立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：① 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路② 立体几何论证题的解答中， 利用题设条件的性质适当添加辅助线 （或面）是解题的常用方法之一③ 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结 论垂直转化：线线垂直 U■线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）① 等腰（等边）三角形中的中线0菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③）勾股定理中的三角形（可1:1:2的直角梯形中 ③ 利用相似或全等证明直角例：在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，0为底面ABCD的中心，E为CCi,求证：AO _ 0ED（2）异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD中，求证AC _ BD变式1如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB =3, AD =2,PA =2,PD =2 一 2, PAB =60 .证明：AD _ PB ;变式2如图，在边长为2的正方形 ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点,将厶AED, △ DCF分别沿DE, DF折起，使A,C两点重合于 A.求证：AD _ EF ；变式3如图，在三棱锥 P—ABC中，"PAB是等边三角形，/PAC= / PBC=90 o证明：AB丄 PC类型二：线面垂直证明方法① 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体 ABCD -AiBiGDi中，O为底面ABCD的中心，E为CCi,求证:AO _平面BDE变式1:在正方体 ABCD — ABQrDr中，，求证：AC _平面BDC1变式2 :如图：直三棱柱 ABC — AiBiCi中, 的中点，D点在AB上且DE= . 3 . 求证：CD丄平面AiABBi；AC=BC=AA[=2,/ ACB=90 .E 为 BBi变式 3 :女口图，在四面体 ABCD 中，0、E 分别是 BD、BC 的中点，CA 二 CB 二 CD = BD = 2 , AB 二 AD = 2求证：A0 _平面BCD ；C变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P -ABCD中,AD II BC, ZABC=90° PA 丄平面 ABCD . PA =3, AD =2 , AB =2运,1求证:BD _平面PAC2利用面面垂直的性质定理例3:在三棱锥P-ABC中，PA _底面ABCBC =6方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
变式1,在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面 PAB是等腰三角形，且面PAB _底面ABCD，求证：BC _面PAB变式2：丄平面ACD,A ACD为等边三角形,BFE类型3:面面垂直的证明本质上是证明线面垂直 ）例1如图，已知AB _平面ACD，DEAD =DE =2AB，F 为 CD 的中点•⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE _平面CDE ；例2 如图，在四棱锥P - A B C中, PA _底面ABC DAB 丄 AD，AC 丄 CD, NABC=60° PA=AB=BC，E 是 PC 的中点（1）证明 CD _ AE ； （ 2）证明 PD _ 平面 ABE ；变式1已知直四棱柱ABCD — A' B' C' D'的底面是菱形，• ABC = 60 , E、F分别是棱 CC '与 BB'上的点，且 EC=BC=2FB=2 .（1）求证：平面 AEF丄平面 AA' C ' C;举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:①a〃ba _ M② a — M 二.a//b b_Ma _ M③— 二 b // Ma _ba//M④ -■ b± M.a_b其中正确的命题是 （ ）A.①② B.①②③ C.②③④D.①②④2. 下列命题中正确的是 （ ）A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3. 如图所示，在正方形 ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF 把厶ADE、△ CDF和厶BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体P— DEF中，必有 （ ）DA.DP丄平面 PEF B.D4. 设a、b是异面直线，下A. 过不在a、b上的一点B. 过不在a、b上的一点卅C. 过a 一定可以作一个平面与 b垂直D. 过a 一定可以作一个平面与 b平行5. 如果直线l,m与平面a , 3，丫满足：1= 3列正口F C.PM是o作一条直线和 个平面和交 b都垂直第3题图A y ,l // aPF丄平面DEFa和ml 丫，那么必有 （ ）A. a 丄丫且I丄 m B. a 丄丫且 m/ 3 C.m/3 且l丄 m D. a / 3 且a 丄丫6. AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则P至U AB的距离为 （ ）2J5 3^5A.1 B.2 C. D.-5 57. 有三个命题：① 垂直于同一个平面的两条直线平行；② 过平面a的一条斜线I有且仅有一个平面与 a垂直;③ 异面直线a、b不垂直，那么过 a的任一个平面与 b都不垂直其中正确命题的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.38. d是异面直线 a、b的公垂线，平面a、3满足a丄a , b丄3 ,则下面正确的结论是（ ）A. a与3必相交且交线 m // d或m与d重合B. a与3必相交且交线m // d但m与d不重合C. a与3必相交且交线 m与d 一定不平行D. a与3不一定相交9. 设l、m为直线，a为平面，且Ila，给出下列命题①若m丄a，贝U m // l;②若mil,贝U m / a ;③若m // a，贝U m丄I;④若m // I，则 m± a ,其中真命题的序号是 （ ）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10. 已知直线I丄平面a，直线m •平面3，给出下列四个命题：①若a//3，贝y I丄m;②若a丄3，贝y I // m；③若I // U a丄3 ；④若I丄m,则a // 3 .其中正确的命题是 ( )A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②、思维激活a的同侧，它们在aAA' = 3cm, BB' =11•如图所示，△ ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面 内的射影分别为 A', B', C',如果△ A' B' C '是正三角形，且5cm, CC ' = 4cm，则△ AB' C '的面积是B第11题图第12题图B12.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1 — ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件有A1C丄B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可 ，不必考虑所有可能的情形)13. 如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时,有VC丄AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可 )三、能力提高14. 如图所示，三棱锥V-ABC中,AH丄侧面VBC,且H是厶VBC的垂心，BE是VC边上的 高.(1) 求证：VC丄AB;(2) 若二面角E—AB— C的大小为30° ,求VC与平面ABC 所成角的大小.第14题图15. 如图所示，FA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.A M B(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45°，求证：MN丄平面 PCD.第15题图16. 如图所示，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，/ BAD = 60°, AB=4，AD = 2,侧棱 PB = J5 , PD = . 3.⑴求证：BD丄平面RAD.⑵若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角 P — BC—A的大小.第16题图第18题图17•已知直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ ACB=90° ,/BAC=30 ° ,BC=1 , AA^ ... 6 , M 是 CCi 的中点，求证：AB」AiM .18.如图所示，正方体 ABCD — A' B' C' D '的棱长为 a, M是AD的中点，N是BD 上一点，且 D' N : NB = 1 : 2，MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NP丄平面 ABCD.(2) 求平面PNC与平面CC' D' D所成的角. ⑶求点C到平面D ' MB的距离.第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行•2. C 由线面垂直的性质定理可知 •3. A 折后 DP 丄 PE,DP 丄 PF, PE 丄 PF.4. D 过a上任一点作直线 b'// b,则a, b'确定的平面与直线 b平行•5. A f衣迪总,m丄丫且 m a ,则必有a丄丫 ,又因为 匸^门丫则有I 丫，而m丄丫贝U I丄m,故选A.6. D 过 P 作 PD 丄 AB 于 D ,连 CD ,贝U CD 丄 AB , AB= AC2 BC 2 ,AC BCAB••• PD= {PC2 +CD2 =/\ 5 57. D 由定理及性质知三个命题均正确 •8. A 显然a与B不平行•9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面 垂直.10. B Ta// 3 , I 丄 a ,• I 丄 m—11. 仝cm2设正三角A' B' C'的边长为a・22 2 2 2 2 2 ,…AC =a +1,BC =a +1,AB =a +4,又 AC2+BC2=AB2,「. a2=2.3 2 v 3 2S^a ' b' c' = a cm .4 212. 在直四棱柱A1B1C1D1 — ABCD中当底面四边形 ABCD满足条件AC丄BD(或任何能推导出 这个条件的其它条件，例如 ABCD是正方形，菱形等)时，有"C丄B1D1(注:填上你认为正确 的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目， 由此题开辟了填空题有探索性题的新题型， 此题实质考查了 三垂线定理但答案不惟一，要求思维应灵活•13. VC丄VA, VC丄AB・ 由VC丄VA, VC丄AB知VC丄平面 VAB・ 14・(1)证明：•/ H VBC的垂心,• VC丄BE,又AH丄平面 VBC,• BE为斜线 AB在平面 VBC上的射影，• AB丄VC・(2)解:由(1)知 VC丄 AB,VC丄 BE,• VC丄平面 ABE,在平面 ABE上,作ED丄AB,又AB丄VC,• AB丄面DEC・• AB丄CD,aZ EDC为二面角 E—AB — C的平面角，• / EDC=30 ° ,T AB 丄平面 VCD,••• VC在底面 ABC上的射影为 CD.•••/ VCD为VC与底面 ABC所成角，又VC丄AB,VC丄BE,• VC丄面 ABE,.・. VC丄 DE,:丄 CED=90 °，故/ ECD=60 ° ,• VC与面ABC所成角为60 ° .15.证明:⑴如图所示，取PD的中点E,连结AE, EN ,1 1则有 EN// CD // AB // AM , EN= — CD = - AB = AM，故 AMNE 为平行四边形2 2• MN // AE.•/ AE 平面 PAD , MN 平面 PAD ,• MN //平面 PAD.⑵•/ RA丄平面ABCD ,• PA 丄 AB.又AD丄AB, • AB丄平面PAD.• AB丄AE,即卩AB丄MN.又 CD // AB, • MN 丄 CD.(3) •/ PA丄平面 ABCD , • PA丄AD.又/ PDA = 45°, E为PD的中点.• AE 丄 PD，即 MN 丄 PD.又 MN 丄 CD ,• MN丄平面PCD.第15题图解16.如图(1)证：由已知 AB = 4, AD =2,Z BAD = 60°,2 2 2 1故 BD = AD +AB -2AD • ABcos60°= 4+16-2 X 2X 4 X = 12.2 又 AB2 = AD2+BD2,• △ ABD是直角三角形，/ ADB = 90°,即 AD 丄 BD.在厶 PDB 中，PD = - 3 , PB= ,15 , BD = .12 ,• PB2= PD2+BD2，故得 PD丄 BD.又 PD n AD = D,• BD丄平面PAD.⑵由BD丄平面PAD, BD 平面 ABCD.•平面PAD丄平面 ABCD作PE丄AD于E,又PE平面PAD,• PE丄平面 ABCD，• / PDE是PD与底面 ABCD所成的角._ ： 3 3• / PDE = 60°,「. PE = PDsin60°= 73 汉二一2 2 '作EF丄BC于F，连PF，贝U PF丄BF ,• / PFE是二面角 P— BC—A的平面角.第16题图解又 EF = BD = .12，在Rt△ PEF 中,tan / PFE =医-2EF 一2、3故二面角P — BC— A的大小为arctan 仝417.连结 ACi,ACMC^••• Rt △ ACC<|S Rt △ MC1A1,•••/ ACiC= / MAiCi,AiMCi + Z ACiC= / AiMCi+ / MAiCi=90 ° .•- AiM丄ACi,又ABC-AiBiCi为直三棱柱，• CCi± BiCi，又 BiCiXAiCi,^ BC丄平面 ACiM.由三垂线定理知 ABi丄AiM.点评：要证ABi丄AiM，因BiCi丄平面ACi，由三垂线定理可转化成证 ACi丄AiM，而ACilAiM 一定会成立.i8.(i)证明：在正方形 ABCD中，•/△ MPD CPB，且 MD = IbC2 ，• DP : PB= MD : BC= i : 2.又已知 D' N : NB= i : 2,由平行截割定理的逆定理得 NP // DD '，又DD '丄平面ABCD ,• NP丄平面ABCD.(2) •/ NP // DD '// CC ',• NP、CC '在同一平面内，CC'为平面NPC与平面CC ' D ' D所成二面角的棱•又由CC'丄平面 ABCD，得CC'丄CD, CC '丄CM ,•Z MCD为该二面角的平面角.在Rt△ MCD中可知Z MCD = arctan丄，即为所求二面角的大小 .2a2 J6(3) 由已知棱长为a可得，等腰△ MBC面积Si = ，等腰△ MBD '面积£= a2，设所2 4求距离为h,即为三棱锥 C— D ' MB的高.•••三棱锥D '— BCM体积为iSi D^=丄S2h3 3 'Si a -
变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到 底面ABCD的距离变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底 面VCD的距离方法2:等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同 的底和高来达到目的例2 已知在三棱锥 V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求 点V到面ABC的距离变式1:如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面 AEC1F所截而得到的，其 中 AB =4,BC =2g =3, BE =1 .(1 )求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离.jiC变式2如图，在四棱锥 O-ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，.ABC二一,0A—面ABCD, OA = 2,.求点B到平面OCD的距离.变式3在正四面体ABCD中，边长为a,求它的内切求的半径类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）例3如图，在四棱锥O -ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ABC , 0A_4面ABCD , OA = 2,M为OC的中点，求 AM和点A到直线OC的距离.主视图2 丄 2^左视图举一反三1•正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为 45，则点A至侧面PBC的距离是A. 4 5 B . 6 5 C . 6 D . 4 62 .如图，已知正三棱柱 ABC -ARG的底面边长为1，高为8，一质点自A点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周..到达A点的最短路线的长为A. 10 B . 20 C . 30 D . 40二、填空题：3•太阳光照射高为 .3m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度AB等于3x/3cm,则该球的体积为 .4•若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为三、解答题：5 .已知正三棱柱 ABC-ABQ的侧棱长和底面边长均为 1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱 CG上的点，且 CN= 2GN.求点B到平面AMN的距离.6 .一个多面体的直观图及三视图如图所示： （其中M、N分别是AF、BC的中点）(1)求证：MN //平面 CDEF ; (2 )求多面体 A— CDEF的体积.7. —个多面体的直观图和三视图如图所 示，其中M、N分别是AB、AC的中点, G是DF上的一动点.(2)当FG=GD时，在棱 AD上确定一点P,使得GP//平面FMC，并给出证明.IVIEC&如图，已知正四棱锥 S-ABCD,设E为AB的中点，F 的点.(1) 求证：EF //平面SAD ；(2) 试确定点 M的位置，使得平面 EFM —底面ABCD .9 一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M、N分别为AB、B,G 的中占I 八、、•主视图平面acC1 a ；(1)求证：GN _ AC;(2) 求证：MN —平面A,BC . (3)求点A到面ANM的距离10正四棱柱ABCD — AiBiCiDi中，底面边长为2、2，侧棱长为4. E,F分别为棱AB,BC 的中点，EF A BD=G.(I)求证：平面 BiEF丄平面BDDiB仁(H)求点Di到平面BiEF的距离d;(川)求三棱锥b1 — efd1的体积V.11•在三棱锥 s— ABC 中，/ SAB= / SAC= / ACB=90°,且 AC=BC=5, SB=5 . 5 .（如图 9—21)(I)证明：SC± BC;(n)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;图 9—21(川)求三棱锥的体积 Vs- ABC.。