课程内容：研究数学物理方程的建立、求课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析解方法和解的物理意义的分析Green 方程的导出和定解问题方程的导出和定解问题分离变量法分离变量法数学物理方程数学物理方程行波法行波法基本解法基本解法积分变换法积分变换法函数法函数法 贝塞尔函数贝塞尔函数特殊函数特殊函数勒让德函数勒让德函数微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程 ,0(1)xyxxxyfx yu uuuu,0nndud uFx udxdx 3:19例如例如xyxuuuy 221xyuu 0 xxyyuu 都是偏微分方程都是偏微分方程,偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程 ,0(1)xyxxxyfx yu uuuu 偏微分方程的阶偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最方程中未知函数的偏导的最高阶数高阶数是二阶偏微分方程是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程是三阶偏微分方程.0 xxyyuu 例例:37xxyyyuxuuy 线性偏微分方程线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）自变量（或者为常数）非线性偏微分方程非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程不是线性的偏微分方程例例21xxyyyuxyuu 是二阶线性偏微分方程是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程是非线性偏微分方程 221,0 xyxuuuuxu n个自变量的二阶线性偏微分方程个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为一般形式为,11(2)ijinnijx xixi jia ub ufug 这里这里 和和 都是关于自变量都是关于自变量 的函数。
的函数如果如果 ，则称方程为，则称方程为齐次齐次的；否则称为的；否则称为非齐次非齐次的ijia bfgix0g 本课程的主要研究对象：本课程的主要研究对象：根据系统边界所处的物理条件和初始状态列根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；出定解条件；主要内容主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题提出相应的定解问题导出数学物理方程的一般方法：导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程例例 1 1.弦的微小横振动弦的微小横振动 假设与结论：假设与结论：（1 1）横振动）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t)12 xudxdxxuds 21 （2）微小振动）微小振动（3）弦柔软、均匀）弦柔软、均匀.张力张力 沿切线方向沿切线方向,密度密度 为常数为常数；)(xT 建立方程建立方程：取微元 ，研究在水平方向和铅垂方向 在不受外力的情况下的运动情况。
MMMM x+d dx)(dxxT sgdM牛顿运动定律：牛顿运动定律：F=ma作用在弧作用在弧段段 上的水平方向的力为上的水平方向的力为 MM0coscosTT倾角很小，即倾角很小，即0,0 近似得近似得TT 垂直方向的力为垂直方向的力为22(,)sinsinu x tTTgdsdst（1）sintg,sintg,.dsdx(,)(,),.u x tu x dx ttgtgxx22(,)tgtgu x tTTgdxdxt于是等式（于是等式（1 1）变成）变成由微积分知识可知，在时刻由微积分知识可知，在时刻t 有有（2）等式（等式（2 2）可以写成）可以写成1|xx dxxxttguuudxTT x+d dx)(dxxT sgd由于很小令令 ，取极限得取极限得0dxxxttguuTT略去重力，可得方程略去重力，可得方程,22222xuatu其中其中Ta2(3)(3)弦振动方程（弦振动方程（3 3）中只含有两个自变量）中只含有两个自变量 和和 ，其中，其中 表示时间表示时间，表示位置表示位置由于它们描述的是弦的振动由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为或波动现象，因而又称为一维波动方程一维波动方程。
xttx注注1 1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，外力可以是压力、重力、阻力，则则22(,)sinsinu x tFdsTTgdsdst 22222(,),uuaf x ttx弦的弦的强迫振动强迫振动方程为方程为(,)(,)F x tf x t 其其中中称称为为自自由由项项.非齐次方程非齐次方程齐次方程；齐次方程；,0,0 ffMxdx dsgds TT uoxMxNN例例 2.传输线方程传输线方程 待研究物理量:电流强度 i(x,t),电压 v(x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路单位的串联电阻每一回路单位的串联电阻,L 每一回路单位的串联电感，每一回路单位的串联电感，C 每单位长度的分路电容，每单位长度的分路电容，G 每单位长度的分路电导，每单位长度的分路电导，xxxKirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxCiii )()(00RitiLxvGvtvCxi微分形式两端对两端对x微分微分两端对两端对t微分微分*C相减相减GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 传输线方程2222222211xvLCtvxiLCti 高频传输，G=0,R=0高频传输线方程与一维波动方 程 类 似 例3.声学方程 022sastt)(002pa s0p0声波中的空气密度相对变化量，空气定比热与定容比热之比值，空气处于平衡状态时的压强，空气处于平衡状态时的密度。
其中2222222zyxLapalce算子三维波动方程 注注2 2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）动）,它的形式为它的形式为 2,ttxxyyuauufx y t 奥氏公式 dVzyxdSnE),(4 4静静电电学学基基本本定定律律：穿穿过过闭闭合合曲曲面面向向外外的的电电通通量量等等于于区区域域内内所所含含电电量量的的倍倍，即即例例4 静电场的势方程静电场的势方程 E1 ),(zyx),(4divzyxE 即 dVEdVzEyExEdSznEynExnEdSnEzyxzyxdiv ),cos(),cos(),cos(故 dVdVE 4div),(4graddivzyxu ),(4222222zyxzuyuxu 0222222 zuyuxu故即 Laplace方程 Poisson方程当内没有电荷时 EuEgrad静电场是有势场，故存在势函数u,有 如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导考虑物体考虑物体G 内的热传导问题。
函数内的热传导问题函数u(x,y,z,t)表表示物体示物体G 在位置在位置 M(x,y,z)以及时刻以及时刻 t 的温度通过的温度通过对任意一个小的体积元对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建内的热平衡问题的研究，建立方程假设：假设：假定物体内部没有热源，物体假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数的，物体的密度以及比热是常数SVM S n 热场热场 例 5.热传导方程SVM S n 热场热场傅立叶实验定律傅立叶实验定律:物体在无穷小时段物体在无穷小时段d dt内沿法线方向内沿法线方向n流过一个无穷小面积流过一个无穷小面积d dS的热量的热量d dQ与与时间时间d dt,面积面积d dS,物体温度沿曲面物体温度沿曲面d dS法线方向的方向导数成正比法线方向的方向导数成正比.dd duQkS tn 从时刻从时刻 到时刻到时刻 经过曲面经过曲面S 流入流入区区域域V 的热量为的热量为1t2t211ttSuQkdS dtn 21txyztVkukukudVdtxyz 高斯公式高斯公式 210ttxyztVcukukukudVdtxyz 流入热量使物体内温度变化，在时间间隔流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体中物体温度从温度从 变化到变化到 所需吸收热量为所需吸收热量为12,t t1(,)u x y z t2(,)u x y z t 221,dVQcu x y z tu x y z tV 比热比热密度密度2211ttttVVuucdt dVcdV dttt 由于所考察的物体内部没有热源由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律根据能量守恒定律可得可得21, 即即由于时间由于时间 ,和区域和区域 V 都是任意选取的都是任意选取的,并且并且被积函数连续被积函数连续,于是得于是得1t2t xyzuckukukutxyz (非均匀的各向同性体的热传导方程非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体，对于均匀的各向同性物体，k为常数，记为常数，记2kac 则得齐次热传导方程则得齐次热传导方程:2222222uuuuatxyz 三维热传导方程三维热传导方程若物体内部有热源若物体内部有热源 F(x,y,z,t),则热传导方程为则热传导方程为 2222222,uuuuafx y z ttxyz其中其中 ,.Ffx y z tc 0)(22222 yuxuatu二维热传导方程 0)(222 xuatu维热传导方程 0)(2222222 zuyuxuatu三维热传导方程 在上述热传导方程中在上述热传导方程中,描述空间坐标的独立变量描述空间坐标的独立变量为为 ,所以它们又称为三维热传导方程所以它们又称为三维热传导方程.当考当考察的物体是均匀细杆时察的物体是均匀细杆时,如果它的侧面绝热且在同如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同一截面上的温度分布相同,则可以得到一维热传导则可以得到一维热传导方程方程 ,x y z222uuatx 22222uuxyuat 类似类似,如果考虑一个薄片的热传导如果考虑一个薄片的热传导,并且薄片的并且薄片的侧面绝热侧面绝热,可以得到二维热传导方程可以得到二维热传导方程 当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散,液体的渗透液体的渗透,半导体半导体材料中的杂质扩散等物理过程时材料中的杂质扩散等物理过程时,若用若用 表示所扩表示所扩散物质的浓度散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同方程完全相同.所以热传导方程也叫所以热传导方程也叫扩散方程扩散方程.u波动方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律,长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布,静电场的 电位,流体的势.总总 结：结：222220uuatx2220uuatx22220uuxy一维齐次波方程：一维齐次波方程：一维齐次热方程：一维齐次热方程：二维二维Laplace方程：方程：一一 .初始条件及初始条件及CauchyCauchy问题问题 描述某系统或某过程初始状况的条件称为，初值条件与对应方程加在一起构成或称。
0)(0)(齐次初始条件且xx)(),(00 xuxuttt )(),(xx 初始位移、初始速度分别为 ,称波动方程的初值条件波动方程的初值条件.l 弦振动问题弦振动问题l 热传导方程热传导方程)(0 xut 称为热传导方程的初值条件热传导方程的初值条件.不同类型的方程，相应初值条件的个数不同初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态注意注意注意注意 例例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 hhut 0hulx 2/()()xu02llh lxxllhlx xlhut2l ),(220 ,20正确写法正确写法（I I）第一类边界条件）第一类边界条件1Suf 3:19（IIII）第二类边界条件）第二类边界条件2Sufn （IIIIII）第三类边界条件）第三类边界条件3Suufn 二二.边界条件边界条件描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件边界条件.例例1 1.长为l的弦，一端固定，一端以 sint t 规律运动),(),(),(tzyxftzyxuzyx tuulxxsin,00 第一类边界条件第一类边界条件例例2 2.长为l的杆，一端温度为0，一端温度为 (t t)00,()xx luut 弦振动问题弦振动问题：弦的一端（如：弦的一端（如 x=l）可以在垂直）可以在垂直 x 轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为外力，我们称这种端点为“自由端自由端”。
sintanx luTTTxux0l第二类边界条件第二类边界条件),(tzyxfnu 在这一端点，边界上的张力沿垂直于在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的轴的方向的分量为分量为0 0，因此在方程的推导中知，因此在方程的推导中知 ,即即0 xluTx 当该点处的张力沿垂直当该点处的张力沿垂直x 轴的方向的分量是轴的方向的分量是 t 的已的已知函数知函数 时，有时，有()t x lutx 0(,)0 xlxxluulnxtu 或或3:19热传导问题：热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为态，即在表面上热量的流速始终为0 0，则由方程，则由方程推导过程可知，有边界条件推导过程可知，有边界条件0.Sun ,SuM tn 当物体与外界接触的表面当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S 上有上有 ，这表明温度沿外法线方向的方，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为向导数是已知的，故边界条件可以表示为dQukdSdtn 第三类边界条件第三类边界条件 ),(tzyxfnuhu )(0kTxuulx 例例 (1)弦的振动（端点弹性连结）lxuk 弹性力lxxuT 张力)()(1hkuxuulx (2)热传导问题（端点自由冷却）dSdtnukdQ 2)(1uuhnuk dSdtuuhdQ)(11 散失的热量内部流到边界的热量即 21dQdQ )(|)()(|)0,(0002xuxxutxuautttxxtt 弦振动的Cauchy问题 )()(|)0,(002xxutxuautxxt 只包含初值条件的定解问题称为初边值问题初边值问题（Cauchy Cauchy 问题）问题）),()(),(),(0,),(0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题混合问题 (初边值问题初边值问题)热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题波动方程的混合问题波动方程的混合问题 0,0)0()(),()0,0(0002lxxxtttxxttuulxxuxutlxuau 只附加边界条件的定解问题称为边值问题边值问题.初值条件、边界条件统称为定解条件定解条件初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题定解问题.01112 fcuxuBxxuAniiininkjiikfFuyuExuDyuCyxuBxuA 222222一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 线性方程的叠加原理称形如021222221222112 xxcybxbyayxaxaL的符号为微分算子。
021222221222112 xxuucyubxubyuayxuaxuauL如二阶偏微分方程fcuyubxubyuayxuaxua 21222221222112可简写为fuL 例 非齐次波动方程的Cauchy问题 )(),()0,(),(002xuxutxtxfuautttxxtt 的解等于问题(I)和问题(II)的解之和 )(),()0,(0)I(002xuxutxuautttxxtt 0,0)0,(),()II(002tttxxttuutxtxfuau叠加原理叠加原理 2 2 若iu满足线性方程 iifuL，,2,1 i（或定解条件iiguB,若函数级数 1iiiuc在 内收敛，并且L,B 可逐项作用,则和函数 满足方程 1iiifcuL（或定解条件 1iiigcuB）1iiiuc u 。