第一章 随机过程的基本概念1．设随机过程 X (t) = X cosw0 t,- < t < + ，其中w0 是正常数，而 X 是标准正态变量试求 X （t）的一维概率分布解：∵ 当 cosw0 t = 0即w0 t = (k +1)p即 t =1(k +1)p 时2w02p{x(t) = 0}= 1若c o ws0 t 0即t 1(k +1)p 时2w0F (x, t) = P{X (x) x}= P{X cosw0t x}当c o ws0 t > 0 时此时若 c o ws0 t同理有x1x-x 22F (x, t) =PX=cosw0t edxcosw0t2p 0F (x, t )1-x21f (x, t) ==e2 c o 2sw0txc o sw0 t2p< 0 时xxF (x, t) =PX = 1 - Px
试确定 X (t) 的一维分布函数 F (x, 2)和 F (x,1) ，以及二维分布函数 F (x1 , x2 ; 12 ,1)解：（1）先求 F (x,1)2p出现正面 01 cos2,出现正面显然 X = = 1出现反面2 2 -,出现反面 121 随机变量 X 的可能取值只有 0，1 两种可能，于是2 1 11 1PX = 0=PX = 1=2 22 2所以0x < 01 1F x,=0 x < 12 21x 1再求 F（x,1）cosp出现正面-1出现正面显然 X (1) = = 2出现反面 2出现反面p{X (1) = -1}= p{X (1) = 2}=12所以0x < -11F (x,1) =-1 x < 221x 21(2) 计算 F (x1 , x2 ; 2 ,1)10出现正面-1出现正面X () = 出现反面, X (1) = 出现反面212于是211 Fx x1, x2;,1=pX x1 ; X (1) x2 22 0x1 < 0- < x2 < +或 x1 0,x2 < -110 x1 < 1,2 x2= 2或 x1 > 1,-1 x2 < 21x1 > 1,x2 23．设随机过程 {X (t ),- < t < +}共有三条样本曲线X (t,v1 ) = 1,X (t,v 2 ) = sin t,X (t,v 3 ) = cos t且 p(v1 ) = p(v 2 ) = p(v 3 ) =1, 试求随机过程 X (t )数学期望 EX(t) 和相关函数3Rx(t1,t2)。
解：数学期望mX (t) = EX (t) = 11+ sin t 1+ cost 1=1+1(sin t + cost)33333=1(1 + sin t + cost)3相关函数R(t , t) = F[ X (t ) X (t)] = 11+ sin t sin t1+1costcostX12123123312=1[1 + cos(t- t)]3124．设随机过程X (t) = e- Xt(t > 0)其中 X 是具有分布密度 f(x)的随机变量试求 X(t)的一维分布密度 解：对于任意 t>0 因为FX (x, t) = P(x(t) x)∴ 当 x>0 时- Xtln x FX (x, t) = P{e x}= P{- Xt ln x}= PX -t ln x - ln x= 1 - pX < -= 1 -- tf (x )dxt ∴ln x 1f X(x, t) =FX(x, t) =f -xxtt 3当 x 0 时 FX (x, t) = p{e- Xt x}= 0∴ 随机过程 X (t) 的一维分布密度为1ln x f X(x, t) =f -xtt 5．在题 4 中，假定随机变量 X 具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数 字期望 EX (t) 和自相关函数 Rx (t1 , t2 )解：∵ 随机变量 X 的概率密度函数为 1f X (x) =x (0,T )T其它 0因此：EX (t) =T e-xt f(x)dx = T e-xt 1dx =1T e-xt dx =1(-1)e-xtTX 0 0TT 0Tt0=1[1 - e-tT]> 0tTtRX (t1 , t2 ) = E[X (t1 ) X (t2 )]= E[e- Xt1 e- Xt2 ]= E[e- X (t1 +t2 ) ]= 0T e -x(t1 +t2 ) f X(x)dx =1(1 - e -T (t1 +t2 ) )T (t1 + t2 )6．设随机过程 {X (t),- < t < +}在每一时刻 t 的状态只能取 0 或 1 的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对于作意固定的 t 有P{X (t) = 1}= p P{X (t) = 0}= 1 - p其中 0
试求 X(t)的一维和二维分布，并求 x(t)的数学期望和自相关函数解：一维分布P{x(t) = 1}= pP{x(t) = 0}= 1 - p二维分布：P{X (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1}= p 2p{X (t1 ) = 1, X (t2 ) = 0}= p(1 - p) p{X (t1 ) = 0, X (t2 ) = 1}= (1 - p) p p{X (t1 ) = 0, X (t2 ) = 0}= (1 - p)2X(t)的数字期望4mX (t) = EX (t) = 1 p{X (t) = 1}+ 0 p{X (t) = 0}= p随机过程 X (t)的自相关函数为RX (t1 , t2 ) = E[X (t1 ) X (t2 )]= 1 p{X (t1 ) = 1, X (t2 ) = 1}+0 P{X (t1 ) = 1}且 X (t2 ) = 0 ； X (t1 ) = 0 且 X (t2 ) = 1 ； X (t1 ) = 0 且 X (t2 ) = 0}= P{X (t1 ) = 1} P{X (t2 ) = 1}= p 27．设 {X n , n 1}是独立同分布的随机序列，其中 X j 的分布列为Xj1-1J=1，2，„1-1P22n定义Yn = X j 。
试对随机序列{Yn , n 1}求j =1（1）Y1 的概率分布列；（2）Y2 的概率分布列；（3）Yn 的数字期望；（4）Yn 的相关函数 RY（n, m）解：（1）∵ Y1=X1故概率分布则为 P{Y = 1}=1P{Y = -1}=11212（2）∵ Y2 = X 1 + X 2Y2 可能的取值为 0 或 2，-2P{Y2 = 0}= P{X1 + X 2 = 0}= P{X1 = 1, X 2 = -1}+ P{X1 = -1, X 2 = 1}= P{X1 = 1}P{X 2 = -1}+ P{X1 = -1}P{X 2 = 1}=1+1=1442P{Y = 2}= P{X+ X= 2}= P{X= 1, X= 1}=1212214P{Y = -2}= P{X+ X= -2}= P{X= -1, X= -1}=1212214n（3）Yn = X j的数字期望为j =1EYn（4）自样关函数n= E X j =1RY (m, n)n= EX jj j =1= E[Y (m)Y (n11= 1+(-1)= 022j =1n)]=mmE X j X k j =1k =1当 m≥n 时nR (m, n) = EXYjj =1m+ Xj =n+1nn2mnj Xk = EX+XXj j kk =1j =n+1k =1 j =15。