第四章 圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程 1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋3)2＋(y－1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为( )A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝17．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )A．|a|＜1 B．a＜ C．|a|＜ D．|a|＜9．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为 2 ，求a的值．4.1.2 圆的一般方程 1．圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是( )A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤14．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( )A．3x＋2y＋1＝0 B．3x＋2y＝0C．3x－2y＝0 D．3x－2y＋1＝05．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．6．点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是( )A．－10)相切，则m的值为( )A. B. C. D．24．(2013年陕西)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离 D．不确定5．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )A.x＋y＝5 B.x＋y＋5＝0C．2x＋y＝5 D．2x＋y＋5＝06．(2013年浙江)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．7．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A．1 B．2 C. D．39．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 时，求直线l的方程．4.2.2 圆与圆的位置关系 1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是( )A．外离 B．外切 C．相交 D．内切2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为( )A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．2x＋y＝03．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是( )A．2 B．3 C．4 D．54．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m＋c的值是( )A．－1 B．2 C．3 D．06．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为( )A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 ，求实数a的值．8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．4.2.3 直线与圆的方程的应用 1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )A．0或2 B．2C. D．无解3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )A．y＝x B．y＝－xC．y＝x D．y＝－x4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．都有可能5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为( )A．1 B．0C．2 D．2 －3 6．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是( )A．a＝－3 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝－27．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A．4条 B．3条 C．2条 D．1条8．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为____________．9．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值为( )A. B. C. D.10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)．(1)若点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；(3)若实数m，n满足m2＋n2－4m－14n＋45＝0，求k＝的最大值和最小值．4.3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系 1．点P(－1,0,1)位于( )A．y轴上 B．z轴上C．xOz平面内 D．yOz平面内2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)3．点P(－4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是( )A．(4,1,0) B．(0,1,3)C．(0,3,0) D．都不对4．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q，则Q的坐标为( )A．(0，，0) B．(0，，)C．(1,0，) D．(1，，0)5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )A．y轴上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．第一象限内6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是( )A．z轴上的两个点 B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面D．以上答案都有可能7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(3,7,4)C．(0，－8,1) D．(7,3,1)8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．10．如图K431，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．图K4314．3.2 空间两点间的距离公式 1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为( )A. B．6 C. D．22．坐标原点到下列各点的距离最大的是( )A．(1,1,1) B．(2,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,3,4)3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为( )A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)C．(0,0，－3) D．(0，－3,0) 4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝( )A．10 B. C．2 D．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝( )A. B. C. D.6．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．第四章 圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．C 2.D3．(－2,2) |m| 4.±5 5.(x＋2)2＋(y－1)2＝26．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.7．解：方法一：设圆心P(a，b)，则解得圆的半径r＝＝＝5.∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.方法二：线段AB的中点P′，即P′.直线AB的斜率k＝＝－.∴弦AB的垂直平分线的方程为y－＝7，即7x－y－10＝0.解方程组得即圆心P(1，－3)．圆的半径r＝＝5.∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.8．D9.＋510．解：∵弦AB的长为2 ，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴＝1，∴a＝0.4．1.2 圆的一般方程1．(3,0) 2.43．B 4.A5．2 π6．A7．解：(1)2＋y2＝，圆心，半径r＝.(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|.(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝.8．C 解析：圆的标准方程是：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r＝13.过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．9．解：设点P的坐标为(x，y)，A的坐标为(x0，y0)．∵点A在直线2x－3y＋5＝0上，∴有2x0－3y0＋5＝0.又∵P为MA的中点，∴有∴代入直线的方程，得2(2x－4)－3(2y＋3)＋5＝0，化简，得2x－3y－6＝0即为所求．10．解：(1)由圆的一般方程，得[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，解得－1，圆心到直线ax＋by＝1的距离为d＝<1＝r，所以直线与圆O相交．5．C 解析：因为点(2,1)在圆x2＋y2＝5上，所以切线方程为2x＋y＝5.6．4 解析：圆(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，弦长等于2＝4 .7．解：设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为AB，其中点为C，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3.由点到直线的距离公式得＝3.解得k＝±.8．C9．(1)证明：由(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，得mx＋2x＋2my＋y＝7m＋8，即m(x＋2y－7)＋(2x＋y－8)＝0.由解得∴无论m为何值，直线l恒过定点(3,2)．(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，∴最短的弦的斜率为1，故最短弦的方程为x－y－1＝0.∴m＝－1.10．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.故当a＝－时，直线l与圆C相切．(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.∴直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.4．2.2 圆与圆的位置关系1．B 2.D 3.A4．C 解析：圆化为标准方程，得(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心O1(2，－1)，r1＝2，O2(－2,2)，r2＝3.∵|O1O2|＝5＝r1＋r2，∴两圆外切．∴公切线有3条．5．D 6.A7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y＝.利用圆心(0,0)到直线的距离d＝，得＝＝1，解得a＝1或a＝－1(舍)．8．5－2 9．解：(1)将两圆方程C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0相减，得2x＋y－5＝0.∴公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.(2)圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 ，圆心到直线2x＋y－5＝0的距离为2 ，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 .10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系，解方程组得故对任意实数a，该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2.①若两圆外切，则2＋＝，解得a＝1＋或a＝1－(舍)；②若两圆内切，则|－2|＝，解得a＝1－，或a＝1＋(舍)．综上所述，a＝1±.4．2.3 直线与圆的方程的应用1．D 解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故关于直线x＋y＝0对称．2．B 解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝＝，m＝2.3．C4．C 解析：由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则>1，即a2＋b2<1，∴P在圆内．5．C 6.A7．A 解析：过原点的直线也满足条件．8．x＋y－4＝09．D 解析：方法一：∵实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，∵记P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝3上的点，是直线OP的斜率，记为k.∴直线OP：y＝kx，代入圆的方程，消去y，得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.直线OP与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k2)≥0，∴－≤k≤.方法二：同方法一，直线OP与圆有公共点的条件是≤，∴－≤k≤.10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0.解得a＝4，∴P(4,5)．∴|PQ|＝＝2，kPQ＝＝.(2)∵圆心坐标C为(2,7)，半径为2 ，∴|QC|＝＝4 .∴|MQ|max＝4 ＋2 ＝6 ，|MQ|min＝4 －2 ＝2 .(3)设点(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，方程m2＋n2－4m－14n＋45＝0，即(m－2)2＋(n－7)2＝8表示圆．易知直线l与圆方程相切时，k有最值，∴＝2 .∴k＝2±.∴k＝的最大值为2＋，最小值为2－.4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系1．C 解析：点P的y轴坐标为0，则点P在平面xOz上．2．B 解析：点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)．3．B 4.B 5.B 6.C 7.B8．7 8 3 9.510．解：由图知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH∥底面ABCD，从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b.由H为DP的中点，得H(0,0，b)．E在底面ABCD上的投影为AD的中点，∴E(a,0，b)．同理G(0，a，b)．F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E的横坐标相同，都是a，点F与G的纵坐标也同为a，又F的竖坐标为b，故F(a，a，b)．4．3.2 空间两点间的距离公式1．B 2.C 3.A 4.A 5.C6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球7．解：由题意设A(0，y,0)，则＝，得y＝0或y＝2，故点A的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．8．直角 解析：因为|AB|2＝9，|BC|2＝9＋36＝45，|AC|2＝36，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形．9. 解析：|AB|＝＝，故当x＝时，|AB|取得最小值．10．解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得＝.显然，此式对任意y∈R恒成立．∴y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，∴只要满足|MA|＝|AB|，就可以使得△MAB是等边三角形．∵|MA|＝，|AB|＝＝，∴＝，解得y＝±.故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．。