第18章 平行四边形一．选择题（共10小题）1．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AO＝OC，DO＝OB D．AB＝AD，CB＝CD2．如图，平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）A．28 B．12 C．13 D．173．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为（ ）A．2 B． C．3 D．44．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连结CE，若OC＝cm，CD＝4cm，则DE的长为（ ）A．cm B．5cm C．3cm D．2cm6．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形，其中正确的结论的个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如果四边形ABCD的两条对角线AC、BD相等，那么下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）A．∠ABC＝90° B．AC、BD互相平分 C．AC⊥BD D．AB∥CD8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（ ）A． B．2 C．2 D．9．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为（ ）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm10．如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，DB＝6，AD＝5，则菱形ABCD的面积为（ ）A．20 B．24 C．30 D．36二．填空题（共5小题）11．如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣3，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为 ．12．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且△AEF为正三角形，则△AEF的面积为 ．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正确的是 （填序号）14．如图，已知点E为矩形ABCD内的点，若EB＝EC，则EA ED（填“＞”、“＜”或“＝”）15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．当△ABC满足条件 时，四边形DBFE是菱形．三．解答题（共7小题）16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．18．如图，▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO．（1）求证：▱ABCD是矩形．（2）若AD＝3，∠COD＝60°，求▱ABCD的面积．19．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM＝DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．21．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）22．正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．（1）如图2，若点P段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF＝EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明） 参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2． C．3． D．4． A．5． C．6． C．7． B．8． A．9． C．10． B．二．填空题（共5小题）11．（3，﹣2）．12． 2﹣3．13．①②③⑤．14．＝．15．当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．三．解答题（共7小题）16．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO，在△DCO和△BAO中∴△DCO≌△BAO（ASA），∴DO＝BO，∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，又∵AO＝CO，∴AB2＝BC2，∴AB＝BC，∵AB＝10，∴BC＝AB＝10．17．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵O是AB的中点，∴AO＝BO，在△DAO和△CBO中∴△DAO≌△CBO（SSS），∴∠A＝∠B，∵∠A+∠B＝180°，∴∴∠A＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵△DAO≌△CBO，∠DOC＝60°，∴∠DOA＝∠COB＝（180°﹣∠DOC）＝60°，∵∠A＝90°，∴∠ADO＝30°，∵AD＝3，DO＝2AO，由勾股定理得：AO2+32＝（2AO）2，解得：AO＝，∴AB＝2AO＝2，∴▱ABCD的面积是AB×AD＝2＝6．19．猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF＝AC，证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．则∠EMG＝∠N，∠BMG＝∠BAD，∵∠MEG＝∠NED，ME＝NE，∴△MEG≌△NED，∴MG＝DN．∵BM＝DN，∴MG＝BM． 作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠GMB＝∠B＝∠GHB＝90°，∴四边形MBHG是矩形． ∵MG＝MB，∴四边形MBHG是正方形，∴MG＝GH＝BH＝MB，∠AMG＝∠CHG＝90°，∴AM＝CH，∴△AMG≌△CHG．∴GA＝GC．又∵DA＝DC，∴DG是线段AC的垂直平分线．∵∠ADC＝90°，DA＝DC，∴DF＝AC即线段DF垂直平分线段AC，且DF＝AC．20．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD＝．在Rt△ACE中，AE＝．21．解：（1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，∴BE＝BC，BD＝BA．又∵∠DBE＝60°﹣∠ABE，∠ABC＝60°﹣∠ABE，∴∠DBE＝∠ABC．在△BDE和△BCA中，∴△BDE≌△BCA．（2分）∴DE＝AC．∵在等边三角形ACF中，AC＝AF，∴DE＝AF．同理DA＝EF．∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）（2）当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）理由：∵∠DAF＝360°﹣∠DAB﹣∠BAC﹣∠CAF＝90°，∴▱ADEF是矩形．（3）当AB＝AC，四边形ADEF是菱形．（6分）理由：∵AB＝AC，∴AD＝AF，∴▱ADEF是菱形．（4）当∠BAC＝150°且AB＝AC，或∠ABC＝∠ACB＝15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）（5）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）22．解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，①∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠QAP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝PQ，∵AB＝QF，∴BQ＝PF，∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE＝90°，∵∠QBP+∠QPB＝90°，∴∠QBP＝∠FPE，∵∠BQP＝∠PFE＝90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP＝EF，∵AQ＝DF，∴DF＝EF；②如图2，过点P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF＝∠PAG＝45°，∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，∵四边形DFPG为矩形，∴PA＝PG，PC＝CF，∵PG＝DF，DF＝EF，∴PA＝EF，∴PC＝CF＝（CE+EF）＝CE+EF＝CE+PA，即PC、PA、CE满足关系为：PC＝CE+PA；（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC＝CE．如图3：①∵PB⊥PE，BC⊥CE，∴B、P、C、E四点共圆，∴∠PEC＝∠PBC，在△PBC和△PDC中有：BC＝DC（已知），∠PCB＝∠PCD＝45°（已证），PC边公共边，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴∠PBC＝∠PDC，∴∠PEC＝∠PDC，∵PF⊥DE，∴DF＝EF；②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，∴PA＝EF＝（CE+CF）＝CE+CF＝CE+PC即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC＝CE．。