计算方法与实习大作业 班级：021011班 学号：02101091 姓名：师梦艳 插值法：拉格朗日插值多项式在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。
下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用具体算法1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n, (1)则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值2、 Lagrange插值公式 （1）线性插值设已知 ， 及=f() ,=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到 =+（x-）. （2）为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式=（x）+(x).其中，（x）=,(x)=均为1次多项式且满足（x）=1且(x)=0或（x）=0且(x)=1两关系式可统一写成= 。
（3） （2）n阶Lagrange插值设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）.易知=（x）+....+.其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数3，Lagrange插值余项设，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)=，此时只有在f(x)的（n+1）阶导数存在时才能使用，由于不能具体求出因此一般常利用求出误差限，即有拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算且当增大插值阶数时容易出现龙格现象4，题目：按下列数据 Xi0.300.420.500.580.660.72Yi1.044031.084621.118031.156031.198171.23223做五次拉格朗日插值多项式，求出x=0.46时的函数近似值C语言下程序如下：#includefloat Lagrange(float x[],float y[],float xx,int n){int i,j;float *a,yy=0;a=new float[n];for(i=0;j<=n-1;i++){ a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i)a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i];}delete a;return yy;}void main(){ float x[6]={0.30,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72}; float y[6]={1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223}; float xx=0.46,yy; yy=Lagrange(x,y,xx,6); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy);}运行结果：。