YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量1.1.数列极限和无穷大数列极限和无穷大2.2.函数的极限函数的极限3.3.连续函数连续函数 4.4.无穷小量和无穷大量的阶无穷小量和无穷大量的阶Chapt 2.极限与连续极限与连续YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量1.数列的极限和无穷大量数列的极限和无穷大量一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、数列极限的性质二、数列极限的性质三、数列极限的运算三、数列极限的运算四、单调有界数列四、单调有界数列五、无穷大量的定义五、无穷大量的定义六、无穷大量的性质和运算六、无穷大量的性质和运算七、小结七、小结 思考题思考题YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周播放播放 极限思想：极限思想：三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量R讨论圆内接正多边形与该圆周的关系讨论圆内接正多边形与该圆周的关系nl已知已知圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长未知未知的圆周长的圆周长 l（1）在任何有限的过程中，）在任何有限的过程中，即对任何确定的即对任何确定的n，皆为皆为 的的近似近似值；（值；（2）在无限的过）在无限的过程中，即当程中，即当n无限增大时，无限增大时，无限接近于常数无限接近于常数 的的精确精确值。
值nllnll 是是 当当n无限增大时的极限无限增大时的极限nllYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 圆面积亦如此圆面积亦如此启示：启示：已知与未知已知与未知 有限与无限有限与无限 近似与精确近似与精确 直线与曲线直线与曲线RYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量2 2、截丈问题、截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下后的杖长为第一天截下后的杖长为;2122 X第二天截下后的杖长为第二天截下后的杖长为;21nnXn 天天截截下下后后的的杖杖长长为为第第nnX21 0YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量一、数列极限的定义一、数列极限的定义1.1.数列数列:是是按次序排列的一列无穷多个数按次序排列的一列无穷多个数 ,21nxxx 数列是定义在自然数集数列是定义在自然数集N上的函数即以上的函数即以N为定义域由小为定义域由小到大取值所对应的一列函数值到大取值所对应的一列函数值对对 ，设，设 ，则，则 Nnnxnf)(函数值：函数值：,200621nxxxx自变量：自变量：,2006,2,1nnx，表示为数列表示为数列nx为第为第n项或通项。
项或通项YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量例如：例如：,)1(,51,41,31,21,1:)1(nnnn ,25,16,9,4,1:22nn,)1(1,511,411,311,211,2:)1(111nnnn ,0,2,0,2:)1(11n01摆动！摆动！无限增大无限增大!考虑数列考虑数列 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量播放播放定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”nn 1)1(1 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定量分析：定量分析：无限趋近于无限趋近于1是指：是指：当当 n 充分大时充分大时,能任意小，并保持任意小能任意小，并保持任意小1)1(11 nn nn1)1(1例如：例如：,101对对.10 n只只须须,1011)1(11 nn要要使使即即 自然数自然数10，当，当n10时，有时，有.1011)1(11 nn,10001对对.1000 n只只须须,100011)1(11 nn要要使使,10000001对对.1000000 n只只须须,100000011)1(11 nn要要使使 YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量由不等式有由不等式有 ，故只须，故只须 即可。
即可以上还不能说明以上还不能说明 任意小，并保持任意小，毕任意小，并保持任意小，毕竟它们都还是确定的数竟它们都还是确定的数1)1(11 nn,0 对对.1)1(11才才行行要要使使 nn n1 1 n 自然数自然数 ，当，当 时，便有时，便有 ,0 即即对对1 1 n.1)1(11 nn 定量定义：定量定义：则称数则称数1是是 的极限有有时时当当总总若若对对，Nn，N 1,0 .1)1(11 nn nn1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量法法”“N 若数列不存在极限若数列不存在极限,则称数列是发散的则称数列是发散的.如如 是发散数列是发散数列.)1(11 nYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量x1x2x2 Nx1 Nx3x、数列极限的几何解释、数列极限的几何解释:a aa.)(;,),(),(,21落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个全位于这个邻域内全位于这个邻域内项以后的所有项项以后的所有项第第总存在项总存在项邻域邻域对任意给定的对任意给定的NxxN，xaaaONNN .axa，axnn得得由由定定义义3 NxYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.),(,0).,(,),(lim之之外外位位于于邻邻域域只只有有有有限限项项对对有有时时当当总总邻邻域域对对 aOxaOxNnNaOaxnnnn 邻域法邻域法 可见：数列是否有极限，只与它从某一项以可见：数列是否有极限，只与它从某一项以后有关，而与它前面的有限个项无关。
因之，后有关，而与它前面的有限个项无关因之，在讨论数列极限时，可添加、去掉或改变其有在讨论数列极限时，可添加、去掉或改变其有限个项的数值，对收敛性和极限都无影响限个项的数值，对收敛性和极限都无影响),(,0lim之之内内位位于于邻邻域域总总有有无无限限多多项项对对 aOxaxnnn？YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量（2）N的存在性与非唯一性，且的存在性与非唯一性，且N仅与仅与 有关而有关而 与与n无关1）正数）正数 的任意性和相对固定性的任意性和相对固定性是是无无穷穷小小量量有有时时使使对对是是无无穷穷小小量量0)(limlim.,0axaxaxxNnNxnnnnnnn 4、关于数列极限定义的几点理解、关于数列极限定义的几点理解（3）当）当 时，即以零为极限的数列时，即以零为极限的数列称为无穷小量称为无穷小量0 a无穷小量不是很小的量无穷小量不是很小的量YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.,)(,2,0)4(2起着同样的作用起着同样的作用但在本质上都与但在本质上都与形式上有差异形式上有差异在在虽与虽与等等正常数正常数对对 ，MM .,0lim MaxNnNaxnnn 有有时时当当的比较的比较与与axaxnnnn limlim)5(.,0lim axNnNaxnnn有有时时当当.,0lim0000axNnNaxnnn有有某某个个对对某某个个.,0,0000axNnNRaxnn有有对对对对发发散散YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量例例1).1(,0lim nn证证明明证证:,0 对对,nq由由,lnln qn即即.lnlnqN 取取,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 方法方法1：直接解不等式直接解不等式 ，求，求N.axn.为为无无穷穷小小量量即即nq数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：(不妨设不妨设 )q YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量例例2.318232lim22 nnnnn证明证明证：证：.0145,0823,42 nnnn有有先先限限定定!)823(3145318232:222相相当当困困难难直直接接解解分分析析 nnnnnnn)823(3145318232,0222 nnnnnnn由由对对,32962 nnn.32,4max.32 Nn取取得得YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 方法方法2：若若 不易求解，可设法不易求解，可设法先把先把 适当地放大适当地放大 ，再，再由由 求解求解N.axnaxn nnax nYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量)0(1lim.3aann例例证明：分三种情况证明证明：分三种情况证明.由由对对则则时时当当,0.1,1)1(naa 111nnaaor,11 na),1ln(ln1 an即即.)1ln(ln an解解得得.)1ln(ln aN取取此法一。
此法一YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量（法二）（法二）则则令令),0(1 nnna.1,1)1(nanannnn 得得由由,0 ,11 naann.1 an解解得得.11 aN取取YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量有有令令时时）当当（,11,102 baa）得得证证由由（已已知知1,1 nb.11111 nnnnnbbbba故故对对时时）当当（,1,13 nana1lim nna.1）（a有一般地，cxn.limcxnnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.1lim.4nnn例例即即则则令令证证明明,1,1:nnnnhnhn nnnnnnhhnnnhhn 2!2)1(1)1()2(,2)1(12 nhnnn)2(,20 nnhn，解得，解得由由 nhnnn21,0.2,2max.222 Nn取取YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.1lim.522nann例例nnannan 22221,0:由由证明证明,2222 nananna）（.2an 解解得得.2 aN取取.)2.(,.1例例有有时时先先采采取取部部分分放放大大”为为办办法法将将其其“适适当当地地放放大大分分子子放放大大，分分母母缩缩小小的的是是一一个个有有理理式式，则则采采取取若若注注nnaxYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.)5.(.2例例将将其其“适适当当地地放放大大”为为母母或或分分子子有有理理化化的的方方法法中中出出现现根根号号，则则采采取取分分若若注注nnax.)4,3,1.(.3例例为为法法将将其其“适适当当地地放放大大”取取二二项项式式定定理理展展开开的的办办中中出出现现指指数数形形式式，则则采采若若注注nnax)35,6max(22.163153lim.1Nnnnnnex.11lim.2nnnexn).1(0lim.3aanexnknYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.1.6发发散散）（数数列列例例n .1的的极极限限）（都都不不是是证证明明：只只须须证证，任任何何数数na.1,0 Ra有有偶偶数数时时，对对当当,00NnNa .11110即即证证）（aaan有有奇奇数数时时，对对当当,00NnNa ;11110 aaan）（YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.11:发发散散）（数数列列nnexn.,0证明：证明：Ra有有奇奇数数时时，对对当当,00NnNa ;21)1(21111000akannn）（有有偶偶数数时时，对对当当,00NnNa .21121111000即证）（akannn.2,2321!;!:2 nnnnnnnn注注YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量，则则且且若若NbabyaxThnnnn,lim,lim.1.,nnyxNn 有有时时当当当当，则则由由证证明明：取取定定正正数数,21Naxban 当当由由时时，有有,21,;232NbybaxbaNnnn .223bayabNnn 时时，有有.,max21得证得证时时取取NNN()23ab2ba2babax2ba23ba()二、列极限的性质二、列极限的性质YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量，当且若NbyaxCorollarynnnn,lim,lim.1.,bayxNnnn ，则则有有时时bxNnNaxnnn有时，当且特别,lim,).(.，取则nbyban矛盾！由设证明：反证法nnyxThba1,如，可能有中在注.,1:bayxCorollarrynn)(nnnnn与，与YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量，当则或且若NbabaaxCorollarynn),(,lim.,）（或（或有有时时bxbxNnnn .lim),2,1(,1:bynbyThnnn有取中在证明).(类证类证ba ),0(0lim0,aaxbnn或或时时，即即若若当当特特别别地地.).0(0,称称为为极极限限保保号号性性或或有有充充分分大大时时则则当当nnxxn.,:nNnNn时的一切当充分大的注YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量Th2.（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。
唯一性）收敛数列的极限是唯一的baxn 妨设妨设有两个相异的极限，不有两个相异的极限，不设设证明：反证法证明：反证法nTharbrba，当，当之推论之推论则由则由即即之间一数之间一数令任取令任取21,矛盾！矛盾！及及同时有同时有充分大时充分大时.,rxrxnn 时，有时，有当当则则与与另证：设另证：设NnNbxaxnn ,0,.2 baaabann.2ba 的的任任意意性性，有有由由YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量且时，有当若,.3nnnzyxNnNTh.lim,limlimayazxnnnnnn则则时时，有有当当证证明明：NnNNNN,max,021.)()()(21NnNnnNazyxa 称称“两边夹两边夹”法法则则YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量),(,:ayzzyaNnNCorollarynnnn 或或时，有时，有当当若若.lim,limayaznnnn 则则且且 而且可用极限存在的一种方法，不仅是判断注nyTh3:此方法求极限YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量,),max(lim.7212121aaaaaaaaAknnknnn设设例例个个正正数数。
是是 kak且且证明：证明：,1nnnnnknnnkAkAaaAA ).(1 nkn).10(0)1(lim.8nnn例例 1)11(1)11()1(0nnnnnn证证明明：.01lim,111 nnn且且YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.2)1(12111(lim.9222nnnn例例,2112)1(12112222nnxnnnnn解：解：.12项项）共共有有（nxnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量Def:Def:有有对对设设数数为为有有界界数数列列称称nBABAxn ),(,.,.上上界界分分别别为为其其下下界界BABxAnBBBB,2,1,.1如如上上界界上上、下下界界不不是是唯唯一一的的注注).0(,1,);0(AAA下下界界YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量),3,2,1(.0.3nMxtsMxnn是有界数列是有界数列注注),0(MO邻域邻域 0,0nMxn 无界无界ts.0Mxn).,0(MOxnn 有有ts.则称则称时，有时，有当当若若对于数列对于数列注注,.2BxANnNxnn 项之前只有有项之前只有有有界，故在有界，故在往后有界。
往后有界必往后有界往后有界必Nxn设设限限,21Nxxx,max,min11NNxxxx ,3,2,1),max(),min(nBxAn则则YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 Th4.有极限的数列是有界的有极限的数列是有界的当，则据定义，取证明：设,1.lim0Naxnn.2,111得证得证由注由注，即，即时，有时，有axaaxNnnn）得得证证注注由由注注或或.3,2,11(axaxaxnnn1,max21axxxMN令令反反之之有有界界数数列列不不表表明明收收敛敛数数列列必必有有界界，注注：4Th.2011.1）是是发发散散的的（如如一一定定收收敛敛nnxYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量三、数列极限的运算三、数列极限的运算 且且有有也也收收敛敛则则都都收收敛敛若若,.1nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx ）（.代代数数和和仍仍是是无无穷穷小小量量特特别别，两两个个无无穷穷小小量量的的 且且有有也也收收敛敛则则都都收收敛敛若若,.2nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx .,limlimconstcxccxnnnn 特特别别，与与积积仍仍是是无无穷穷小小量量。
两两个个无无穷穷小小量量的的代代数数和和YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 .,.3是无穷小量是无穷小量为无穷小量，则为无穷小量，则有界有界若若nnnnyxyx 也收敛，且也收敛，且则则都收敛，且都收敛，且若若nnnnnnyxyyx,0lim,.4.limlimlimnnnnnnnyxyx.lim11lim1:nnnnnyyy收敛且有收敛且有先证先证证明证明证证法法！比比较较40P时时，有有当当对对设设11,0.0limNnNbynn .2,2.220bbyNnNbbynn 时，有时，有当当又取又取YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量时，有时，有当当由由2,Nnbybbbyynnn .212bybbynn或时，有时，有则当则当取取NnNNN ),max(21.2112bybbybynnn .lim111limnnnnyby 故故.1limlim1limlim2得证得证，有，有于是，据于是，据nnnnnnnnnnyxyxyx YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量收收敛敛都都发发散散，但但它它们们的的和和与与 nnnnn2)1(1)1(1注注1.两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要条件。
条件例如：例如：收收）（都都发发散散，但但它它们们的的积积与与nnn211)1(1)1(1 收收敛敛敛敛于于零零，它它们们的的和和2 都都收收敛敛或或都都发发散散收收敛敛nnnnyxyx,不不一一定定与与收收敛敛，则则结结论论如如何何？,1nnyxnnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量注注2.极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无穷多个极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无穷多个却不成立却不成立01limnn例例：.01lim1lim1lim111limnnnnnnnnnnn 个个.)11lim1lim(nnnn0lim knnp.,）自自然然数数（kp YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量是是正正整整数数，这这里里求求例例lkbnbnbananalllkkkn,lim.9110110.0,0,00banbaii无无关关的的数数且且都都是是与与llkklknnbnbbnanaan 1010lim解：原式解：原式 .,000时时时时，lkbalk.04265lim,21827154lim42322nnnnnnnnnnn如如：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量)121sin1(lim.1022nnnnn例例 )(0sin1sin1nnnnn有有界界是是无无穷穷小小量量，.21210YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量)1(limlim.11nnnxnnn求求例例.11111 nnnnxn解解：111111 nn而而).(n于于是是）（故故.111 nn.211111limlim nxnnnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量322221lim.12nnn例例.312616)12)(1(lim3 nnnnn解：原式解：原式YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量四四.单调有界数列单调有界数列DefDef:的的是是单单调调增增加加（或或减减少少）称称nx.121 nnxxxx.121）（或（或 nnxxxx若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或减少）的。
若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或减少）的n1例例如如：Th（实数连续性）（实数连续性）单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量,.1321aaaayaayayn例例收收敛敛并并求求其其极极限限证证明明nya).0(.)1(是单调增加的证明：ny.121.(2)nnnnnyayyayy有由有界.12 nnnnyayyay即即有有，于是，于是则则又对又对nayaaynnn ,.1 ayan!之之归归纳纳法法证证可可用用数数学学.收敛故ny12lim)3(nnnnyayly，则则由由设设)0.(2141,2lallal得得两两边边取取极极限限，有有YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.11.14收收敛敛求求证证：例例nn.)1(:1（二项式定理）（二项式定理）是单调增加：是单调增加：证明证明nnnyyy!1!31!21110)2(nyn有有界界性性nn）（1132121111 .31111 n.11lim)3(ennnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量五五.无穷大量的定义无穷大量的定义 能能任任意意大大，并并保保充充分分大大时时，无无限限地地增增大大：当当nnn持持任任意意大大，即即,.,022GNGnGnG取取得得由由.,GnNn有有时时则当则当,0NGxn是是无无穷穷大大量量称称数数列列记为记为时，有时，有当当.GxNnn nnxlimor.）（nxnDefDef:YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量事事。
与与很很大大的的量量不不是是一一回回）无无穷穷大大量量是是一一个个变变量量（2：）无无穷穷大大量量的的几几何何解解释释（3Gxn 由由定定义义，Gxn 得得.Gxn or，与与上上一一节节中中的的的的极极限限是是，）注注意意记记号号（nnnxxlim1极限含义的差别注注 在在及及个个开开区区间间即即：对对于于任任意意给给定定的的两两),(,(GG 全全位位项项以以后后的的一一切切项项第第一一项项中中总总,21 NNnnxxNxx).3(Fig于于这这两两个个开开区区间间内内).O-GGx2Nx1NxYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量不不唯唯一一，对对固固定定性性既既具具有有任任意意性性，又又有有相相正正数数NG)4(无无关关有有关关而而与与仅仅与与且且nGN无穷大量包含)5(当是无穷大量，且正无穷大量：,lim)(Nxxinnn.0 nxNn时时，有有.,0GxNnNGn 时时，有有当当有时当负无穷大量：,0lim)(NnNGxiinn.GxnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.1.15为为无无穷穷大大量量证证例例n,lnln,0GqnGqGn ，即即由由证证明明：.lnln.lnln qGNqGqGn取取）（不不妨妨设设得得)1.(lim nn故故.1NGxn，求求直直接接解解不不等等式式方方法法 YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.445152lim.1623nnnnn证证例例由由，证证明明：先先限限定定,0100 Gn,664451522323Gnnnnnnn ).6,100max(.6GNGn 取取得得适适当当缩缩小小：不不易易求求解解，可可先先将将若若方方法法nnxGx.2要要求求适适当当缩缩小小的的求求再再由由.,NGxnnn 必必须须仍仍是是无无穷穷大大量量。
nYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量六、无穷大量的性质和运算六、无穷大量的性质和运算关关系系无无穷穷大大量量和和无无穷穷小小量量的的.1 .1为为无无穷穷小小量量为为无无穷穷大大量量 nnxx ),2,1(0nxxnn为为无无穷穷小小量量，且且反反之之，.1为为无无穷穷大大量量 nxTh.YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量无无穷穷大大量量的的运运算算法法则则.2 也也量量都都是是正正（或或负负）无无穷穷大大和和nnnnyxyx)1(.是是正正（或或负负）无无穷穷大大量量与与差差的的极极限限如如何何？注注：两两个个无无穷穷大大量量的的和和大大量量，大大量量之之和和可可能能不不是是无无穷穷任任何何两两个个非非同同号号的的无无穷穷.大大量量，但但它它们们的的差差必必是是无无穷穷和和如如nn.0111nnnnYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 是无穷大量是有界的是无穷大量nnnnyxyx,)2(.,0GxNnNGn 时时，有有当当证证明明：,.,0时时于于是是当当，有有对对又又NnMynMn .）（不不妨妨设设有有MGMGyxyxnnnn .1sinlim23nnnn如如：.limarctgnnn NnNyxnn当当具具有有如如下下特特性性是是无无穷穷大大量量，,:)3(.0是是无无穷穷大大量量时时，有有nnnyxy YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量 0lim,lim:ayxCorollarynnnn.lim nnnyx时时，有有，当当故故由由证证明明11,lim,0:NnNxGnn 知知又又由由,0lim.ayGxnnn.02lim aaynn）知知：之之）（据据极极限限的的保保号号性性（推推广广21CorollaryTh),max(.02,2122NNNayNnNn 取取有有时时当当.2GayxyxNnnnnn 时时，有有则则当当YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量极极限限量量的的和和、差差、积积、商商的的注注：无无穷穷大大量量和和无无穷穷小小和和、差差无无穷穷大大量量和和无无穷穷小小量量的的）如如何何？由由（,2.仍仍是是无无穷穷大大量量 ;12 nnn之之积积和和.0112 nnn之积之积和和.11122nnnn和和，之之商商之之积积和和YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量.,0,0,lim.1700110110lkbabnbnbananalllkkkn求求例例001010limballlkklknnbbnbbnanaan解解：原原式式.可可见见 .,0lim00110110klklbaklbnbnbananalllkkkn，)0,0(00 baYunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量七、小结七、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、定义、几何意义极限思想、定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:保号性、唯一性、保号性、唯一性、“两边夹法则两边夹法则”、有界性、有界性;数列极限的运算数列极限的运算:代数和、积与商代数和、积与商;单调有界数列必有极限。
单调有界数列必有极限无穷大量、定义、性质和运算无穷大量、定义、性质和运算YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽1 1、割圆求周、割圆求周三国时期，数学三国时期，数学家刘徽应用极限家刘徽应用极限方法订正、计算方法订正、计算圆周率圆周率 圆周长圆周长 割割圆术！圆术！极限思想：极限思想：YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”。
nn 1)1(1 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”nn 1)1(1 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”nn 1)1(1 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”nn 1)1(1 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”nn 1)1(1 nn 1)1(1YunnanUniversity1.数列极限和无穷大量数列极限和无穷大量定性分析：定性分析：当当n无限增大时，无限增大时，无限趋近于无限趋近于1，数，数1即所谓即所谓 的的“极限极限”。
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