目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:P记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明:由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微,得P故coscoscoszfyfxf目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度对于二元函数,),(yxf为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxxflf特别特别:当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflf向角PlxyOl目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度例例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量zyxu2,1,2(l3)的方向导数.,142cosPlu)1,1,1(146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解:向量 l 的方向余弦为目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4,1(174cos1)3,2(目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度例例3.设是曲面n在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得)1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf,方向一致时与当Gl:GGlfmax),cos(lGG目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度1.定义定义),(Pfadrg即)()(PfPfadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxP),(,),(),(yxfyxfyxffyxgrad称为函数 f(P)在点 P 处的梯度)(,)(,)(PfPfPfzyx记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad(为方向l 上的单位向量)lezfyfxfG,目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度2.梯度的几何意义梯度的几何意义Oyx1cf 2cf)(321ccc设P面上的投影在曲线xOyczyxfz),(cyxfL),(:*称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线.,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradgrad3cf,),(yxfz 对函数函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,),(zyxfu 的等值面(等量面).czyxf),(当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为Pfg gr ra ad d称为时为零时,Pf.Pf高等数学D97方向导数与梯度等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度例例4.设函数解解:(1)点P处切平面的法向量为0)1(0)1()1(2zyx032 yx在点 P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2)求函数 f 在点 P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面 2),(zyxf)0,1,2(2)函数 f 在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向导数为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0,1,2()(Pfn思考思考:f 在点P处沿什么方向变化率为0?注意注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多)(Pf目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad)(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00)1(cc或grad为常数）c(ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度例例5.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证rxrf)(.)()(rerfrfradg处矢径 r 的模,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)(rerf)(目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(Pfgrad(势)如:温度场,电势场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度例例6.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证:利用例5的结果 这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.Eugrad)4(2rerqE 场强rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方向角为yfxfcossin目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度2.梯度梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxfff,g gr ra ad d 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(yxfyxfffyxg gr ra ad d3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微leflfg gr ra ad d梯度在方向 l 上的投影.方向:f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值 梯度的特点目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度练习练习42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax P130 题 16提示提示:P107 2，3，6，7，8，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度备用题备用题 1.函数)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度Mug gr ra ad d)2,2,1(,zuyuxuuMg gr ra ad d解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x,y,z 具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2rzryrx)2,2,1(92)2,2,1(92(1992 考研)目录 上页 下页 返回 结束 高等数学D97方向导数与梯度指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点Axd d2.函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32其单位向量为)cos,cos,(cosAxu)1ln(x1x,21yd dAyu)11ln(2y0y,0(1996考研),)1,2,2(AB2121Azucoscoscoszuyuxulu21ABABl 。