4.1 定积分概念与性质定积分概念与性质 4.3 积分的基本公式积分的基本公式 经济数学基础经济数学基础 第第4章章 ESC 第第4章章 积分及其应用积分及其应用 4.4 换元积分法换元积分法 4.2 不定积分概念与性质不定积分概念与性质 4.5 分部积分法分部积分法 4.6 无限区间的广义积分无限区间的广义积分 4.7 积分学的应用积分学的应用 一一.定积分定义定积分定义 ESC 4.1 定积分概念与性质定积分概念与性质 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 4.1 定积分概念与性质定积分概念与性质 三三.定积分的性质定积分的性质ESC 一一.定积分定义定积分定义 规则图形规则图形 的面积的面积 矩形的面积矩形的面积=长长 宽宽.长长宽宽高高h下下底底b上上底底a直角梯形的面积直角梯形的面积=.2hba 中位线中位线,长为长为 2ba 直角梯形的面积可用矩形面积计算直角梯形的面积可用矩形面积计算.ESC 一一.定积分定义定积分定义 那么那么,不规则不规则图形的面积图形的面积如何求呢如何求呢?一一.定积分定义定积分定义 用若干条平行于用若干条平行于 轴及轴及 轴的直线轴的直线 将图形分割将图形分割,所求面积应为被分割的所求面积应为被分割的 所有小面积之和所有小面积之和.yx 如左图如左图,将其放入平面直角坐标系中将其放入平面直角坐标系中.yoxA 我们分析我们分析 :由三条直线和一条曲由三条直线和一条曲 线围成线围成,其中两条直线互相平行其中两条直线互相平行,第三条第三条 直线与这两条直线垂直直线与这两条直线垂直,另一边为曲线另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形称这样的图形为曲边梯形.AA 对四周的不规则图形对四周的不规则图形,面积怎么求面积怎么求?只要将其求出只要将其求出,则大的不规则图形面则大的不规则图形面 积也即求出积也即求出.ESC?求不规则图形求不规则图形 的面积问题的面积问题 其中其中,中间部分为矩形中间部分为矩形,易求面积易求面积.转化为转化为 求曲边梯形求曲边梯形 的面积问题的面积问题ESC 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?将曲边梯形放在平面直角坐标系中将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线则由连续曲线)(xfy),0)(xfbx)(ba称为曲边梯形称为曲边梯形.直线直线,ax0y和和(即即 轴轴)所围成的平面图形所围成的平面图形xbBAayxoax=bx0y)(xfyABab?A面积面积ESC 一一.定积分定义定积分定义 yxo直直 曲曲 对立对立统一统一按下述程序计算曲边梯形的面积按下述程序计算曲边梯形的面积:)(xfyABab在区间在区间 上任意选取分点上任意选取分点,ba,1210bxxxxxann 1x2x3xix1ix1nx,10 xx,21xx,.,1nnxx 每个小区间的长度为每个小区间的长度为,1iiixxx.,2,1ni.max1inixx其中最长的记作其中最长的记作 x0 x=nx=分成分成 个个小区间小区间n 我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积.(1)分割分割分曲边梯形为分曲边梯形为 个小曲边梯形个小曲边梯形 nESC 一一.定积分定义定积分定义 yxo)(xfyABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx=过每个分点过每个分点 ()作作 轴的垂线轴的垂线,把曲边梯形把曲边梯形分成分成 个窄曲边梯形个窄曲边梯形.ixni,2,1xn(1)分割分割分曲边梯形为分曲边梯形为 个小曲边梯形个小曲边梯形 用用 表示所求表示所求曲边梯形的面积曲边梯形的面积.A 表示第表示第 个小个小曲边梯形面积曲边梯形面积,则有则有:iAi.121niinAAAAA1A2A3AiAnAnESC 一一.定积分定义定积分定义 yxo)(xfyABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx=(2)近似代替近似代替用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积),2,1(ni，iA)(ifix在每一个小区间在每一个小区间 上任选一点上任选一点 (),用与用与小曲边梯形同底小曲边梯形同底,以以 为高的小矩形的面积为高的小矩形的面积 近似代近似代替小曲边梯形的面积替小曲边梯形的面积,即即,1iixxni，,2,1i)(if)(ifix11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)(ESC 一一.定积分定义定积分定义 yxo)(xfyABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx=11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)(3)求和求和求求 个小矩形面积之和个小矩形面积之和 n 个小矩形构成的阶梯形的面积是个小矩形构成的阶梯形的面积是 ,这是原曲边这是原曲边梯形面积的一个近似值梯形面积的一个近似值.即即nniiixf1)(niiAA1.)(1niiixfESC 一一.定积分定义定积分定义 (4)取极限取极限由近似值过渡到精确值由近似值过渡到精确值 分割区间分割区间 的点数越多的点数越多,即即 越大越大,且每个小区间的长度且每个小区间的长度越短越短,即分割越细即分割越细,阶梯形的面积阶梯形的面积,即和数即和数 与曲边梯与曲边梯形面积形面积 的误差越小的误差越小.nniiixf1)(A,baix 现将区间现将区间 无限地细无限地细分下去分下去,并使每个小区间的并使每个小区间的长度长度 都趋于零都趋于零,这时这时,和和数的极限就是原曲边梯形数的极限就是原曲边梯形面积的精确值面积的精确值.,baix.)(lim10niiixxfA 动态描述阶梯形面积动态描述阶梯形面积 与曲边梯形面积的与曲边梯形面积的 无限接近过程无限接近过程 ESC 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?yxoab?A面积面积(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:)(xfy 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?yxoab(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:xxii 1A)(xfy)(ifxxii1ix 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?yxoab(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:AA)(xfy)(ifxxii 1xxii1ix 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:AA)(xfyxi 1xxii1ixyxoabxi)(if 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?yxoab(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:AA)(xfy)(ifxxii1ixxi 1xi 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?yxoab(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:AA)(xfy)(ifxxii1ixxi 1xi 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例yxoabA)(xfy如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:ESC 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例求得曲边梯形的面积求得曲边梯形的面积:yxoab(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经经A)(xfy.)(lim10niiixxfAESC 一一.定积分定义定积分定义 定义定义4.1.)(lim10niiixxf定积分定积分 定义定义 用分点用分点,1210bxxxxxann 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上有定义上有定义,)(xf,ba把区间把区间 分成分成 个小区间个小区间,ban其长度其长度,1iiixxx.,2,1ni并记并记.max1inixx,1iixx.,2,1ni在每一个小区间在每一个小区间 ()上任选一点上任选一点 ,作乘作乘积的和式积的和式,1iixxni,2,1 i.)(1niiixf 当当 时时,若上述和式的极限存在若上述和式的极限存在,且这极限与区间且这极限与区间 的分法无关的分法无关,与点与点 的取法无关的取法无关,则称函数则称函数 在在 上是可上是可积的积的,并称此极限值为函数并称此极限值为函数 在在 上的定积分上的定积分,记作记作 0 xi,ba)(xf,ba)(xf,ba,d)(baxxf即即 baxxfd)(ESC 一一.定积分定义定积分定义 xxfbad)(积分上限积分上限 积分下限积分下限 被积表达式被积表达式 被积函数被积函数 积分变量积分变量 .)(lim10niiixxf 积分号积分号 ,ba称为积分区间称为积分区间.曲边梯形面积是曲边方程曲边梯形面积是曲边方程在区间在区间 上的定积分上的定积分,即即)(xfyba,).0)(d)(xfxxfAbaESC 一一.定积分定义定积分定义 积分上限积分上限 1.定积分定积分 是一个数值是一个数值,该数值取决于被积函数该数值取决于被积函数 和积分区间和积分区间 ,与积分变量无关与积分变量无关,即即xxfbad)()(xf,ba.d)(d)(ttfxxfbaba 积分下限积分下限 注意注意2.交换定积分的上下限交换定积分的上下限,定积分变号定积分变号,即即.d)(d)(xxfxxfabba特别地特别地,有有.0d)(aaxxfESC 一一.定积分定义定积分定义 3.3.可以证明：如果在区间上可可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件有界是其可积的必要条件)(xfba,ba,)(xf)(xf这一结论也可以叙述为：如果函数这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可在区间上无界，则在上不可积积)(xf)(xfba,ba,4 4.可积的充分条件可积的充分条件:，且只有有限个第一类，且只有有限个第一类函数函数 在在 上连续上连续()f x,a b()f x在在 上可积。
上可积a b函数函数 在在 上有界上有界()f x,a b在在 上可积)f x,a b间断点间断点ESC 一一.定积分定义定积分定义 例例1 1 下列函数在区间下列函数在区间-1,1-1,1上不可积的是上不可积的是（）111)()01,1xAf xxx（)()B f xx（|1)(21C f xx（）1sin0()()00 xxxD f xx 解：选解：选)C（1(21f xx）在区间在区间-1,1-1,1 上有上有无穷型间断点无穷型间断点 即无界12x学生思考：为什么选项学生思考：为什么选项 中的中的函数在区间函数在区间-1,1-1,1 上可积)()()ABC ESC 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义?Axoy1y1.dd)(abxxxfAbaba,1)(xf特别地特别地,在区间在区间 上上,若若,ba则则由定积分的定义知由定积分的定义知yxo?A面积面积A.d)(xxfba).,0)(baxfb)(xfyABaab 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 .d)(baxxfA?Axoy)(xfy ab,0)(xf在区间在区间 上上,若若,baESC 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 baxxfAd)(则图中阴影部则图中阴影部分的面积为分的面积为caxxfd)(abox)(xfyycd若若)(xf有正有负有正有负,在区间在区间 上上,baESCdcxxfd)(.d)(bdxxf 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 例例2 2ESC用几何图形说明下列等式成立用几何图形说明下列等式成立:(1);2d1112xx (1)由定积分的几何意义由定积分的几何意义,该面该面积就是作为曲边的函数积就是作为曲边的函数 在区间在区间 上的定积分上的定积分,即即21 xy 1,1xx d1112上半单位圆的面积为上半单位圆的面积为2.2解解 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 ESC(2).21d10 xx解解 (2)由定积分的几何意义由定积分的几何意义,该面积该面积就是作为直线的函数就是作为直线的函数 在区在区间间 上的定积分上的定积分,即即xy1,0 xx d10.21xyyBxo1A该三角形的面积为该三角形的面积为21 三三.定积分的性质定积分的性质 性质性质1 1ESC常数因子常数因子 可提到积分符号前可提到积分符号前 k.d)(d)(xxfkxxfkbaba性质性质2 2代数和的积分等于积分的代数和代数和的积分等于积分的代数和.d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf例例3 3ESC解解 计算定积分计算定积分.d)1(2102xxx由上述定积分的性质及例由上述定积分的性质及例2,有有 102d)1(2xxx102d)1(2xxx)dd1(210102xxxx 由性质由性质2 由性质由性质1 .12)214(2 由例由例2(1)(2)三三.定积分的性质定积分的性质 三三.定积分的性质定积分的性质 ESC 对任意三个数对任意三个数,cba总有总有.d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf(1)当当 时时,由定积分的几何意义可知由定积分的几何意义可知 bca曲边梯形曲边梯形 的面积的面积aABbaACc=曲边梯形曲边梯形 的面积的面积+曲边梯形曲边梯形 的面积的面积.cCBbyxoa)(xfyABCb即即.d)(d)(bccaxxfxxfbaxxfd)(c性质性质3(3(定积分对积分区间的可加性定积分对积分区间的可加性)三三.定积分的性质定积分的性质 性质性质3(3(定积分对积分区间的可加性定积分对积分区间的可加性)对任意三个数对任意三个数,cba总有总有.d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf.d)(cbxxfbaxxfd)(2)当当 时时,由前一种情形由前一种情形,应有应有 cbacaxxfd)(baxxfd)(移项移项,有有caxxfd)(.d)(cbxxf.d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf 交换上交换上下限下限,有有 ESC其他其他情形情形可类可类似推似推出出.例例4 4ESC用几何图形说明下列等式成立用几何图形说明下列等式成立:解解 三三.定积分的性质定积分的性质 (1);0dsin22xx(1)由定积分对区间的可加性知由定积分对区间的可加性知 ,dsindsindsin200222xxxxxxxoy1122Cxy sinDAB1A2A面积面积 21AA 由定积分的由定积分的几何意义几何意义 =1A=2A故故 .0dsin2122AAxx 奇函数奇函数 ESC解解 三三.定积分的性质定积分的性质 (2)由定积分对区间的可加性知由定积分对区间的可加性知 ,dcosdcosdcos200222xxxxxxxo2面积面积 21AA 由定积分的由定积分的几何意义几何意义 =1A=2A故故 .dcos22dcos2022122xxAAAxx(2).dcos2dcos2022xxxxxy cosCAB1A22A1y 偶函数偶函数 三三.定积分的性质定积分的性质 ESC),()(xfxf则则.0d)(xxfaa结论结论则则.d)(2d)(0 xxfxxfaaa(1)若若 是奇函数是奇函数,即即)(xf设函数设函数 在对称区间在对称区间 上连续上连续,)(xf,aa),()(xfxf(2)若若 是偶函数是偶函数,即即)(xf 三三.定积分的性质定积分的性质 ESC性质性质4(4(比较性质比较性质)若函数若函数 和和 在闭区间在闭区间 上总有上总有)(xf)(xg,ba),()(xgxf则则.d)(d)(babaxxgxxf由图由图,两个曲边梯形的面积有关系两个曲边梯形的面积有关系:aABb的面积的面积bBaA11的面积的面积yABxo)(xfyab)(xgy1A1Bbaxxfd)(.d)(baxxg=例例5 5ESC比较下列积分值的大小比较下列积分值的大小:解解 三三.定积分的性质定积分的性质 (1)10dxx与与.d102xx由定积分的比较性质由定积分的比较性质 y1(1)在区间在区间 上上,因因,1,0,2xxxo1xy10dxx.d102xx2xyESC解解 三三.定积分的性质定积分的性质 由定积分的比较性质由定积分的比较性质 y1(2)在区间在区间 上上,因因,4,0,cossinxxxo(2)与与40dsinxx.dcos40 xx4xy cos40dsinxx.dcos40 xx2xy sinESC 三三.定积分的性质定积分的性质 性质性质5 5（估值定理）（估值定理）如果函数在如果函数在上有最大值和上有最大值和 最小值，则最小值，则)(xfba,MmbaabMxxfabm)(d)()(性质性质6(6(积分中值定理积分中值定理)如果函数在区间如果函数在区间上连续，则在内至少有一点，使得上连续，则在内至少有一点，使得ba,ba,baabfxxf)(d)(),(ba，(5.1.1)(5.1.1)ESC 三三.定积分的性质定积分的性质 这一性质的几何意义是这一性质的几何意义是:由曲线，轴和直由曲线，轴和直线线 ，所围成的曲，所围成的曲边梯形面积等于区间上边梯形面积等于区间上某个矩形的面积，这个矩形某个矩形的面积，这个矩形的底是区间，其高为区的底是区间，其高为区间内某一点处的函数间内某一点处的函数值值 .)(xfy xax bx ba,ba,ba,)(foxbay)(xfy ESC 三三.定积分的性质定积分的性质 由由(5.1.1)(5.1.1)式得到的式得到的，称为函数在区间上的平均值称为函数在区间上的平均值baxxfabfd)(1)()(xfba,例例已知需求函数为已知需求函数为试求出在区间平均试求出在区间平均 x40,60价格的表示式价格的表示式.（单位：元）（单位：元）0.05()100 xp D xeESC 三三.定积分的性质定积分的性质 解解 在区间平均价格记为，则在区间平均价格记为，则 40,60p6060404010.050.05100ed5ed60 40 xxpxx例例估计估计 的值的值.221xe dx解解 令令 =，求导得，求导得 .()f x2xe2()2xfxxe令令 ，得，得()0fx0 x(0)1(1)ffe由，44(2)1.feMem，最大值 ，最小值 ESC三三.定积分的性质定积分的性质211dx21mdx221xe dx213Mdx241e dx224133xe dxe所以所以 .ESC 内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限近似计算近似计算矩形公式矩形公式 梯形公式梯形公式3.定积分的性质定积分的性质4.积分中值定理积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式2.定积分的几何意义定积分的几何意义ESC 课堂练习课堂练习 1.比较下列定积分的大小比较下列定积分的大小211222(1)(2)lnln0011xxe dxedxxdxxdx和和 2.计算下列定积分计算下列定积分21222(arcsin)14(1)sin(2)(3)ln1211222xxxxdxdxxdxxx|ESC课堂练习课堂练习f f f f f(f（4）设）设 是上的连续函数，计算：是上的连续函数，计算：()f x,a acoscos()()()()axxx ef xx efx dxa.用定积分的几何意义，判别下列不等式成立否？用定积分的几何意义，判别下列不等式成立否？（）在区间上，若（）在区间上，若,a b()0,()0,()0f xf xfx 则则()()()()()()2bf af bb af x dxb a f baESC课堂练习课堂练习（）在区间上，若（）在区间上，若,a b()0,()0,()0f xf xfx ()()()()()()2bf af bb a f bf x dxb aa.用几何图形说明下列各式对否？用几何图形说明下列各式对否？(1)sin0(2)cos000122(3)(4)00 xdxxdxaxdxax dxa=12=42ESC 布置作业布置作业 .不计算积分，比较下列定积分的大小不计算积分，比较下列定积分的大小442222(1)ln(ln)(2)3311xdxxdxxdxx dx与与 .估计下列定积分的值估计下列定积分的值112(1)(2)11xxedxedx .求函数在区间上的平均值。
求函数在区间上的平均值21yx 1,1。