一、简答题：1. Bezier曲线和B样条曲线提出的理由？(参数三次样条的缺点，B样条方法的优点) 答：参数三次样条曲线具有整体性、缺乏柔性、不易控制的弱点参数样条不具备形状定义和设计的灵活性；Bezier方法具有整体性和拼接问题的确定 B样条方法保留了 Bezier方法的优点，同时克服了其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点, 及解决在描述复杂形状时带来的连接问题2. 写出构造曲面的三种基本方法，并写出他们分别作用于什么？答：①张量积法：作用于呈矩形阵列的给定矢量② 母线法：作用于一个参数方向上的给定曲线及导矢等③布尔和法：作用于两个参数方向上的给定曲线及导矢3.写出Bezier曲线和B样条曲线的方程表达式？答： Bezier 曲线：p(t) = £ b B (t), 0 < t < 1 b为曲线的控制顶点数j j ,n jj=0B (t) = Cjtj (1 -1)n-j, j = 0,1,..., n Bernstein 基函数j ,n nB 样条曲线：p(u ) = n d N (u )i i ,k i=0Ni, k (u)称为k次B样条基函数它是由一个称为节点矢量的非递减参数u的序列U所决定的k 次分段多项式，即k次多项式样条。
4. Bezier曲线升阶的作用？什么时候用到升阶？(为什么要升阶) 答：升阶即增加控制顶点，也就增加了对曲线进行形状控制的潜在灵活性比如，一个二次 Bezier曲线，无论怎么调整顶点都不可能使曲线产生拐点，曲线“刚性”有余， “柔性”不足升阶可以降低 其“刚性”，增加“柔性”升阶在构造曲面方面有着重要的应用对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同 次的，应用升阶方法，可以把所有这些曲线中低于最高次数者都提升到最高次，从而获得统一的次 数5. 叙述重节点对B样条曲线的影响① k次B样条曲线在重复度为r的节点处是Ck-r连续的一条位置连续的曲线，其内节点所取 的最大重复度等于曲线的次数k,端节点的最大重复度为k+1.② 当在曲线定义域内有重复度为k的节点时，k次B样条曲线插值于相应的控制顶点与设置 k重顶点达到插值顶点不同之处在于，不致引起曲线在该点处切矢消失，保持曲线的正则性③ 当端节点重复度为k+1时，k次B样条曲线就具有k次贝齐儿曲线相同的端点几何性质④ 若端节点重复度为k+1的k次B样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间，则所定义的该k 次B样条曲线就是k次贝齐儿曲线6. 简述权因子对曲线形状的影响。
答：(1)若固定所有控制顶点及除W i外所有其他权因子不变，当W i变化时，p点随之移动，它在空 间扫描出一条过控制顶点di的一条直线当W/Jg时，p趋近与控制顶点di重合2)权因子W i的减小和增加起到了对曲线相对于顶点di的推拉作用7. 简述NURBS方法的优点几何不变性) 答：(1)既为标准解析形状(初等曲线曲面)也为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公 共的数学形式因此，一个统一的数据库就能存储这两类形状信息2)控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性 3)计算稳定且速度快(4) NURBS 有明显的几何解释，使得它对有良好的几何知识尤其是画法几何知识的设计员特别有 用5）NURBS 有强有力的几何配套技术（包括插入节点/细分/消去、升阶、分裂等），能用于设计、 分析、处理等各个环节（6）NURBS 在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的（7） NURBS是非有理B样条形式以及有理与非有理贝齐儿形式的合适推广二、证明题8.Bernstein基函数的性质证明15分）证明：B （t） = Citi （1 -1）n-j, j = 0,1,...,n① 非负性：n证：端点处：，s、 「1, j = 0② 权性：E B (t)三 1j,n证：j=01 = [(1 — t) + t ]n= ECit j(1-t)n- jnj=0= E B (t)j,nj=0③ 对称性：证：Bj ,nB (t) = B (1- t)j ,n n- j ,n(t) = Cjtj (1 — t)n- jnB (1 — t) = Cn-j (1 — t)n-jtj = Cj (1 — t)n-j t jn- j ,n n n④递推性：B (t) = (1 — t )B (t) + tB (t)j,n j ,n-1 j -1,n-1其中，B (t)三1证： 0，0B (t) = C jt j (1- t)n- jj ,n n=(Cj + Cj-1)tj (1 — t)n -jn -1 n -1=Cj t j (1 — t)n-j + Cj-1t j (1 — t)n-j n —1 n —1=(1 -1 )B (t) + tB (t)⑤导数递推性 证j,n—1 j—1,n—1B' (t) = n[B (t) — B (t)]j ,n j -1,n-1 j ,n-1B (t )j,n=Cjjtj-1(1- t)n-j- Cj(n- j)t j (1- t)n-j-1 nn=nCj-1tj-1(1-t)n-j- nCj tj(1-t)n-j-1 n- 1 n- 1=n[B (t)- B (t)]j- 1,n-1 j,n-19.Bezier曲线的任意分割(15分) 解：(例 12(2))p(t) = E bkB (t), k = 0,1,..., nj j ,n—kj=0卩 k = 0b k = < jj (1 — t )bk-1 + tbk-1 k = 1,2,..., n, j = 0,1,2,..., n — k1 j j+110.B样条的递归求点算法(20分)例 6 给定控制顶点叫二[-24 0],£={-12 6],d2 = [l 8]?叫=[1。
2]*£二[12 0],取节点矢量 口 =[00,0*0,0.75*1J」J], 定义一条三次E样条曲线p(w),其中wt[0J]o试：①分别用德布尔 算法递推计算与几何作图求曲线上参数为^ = 0.5的点p(0.5)；②计算 曲线上该点处的一阶导矢煮0・5)与二阶导矢p(0.5)./TJT |_L| MSi AS- .尸H ft 中応—J n — ££ ] — W 2 —〔扈 a — w '臨#視 7 = 于—1 c. M 3 < 理=0 ・ 5 W 4 T i — 3 口①求曲线上参数为W = 0.5的点p(0.5)按上节德布尔算法求E样条曲线上点的递推公式计算叫-■ W10.75-0ti --li20.5-0«5 --u21-0U --為.0.5-0「哲 - ° —0=0.6671-0.5=U _ a(i ?d()十-(1-0.667)[- 24 0> 0.667[- 12 6]-[-16 4Jd\ =(]-«； )dL + fl； -= (1 0.5)[ - 12 6] +o,5[l 8]=!： -5.5 7]2/冷(―胡)必卜是心= (1—0・5)[l 8j+0.5[10 2J = [5,5 5j-0.667i -农—心 _0.5 -0_n c□ --7F；_ ]_o *百=(1 -品)£ +品d{-(1-0.667)； - 16 4] ^0.667[ - 5.5 7j=[-9 6]d\ = (1 一 or： )d； + erf 述；=(1 -0.5)[ - 5.5 7] i-0.5[5.5 5] = [0 6]667=(1-0,667)[ -9 6〕十0.667[0 6] = [ -3 6]-p(0.5)几何作图求p(0.5)见图7.24oI=1 .尸]— 0》 山”■12 :匚[二厂二匚二:Z=2J=ft , 1 戶3,尸0 '1 1 ■ 图7,24求曲线上点p(0.5)的几何作图②计算一阶导矢p(0.5)^二阶导矢p(0.5) 按上节德布尔算法求B样条曲线的导矢公式计算。
以以苦書二冷匸沁一12㈡―—力01)= [48 24]關[ — 12 6])-[39 6]= 3 8D = [27 -18]对盃二顶点在«6[«3^4]上定义的那段$-1=2次B样 条曲线用参数« = 0.5执行求曲线上点的德布尔算法第一级递推■召耳"醯一叭 1 _ U得两中间顶点(1 - cri)rfj + [ = [42 12]与(1一圧：)«/： +氏；(/： = [33 一6]第二级递推得最后一个中间顶点即所求一阶导矢p(0.5) = (l-ff^)[42 12] +就[33 -6]- [36 0]11.B样条曲线的局部性质10分)局部性完整表述：①次B样条曲线上定义域内参数为u£[ui,ui+1]的一点p(u)至多与k+1个顶点 d (j=i"k,i"k+l,・・・,)有关，与其它顶点无关② 移动第i个控制顶点di至多影响到定义在区间(ui, ui+k+1 )上那部分曲线，对B样条曲线的其 他部分将不发生影响③ k次B样条曲线的定义域为u £ [uk, un+1]④ [ui, ui+1]上的k次B样条基仅涉及节点序列ui-k+1,…,ui+k，共包含2k个节点12•写出NURBS曲线的三种定义表示及作用(10分)答： 定义表示①有理分式表示:X® d N (u )i i i ,kP(u) = Xn ® N (u)i i,kI=o其中，wi, i=0,l,・・・,i为与控制顶点 相联系的权因子。
w0, wn>0其余wi M 0N i,k为k次规范B样条基函数②有理基函数表示p(u)=工 d R (u)i i ,k i=o ® N (u )R (u) = 1~乐 i,k Xn ® N (u)j j ,k 有理B样条基函数的性质：• 局部支撑性质R (u) = 0, u 笑[u , u ]I ,K i i+K+1• 规范性工R (u)三1i,K•i=o 可微性若 ® = 0，则 R (u) = 0i i ,k若 ® —g，则 R (u)二 1i i ,k若 ® t g 则 R (u)二 0若 『=1, j = 1,2,..；,则jB (u), if U = [0,...,0,1,...,1]R (u)彳 二T k+1l，k N (u) otherwisei,k③ 齐次坐标表示X Y Z[X, y, z ] = [ -, -, - ] if 0< www、在从原点通过[-,-,-]的直线的无限远点 f ® = 0三种表示的不同作用： 三种等价表示虽是等价的，但却具有不同的作用分式表示是有理的由来，从NURBS曲线的有理分式表示可见，当所有权因子均为相同的非零有限 值时，约去分子分母的公因子，由B样条基函数的规范性，分母将等于1.这时NURBS曲线就变成了 非有理 B 样条曲线。
可见，有理是权因子引起的，但从中难以了解到更多的性质从NURBS曲线的有理基函数表示形式中，我们从有理基函数的性质就较清楚地了解到NURBS曲 线的性质，也可以说权因子通过改变基函数间接影响曲线的参数化，但未揭示出NURBS曲线的生成原 理NURBS曲线的齐次坐标表示告诉我们，NURBS曲线是在高一维空间里它的控制顶点的齐次坐标或 带权控制顶点所定义的非有理B样条曲线在w=1超平面上的投影这给出了 NURBS曲线的几何意义和 生成的几何原理NURBS曲线的齐次坐标表示告诉我们，非有理B样条曲线的大多数算法可以推广应 用于 NURBS 曲线。