会计学1切应力公式推导切应力公式推导3 3、梁的纯弯曲实验、梁的纯弯曲实验 横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩下伸上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层中性层中性层与梁横截面的交线称为中性轴中性轴图62(b)(a)mnpqmnpqFFCD第1页/共41页4 4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：（1 1）平面假设）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直2 2）单向受力假设）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计第2页/共41页二、正应力公式的推导二、正应力公式的推导1 1、几何方面、几何方面 相应的纵向线应变为：（61）弧线O1O2的长度为：(a)距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为：(b)图63(b)中 性层中 性轴abO1O2mnpq(a)dxmnpq dy(c)dxabO2O1第3页/共41页2 2、物理方面、物理方面将式 代入，得（62）此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在并且在y坐标相同的各点处正应力相等坐标相同的各点处正应力相等，如图54所示。
图64 梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：(c)第4页/共41页3 3、静力学方面、静力学方面 由图64可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=dA构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量，由截面法可知，上式中的FN，My均等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以有(d)(e)(f)图64第5页/共41页 又 因为 不等于零，所以有(g)即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零由此可知，中性轴通过横截面中性轴通过横截面的形心的形心，于是就确定了中性轴的位置d)(e)(f)由式（e）可得因此(h)即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以其应为横截面的形心主轴形心主轴第6页/共41页(d)(e)(f)最后由式（f）可得 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度弯曲刚度将式（63）代入式（62），可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为力的计算公式为（64）（63）即有第7页/共41页yzOdAyzhb应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。
但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为（64）第8页/共41页四、横截面上的最大应力四、横截面上的最大应力四、横截面上的最大应力四、横截面上的最大应力 yc,maxyt,maxyz bd1 hOd2中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值为（65）第9页/共41页式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数，其单位为m3横截面上应力分布横截面上应力分布hbzyoyc,maxyt,maxyz bd1Od2中性轴中性轴 z z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为力值和最大压应力值为第10页/共41页在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩弯矩而且有剪剪力力，这种情况下我们称之为横力弯曲。
横力弯曲而实际工程中的梁，大多发生的都是横力弯曲横力弯曲对于工程实际中常用的梁，应对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求程中的精度要求五、横力弯曲五、横力弯曲 第11页/共41页解：解：先求出C截面上弯矩 例题例题6 61 1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力例题61图截面对中性轴的惯性矩 将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有 K点的正应力为正值，表明其应为拉应力第12页/共41页662 2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件 对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时 而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位置，即（65）式中的Wz称为弯曲截面系数弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
第13页/共41页对矩形截面对圆形截面 各种型钢的截面惯性矩各种型钢的截面惯性矩I Iz z和弯曲截面系数和弯曲截面系数W Wz z的数值，可以在的数值，可以在型钢表中查得型钢表中查得为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件为为 （66）式中的Wz称为弯曲截面系数弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关第14页/共41页二、三种强度问题的计算二、三种强度问题的计算根据式（66）可以求解与梁强度有关的三种问题2）选择截面选择截面（3）确定许用荷载确定许用荷载 （1）强度校核强度校核 第15页/共41页 由梁的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为 弯曲截面系数为 由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有 所以满足正应力强度要求例题例题6-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应力=10Mpa，校核该梁的强度例题52图 解：解：先画梁的弯矩图（图b）。
例题62图第16页/共41页例题53图 例题例题6 63 3 一形截面的外伸梁如图所示已知：l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力t=30MPa，许用压应力c=90Mpa,试校核梁的强度2）确定截面形心C的位置（3）截面对中性轴的惯性矩 解：解：（1）先画出弯矩图（图b）例题63 图第17页/共41页（4）强度校核）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核校核最大拉压力校核最大拉压力由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为第18页/共41页校核最大压应力校核最大压应力首先确定最大压应力发生在哪里与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面C截面上最大压应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘因MC 和y1分别大于MB与y2，所以最大压应力应发生在C截面上，即由以上分析知该梁满足强度要求。
由以上分析知该梁满足强度要求第19页/共41页 例题例题6 64 4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用应力=152MPa，试选择工字钢的型号例题64 图解：解：先画出弯矩图如图b所示例题64 图梁的最大弯矩值为 由梁的正应力强度条件可得梁所必需的弯曲截面系数 由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为 此时最大正应力 超过许用应力值152MPa不到1%，故可选用56b号工字钢b)M图375kN.m281kN.m281kN.m第20页/共41页663 3 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力梁的切应力强度条件强度条件 1、两点假设（1）横截面上各点处的切应力均与侧边平行2）横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等2、切应力公式的推导一、矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁的切应力图65微段梁上的应力情况如图106b所示从图55所示的梁中取出长为dx的微段，如图5-6a所示图66FSMFSM+dMdx(a)第21页/共41页 现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力，且=,如图106c所示。
微段梁上的应力情况如图微段梁上的应力情况如图6 66b6b所示b)dxdx(c)yyz第22页/共41页得（a）由 以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的总和，如图66ddx(d)FN2FN1dFS其中（b）式中的A1是横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积（图66e），是A1对中性轴的静矩bhzyA1(e)y第23页/共41页同样有（c）由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有（d）将FN1、FN2、dFS代入式（a），得 经整理得经整理得（68）第24页/共41页式（68）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式式中：FS为横截面上的剪力；S z*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度68）对于矩形截面梁，由图67a可知 图67max(b)bhzyA1(a)y将其代入式（68），可得 第25页/共41页式中的A=bh是横截面的面积由此可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布在截面上、下边缘（）处，=0，而在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图57b。
即 max(b)bhzyA1(a)y第26页/共41页 例题例题6 65 5 一矩形截面的简支梁如图所示已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m m截面上K点的切应力解：解：先求出m m截面上的剪力为3kN，截面对中性轴的惯性矩为 面积A*对中性轴的静矩为 则K点的切应力为 习题65图Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*第27页/共41页二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的1、腹板上的切应力 由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度切应力沿腹板高度的分布规律如图58a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力max仍发生在截面的中性轴上图68第28页/共41页翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即 式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；为翼缘的厚度2 2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力 图68第29页/共41页 水平切应力沿水平方向的分布如图水平切应力沿水平方向的分布如图58b所示所示实践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图58c表示从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上（或下）翼缘的两端开从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点这种现象称为切应力流切应力流掌握了切应力流的特性，则不难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向图68第30页/共41页三、三、T T字型截面梁的切应力字型截面梁的切应力 T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形截面 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为式中FS为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积薄壁环型截面式中FS为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积第31页/共41页五、梁的切应力强度条件五、梁的切应力强度条件 整个等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截面的中性轴上，即（69）为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即此式即为切应力的强度条件第32页/共41页 在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应力远小于许用切应力所以一般情况下，总是根据梁横截一般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行校核行校核但在少数情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载，因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小于一般型钢截面的相应比值时。
第33页/共41页解：解：（1）校核最大正应力 弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大弯矩的截面上查型钢表可知 例题例题66 一外伸工字型钢梁如图a所示工字钢的型号为22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力=170MPa，=100MPa,试校核梁的强度a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b)FS图12kN.m39kN.m(c)M图例题66 图则最大正应力（2）校核最大切应力 剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大剪力的截面上查型钢表可知 则最大切应力 所以此梁安全第34页/共41页 例题例题6 67 7 图a所示为一起重设备简图已知起重量（包含电葫芦自重）F=30KN，跨长l=5mAB梁是由20a号的工字钢组成，其许用应=170Mpa，=100Mpa试校核梁的强度lABF(a)ABF(b)37.5kN.m(c)ABF(d)FRAFRBFS,max(e)例题67图解：解：（1）校核最大正应力 在荷载处于最不利位置时，梁的弯矩图如图c，最大弯矩值为 由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz为 则梁的最大正应力（2）校核最大切应力 校核切应力时的最不利荷载位置如图d所示，相应的剪力图如图e。
对于20a号工字钢，利用型钢表规格表查得 于是梁的最大切应力 梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以梁是安全的第35页/共41页664 4 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁 一、梁的合理截面形式一、梁的合理截面形式 梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较dabhbh(a)(b)(c)(d)图69 矩形和正方形的比较矩形和正方形的比较 说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理当 时（图59a）由hb=a2知 从而 即，当 时（图59b），可得 ，即 ，说明此时矩形截面 不如同样面积的正方形截面合理第36页/共41页 正方形和圆形的比较正方形和圆形的比较 由 ，得 ，于是 这说明正方形截面比同样面积圆形截面合理由以上的分析可以看出，Wz值与截面的高度及截面的面积分布有关截面的高度愈大，面积分布得离中性轴愈远，Wz值就愈大；反之，截面的高度愈小，面积分布得离中性轴愈近，Wz值就愈小所以，选择合理截面的基本原则是尽可能地增大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较远的地方选择合理截面的基本原则是尽可能地增大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较远的地方。
因此，在工程实际中，经常采用工字形、环形、箱形等截面形式(如图510)图610第37页/共41页 在分析梁截面的合理形式时，不能片面地只考虑到强度在分析梁截面的合理形式时，不能片面地只考虑到强度方面的要求，同时还应考虑到刚度、稳定以及施工方便等方面的要求，同时还应考虑到刚度、稳定以及施工方便等方面的要求方面的要求例如，设计矩形截面梁时，从强度方面看，可适当加大截面的高度，减小截面的宽度，这样可在截面面积不变的条件下，得到较大的弯曲截面系数但如果只强调这方面，使截面的高度过大，宽度过小，梁就可能发生侧向变形而破坏，如图611所示F图511第38页/共41页二、变截面梁二、变截面梁 横截面沿着梁轴线变化的梁，称为变截面梁横截面沿着梁轴线变化的梁，称为变截面梁最理想的变截面梁，是使梁的各个截面上的最大正应力同时达到材料的许用应力即得（610）截面按式（510）而变化的梁称为等强度梁等强度梁现以跨度为l，自由端作用有集中力F的矩形截面悬臂梁为例，说明等强度梁的设计计算步骤假定梁截面的高度为常量h=h0，而其宽度为变量b=b(x)，则在离自由端距离为x处的弯曲截面系数为 弯矩为 第39页/共41页b(x)Fxlh0b0(a)bminFb0h0(b)图612而在固定端处的弯曲截面系数为 弯矩为 由 得 即 即当梁截面高度为常数时，它的宽度将按直线变化，如图（512a）所示。
为了抵抗剪力的作用，在截面x=0处，还需根据该处的切应力强度条件设计它所需要的宽度bmin，如图（612b）所示第40页/共41页。