朝花夕拾杯中酒§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.向量数量积的定义及长度、角度问题1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算5.理解数量积的性质,并能运用Ⅲ2017课标全国Ⅰ,13;2017课标全国Ⅲ,13;2016课标全国Ⅲ,3;2016课标全国Ⅰ,13;2016北京,9;2015课标Ⅱ,4选择题、填空题★★★2.向量数量积的综合应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题Ⅱ2017天津,14;2017北京,12;2017江苏,12;2013课标Ⅰ,13分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何、平面向量等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.五年高考考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=( )A.30° B.45° C.60° D.120°答案 A 2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C 3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 B 5.(2014课标Ⅱ,4,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 6.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= .答案 77.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m= .答案 28.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为 .答案 9.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .答案 910.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,n∈R).(1)若m=n=,求||;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解析 (1)∵m=n=,=(1,2),=(2,1),∴=(1,2)+(2,1)=(2,2),∴||==2.(2)∵=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.教师用书专用(11—25)11.(2014大纲全国,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 B 12.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的取值范围是( )A.[4,6] B.[-1,+1]C.[2,2] D.[-1,+1]答案 D 13.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=( )A.2 B. C.0 D.-答案 B 14.(2014浙江,9,5分)设θ为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1( )A.若θ确定,则|a|唯一确定 B.若θ确定,则|b|唯一确定C.若|a|确定,则θ唯一确定 D.若|b|确定,则θ唯一确定答案 B 15.(2013湖北,7,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( )A. B.C.- D.-答案 A 16.(2013福建,10,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. B.2 C.5 D.10答案 C 17.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.-1 B. C.+1 D.+2答案 C 18.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .答案 4;219.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为 .答案 -520.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .答案 -21.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|= .答案 22.(2014湖北,12,5分)若向量=(1,-3),||=||,·=0,则||= .答案 223.(2014江西,12,5分)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,则|a|= .答案 324.(2013重庆,14,5分)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k= .答案 425.(2013安徽,13,5分)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 .答案 -考点二 向量数量积的综合应用1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I10),且a·b=0,点P(m,n)在圆x2+y2=5上,则|2a+b|=( )A. B.4 C.4 D.3答案 A 12.(2016湖南十校联考,5)在平行四边形ABCD中,=(2,-1),=(1,3),则平行四边形ABCD的面积为( )A. B.7 C. D.6答案 C B组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:65分 时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018湖南师大附中12月月考,8)已知半径为4的圆O是△ABC的外接圆,且满足++=0,则在方向上的投影为( )A.2 B.-2 C.4 D.-4答案 A 2.(2018河北衡水中学四调,10)设向量a=(cos 25°,sin 25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为( )A. B. C.1 D.答案 B 3.(2018江西南昌二中期中模拟,8)如图,O为△ABC的外心,AB=4,AC=2,∠BAC为钝角,M是边BC的中点,则·的值为( )A.4 B.5 C.6 D.7答案 B 4.(2018湖南五市十校12月联考,12)在△ABC中,AB=3AC=9,·=,点P是△ABC所在平面内一点,则当++取得最小值时,·=( )A.-24 B.6 C. D.24答案 D 5.(2017辽宁葫芦岛六校联考,3)同一平面内,非零向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则a+b+c=( )A. B.5 C.5或6 D.或6答案 D 6.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是( )A. B.[-1,1) C. D.[-1,0)答案 A 7.(2016湖南衡阳模拟,9)在△ABC中,∠C=90°,且||=||=3,点M满足=2,则·=( )A.6 B.4 C.3 D.2答案 C 二、填空题(共5分)8.(2017宁夏银川一中月考,15)设a=(4,3),a在b方向上的投影为,b在x轴正方向上的投影为2,且b对应的点在第四象限,则b= .答案 三、解答题(共25分)9.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,满足⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·+·的最小值.解析 (1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,因为⊥,所以·=0,所以cos θ==,设||=||=a(a>0),则cos θ==.(5分)(2)∵||=||=,∴||=1,设||=x(0≤x≤1),则||=1-x.(8分)因为+=2,所以·+·=·(+)=2·=2||·||cos π=2x2-2x=2-.因为0≤x≤1,所以当且仅当x=时,·+·取最小值-.(12分)10.(2016江西四校联考,17)已知向量a=(1,2),b=(-2,x).(1)当a⊥b时,求x的值;(2)若向量a与4a+b的夹角是锐角,求|b|的取值范围.解析 (1)∵a⊥b,∴a·b=-2+2x=0,∴x=1.(2)由题意知,4a+b=(2,8+x).∵a与4a+b的夹角是锐角,∴a·(4a+b)>0且a与4a+b不能同向.由a·(4a+b)>0,得2x+18>0,解得x>-9①,若a与(4a+b)共线,则2×2=8+x,∴x=-4.此时4a+b=(2,4)=2a,∴x≠-4②.由①②得x>-9且x≠-4,∴x2≥0.又|b|=,∴|b|≥2.即|b|的取值范围为[2,+∞).C组 2016—2018年模拟·方法题组方法1 求平面向量模长的方法1.(2018辽宁六校协作体期初联考,11)已知O为坐标原点,向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则||的取值范围是( )A.[,2] B.[,2) C.(,) D.[,2]答案 B 2.(2016辽宁抚顺一中月考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=( )A.1 B. C.2 D.2答案 D 3.(2017江西六校联考,17)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为.(1)求|a+2b|;(2)若向量a+2b与ta+b垂直,求实数t的值.解析 (1)∵向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,∴|a+2b|====2.(2)∵向量a+2b与ta+b垂直,∴(a+2b)·(ta+b)=0,∴ta2+(2t+1)a·b+2b2=0,∴4t+(2t+1)×2×1×cos +2=0,解得t=-.方法2 求平面向量夹角的方法4.(2018湖南益阳、湘潭调研,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b的夹角为θ,则tan θ= .答案 -5.(2017吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120°的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为θ,则cos θ= .答案 -6.(2016四川资阳第一次模拟,14)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为 .答案 方法3 用向量法解决平面几何问题的方法7.(2017山东质检,8)在△ABC中,已知向量=(cos 18°,cos 72°),=(2cos 63°,2cos 27°),则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.答案 A 8.(2018豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=DC=2,点E,F分别为线段AD,BC的三等分点,O为DC的中点,则·= .答案 -还是个帅哥但是。