．△ABC内接于⊙O，∠AOB＝100°，则∠ACB＝________．12．△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，求∠ABC的度数．13．已知三角形ABC中，AB＝AC，点A，B，C在以点O为圆心的同一个圆上，圆心O到BC的距离为3 cm，圆的半径为7 cm，求腰长AB.详解详析专题训练(三) 圆中的多解问题1．[答案] 1或42．[答案] 33．解：过点O作AB，CD的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连结OA，OC.在Rt△OAE中，OE＝＝＝4(cm)．在Rt△OCF中，OF＝＝＝3(cm)．(1)当AB，CD在圆心O的同侧时，如图①，AB和CD之间的距离为EF＝4－3＝1(cm)． (2)当AB，CD在圆心O的异侧时，如图②，AB和CD之间的距离为EF＝4＋3＝7(cm)．所以AB和CD之间的距离为1 cm或7 cm.4．[答案]C5．[答案]C6．[答案] 45°或135°7．[答案] 60°或120°8．解：如图，可计算出∠CAB＝45°，∠DAB＝30°.①当AC，AD在AB的两侧时(如图①)，∠CAD＝45°＋30°＝75°；②当AC，AD在AB的同侧时(如图②)，∠CAD＝45°－30°＝15°.9．[解析] (1)过点O作ON⊥AB于点N，连结OA，OB，由垂径定理求出AN＝BN＝3 ，ON＝3，根据＝，求出∠OBN，∠BON，然后求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出∠AEB和∠AFB即可；(2)过点O作OM⊥CD于点M，由垂径定理求出BM＝DM，求出∠MBO＝45°，由(1)知：∠OBN＝30°，代入求出即可；连结OC，OD，OP，求出BE＝AE＝3 ，由勾股定理求出OE＝3，得出AB垂直平分OC，推出△OPC是等腰三角形，△COD为等腰直角三角形，推出∠PCO＝45°，进而求出∠OPC＝90°.解：(1)如图①，过点O作ON⊥AB于点N，连结OA，OB.由垂径定理得AN＝BN＝AB＝3 .在Rt△ONB中，∵OB＝6，BN＝3 ，∴ON＝3，∴＝，∴∠OBN＝30°，∠BON＝90°－30°＝60°.∵OA＝OB，ON⊥AB，∴∠AOB＝2∠BON＝120°.由圆周角定理得①∠AEB＝∠AOB＝60°，②∠AFB＝180°－60°＝120°.综上所述，弦AB所对的圆周角为60°或120°.(2)分为两种情况：如图②，过点O作OM⊥CD于点M，由垂径定理得BM＝DM＝3 ，∴∠MBO＝45°.由(1)知∠OBN＝30°，∴∠ABD＝45°＋30°＝75°.当点D在点D′处时，∠ABD′＝45°－30°＝15°.即∠ABD的度数是15°或75°.连结OC，OD，OP，如图③.∵C是的中点，∴OC⊥AB.∵AB＝6 ，半径为6，∴BE＝AE＝3 ，OE＝3，∴CE＝6－3＝3＝OE，即AB垂直平分OC，∴OP＝PC，即△OPC是等腰三角形，且OP＝PC.∵CD＝6 ，OC＝OD＝6，∴OC2＋OD2＝CD2，即△COD为等腰直角三角形，∴∠PCO＝45°.∵△PCO为等腰三角形，∴∠POC＝∠PCO＝45°，∴∠OPC＝90°，即OP⊥CD.在等腰直角三角形OCD中，DP＝CP＝OP，∴OP＝CD＝3 .10．[解析]C 由题意可得，如图所示．存在两种情况：当△ABC为△A1BC时，连结OB，OC，∵点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，OA1⊥BC于点D，∴CD＝1，OD＝＝，∴S△A1BC＝＝＝2－.当△ABC为△A2BC时，S△A2BC＝＝＝2＋，由上可得，△ABC的面积为2－或2＋，故选C.11．[答案] 50°或130°12．解：如图，①若点O在△AB1C的内部，则∠AB1C＝∠AOC＝80°.②若点O在△AB2C的外部(在△AB1C内部)，∵四边形AB1CB2内接于⊙O，∴∠AB2C＋∠AB1C＝180°，此时，∠AB2C＝180°－80°＝100°.综上可知，∠ABC的度数为80°或100°.13．[解析] 可根据勾股定理先求得BD的长，再根据勾股定理可求得AB的长．注意：圆心在圆内接三角形内时，AD＝10 cm；圆心在圆内接三角形外时，AD＝4 cm.解：分圆心在圆内接三角形内和在圆内接三角形外两种情况讨论：如图①，若∠A是锐角，则△ABC是锐角三角形，连结OA，OB，延长AO交BC于点D，则AD⊥BC.∵OD＝3 cm，OB＝7 cm，∴AD＝10 cm，BD＝＝2(cm)，∴AB＝＝2(cm)．如图②，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图①解法类似，可得AD＝7－3＝4(cm)，∴AB＝＝2(cm)．综上可得，腰长AB＝2cm或AB＝2cm.11。
