专题22 解三角形（同步练习）题型一 利用正余弦定理求角、边长1-1．（10分）在中,角、、的对边分别为、、,已知1)若,,求；(2)若角,求角解析】(1)由余弦定理得, 1分∴,即, 3分代入数值得,解得； 5分(2)∵,∴由正弦定理得, 6分由可得,,∴,即, 8分解得或 (舍去),又∵,∴ 10分1-2．（10分）在中,、、分别为角、、所对的边,已知1)求的值；(2)若,的周长为,求的长解析】(1)在中,,由正弦定理得, 2分即,∴, 4分∴,即,∴； 5分(2)由(1)可知,,, 8分解得,,∴。
10分1-3．（12分）中,是上的点,平分,是面积的倍1)求；(2)若,,求和的长解析】(1)在中,,设,,, 1分,, 2分由正弦定理得：, 3分∴； 4分(2)∵,, 6分, 8分, 10分,解得 12分1-4．（12分）在中,、、分别是角、、的对边,向量,向量,且1)求的大小；(2)若,求的最小值解析】(1) ∵,∴, 1分∴由正弦定理得, 2分∴,∴, 4分又∵,∴,,∴； 6分(2)由余弦定理知,∴, 8分∴, 11分∴的最小值为,当且仅当时取最小值。
12分题型二 解三角形面积与周长问题2-1．（10分）已知、、分别为的内角、、的对边,1)若,求；(2)若,且,求的面积解析】(1)由正弦定理得,又,可得, 2分∴由余弦定理可得； 5分(2)由题意知,又∵,则,故, 7分又∵,则,∴ 10分2-2．（10分）设的内角、、所对的边分别为、、,且,1)求角；(2)若,求的周长解析】(1)在中,,,则两式相除得, 2分 又由正弦定理得,即,又,则； 4分(2)由(1)知,则,又,则, 5分又∵,∴,解得, 7分又∵, 9分∴,故的周长为 10分2-3．（10分）在中,内角、、所对边分别为、、,若,且。
1)求证：、、成等比数列；(2)若的面积是,求边的长解析】(1)在中,,则,则, 2分又∵,则,则, 4分又∵,,则、、成等比数列； 5分(2),则,由(1)知,则,, 8分 又∵,∴ 10分2-4．（12分）在中,、、分别是角、、的对边,的外接圆半径为,1)求角的大小；(2)求周长的取值范围解析】(1)已知,则由正弦定理得, 2分简化移项得, 4分又∵,∴,∴,又,则； 6分(2)由的外接圆半径,且,可知, 7分又,即,∴, 9分求解得(解不等式并结合三角形的三边关系), 11分则的周长,∴周长的取值范围是。
12分题型三 解三角形与三角函数综合3-1．（10分）在中,、、分别是角、、所对的边,已知,且1)求；(2)若,求的面积解析】(1)由及可得, 1分由正弦定理可得,则, 3分∴； 4分(2)由(1)及得,则, 6分∴, 8分又∵,则,∴的面积 10分3-2．（10分）在中,1)若,求的最大值；(2)若,,,为垂足,求的值解析】(1),∵,则, 2分 则,当时,有最大值； 4分(2)由余弦定理可知,故, 8分 又,则 10分3-3．（12分）已知向量,,1)求函数的最小正周期和对称中心；(2)若、、分别是内角、、所对的边,且,,,求解析】(1), 2分∴的最小正周期为, 3分令,,,, 4分则的对称中心为,； 5分(2)已知,则由正弦定理得,又∵,则,则,则, 8分又,则,,∴, 10分又,则。
12分3-4．（12分）在中,、、分别为内角、、的对边,且,已知,,,求：(1)和的值；(2)的值解析】(1)在中,,∵,,∴,即,∵, 2分∴由余弦定理得：, 3分即,∴,解得,； 5分(2)在中,, 6分由正弦定理得：, 8分∵,∴为锐角,∴, 10分则 12分3-5．（12分）在中,内角、、所对边分别为、、,且1)证明：；(2)若,且的面积为,求解析】(1)由正弦定理得：, 2分 展开并整理得,∴, 4分(2)∵,则, 6分由得,,∴, 8分又得,∴,∴, 10分由,解得。
12分3-6．（12分）在中,已知内角,边,设内角,周长为1)求函数的解析式和定义域；(2)求的最大值解析】(1)设、、为角、、所对的边,由题意得,,,, 2分∴()； 4分(2)∵, 7分又∵,∴当,即时,取得最大值 12分3-7．（12分）已知的面积为,且满足,设和的夹角为1)求的取值范围；(2)求函数的取值范围解析】(1)设、、为角、、所对的边,,由题意可得, 1分∵的面积为,∴,变形可得, 2分∴,由,可得, 3分解得,又∵,∴向量夹角的范围为； 5分(2)化简可得, 7分∵由(1)知,∴,∴, 10分∴,∴的取值范围为。
12分3-8．（12分）在中,、、分别是角、、所对的边,且满足1)求角的大小；(2)设,求的取值范围解析】(1)由正弦定理知,, 1分即, 3分在中,,,, 4分∴,即,又,∴,∴,即； 5分(2)依题意得, 6分∴, 9分∴,由(1)知,∴,, 11分即 12分知识改变命运8。