外接球半径：1. 如上图，圆柱、直三棱柱AiBiCi-ABC、三棱锥Ai-ABC、四棱锥Ai-BiCiCB的外接球都是同一个球，外接球半径均为：其中：「为圆柱底面半径，h为圆柱的高同时，圆柱两底面分别为△ AiBiCi 和AABC的外接圆，由此可得出如下结论：(1)圆柱的外接球半径为：R =卫 + ( )2其中：「为圆柱底面半径，h为圆柱的高2)直三棱柱ABG-ABC的外接球半径为其中：「为三棱柱底面三角形外接圆半径，h为棱柱的高3）有一条棱与底面垂直的三棱锥Ai-ABC的外接球半径为：其中：「为棱锥底面三角形外接圆半径，h为与底面ABC垂直的棱AiA的 长度4）有一侧面与底垂直（侧面AiBiCi丄底面BiCiCB）且底面为矩形的棱锥Ai- BiCiCB的外接球半径为：hR =寸2 + ()2其中：「为棱锥中与底面垂直的侧面厶AiBiC外接圆的半径，11为与侧面AiBiCi垂直的矩形的边的长度注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即sin sin sin其中，r为三角形外接圆半径2. 正三棱锥：以棱长为a的正三棱锥外接球半径推导为例：对于棱长为 a的正三棱锥，其外接球如图：过A作A0】丄底面BCD 则0】为Z\BCD的外接 圆 圆心，DE为BC边中线、且三棱锥圆心0在A 0i上°在等边厶巳。
中，DE=“故DON =也在RtAAD 0】中，A 0日2・/ =因0为球心，故0D二0A二R由DOi2+OOi2=DO2 可得：弋3 76(7 )2+(7 .)2 =2解得:R=3. 正四棱锥：正四棱锥的外接球球心也在底面正方形对角线交点与顶点连 线上，同正三棱锥外接球球心半径推导过程可得：棱长为a的正四棱锥，其外接球半径为注：棱长为a的正四棱锥的高为边，故正四棱锥的外接球球心即为底面 正方形对角线交点4 •长方体：长方体外接球的球心为其体对角线的中点对于长宽高分别为a.b.c的长方体，其外接球半径为：2特别地：对于正方体，其长宽高均为a，故其外接球半径为R=^23注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立 方程组求解二、内切球半径1・正方体：正方体内切球球心位于其体对角线中点处，对于边长为a的正方体，其内切球半径R=22.正三棱锥：正三棱锥内切球球心到各面距离均为R （R为内切球半径），故以内切 球 球心为顶点，各面为底面将其分成4个三棱锥其中3个以侧面 为底的三棱锥体积相同，当棱长均为a时，分成的4个三棱锥体积均 相同）对于边长为a的正三棱锥，各面均为边长为a的正三角形，内 切球球心到各面距离均为R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：11 xSxRx4 = xxh33其中，S为正二棱锥各面面积，h为正二棱锥的高且心6-76R-123•正四棱锥：推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心 为顶点，各面为底面将正四棱锥分成4个体积相等的三棱锥和一个四 棱锥。
其中4个以侧面为底的三棱锥体积相同）侧面面积为 1 = 1 X 2 x sin 60° = 73 224底面面积为2 = 2故由体积不变得:111X 1 X X 4 + X 2 X = !3 X 2 X h 其中，h为正四棱锥的高，且h =、'2R=呼4. 直三棱柱：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中，h为直棱柱的高三角形内切圆半径求法如下：如图，设三角形三边长分别为a.b.c，其内切圆圆心为O，以O为顶点，3边为底边将其分成3个三角形，由于O点到三边 距离均为r 5故三个三角形的高均为r 由面积不变得：X ( + + ) X =22盘 =(++)其中，S为三角形面积5•圆柱：和直三棱柱类 其内切球半径R等于底面半径r，且仅有足高h=2r的圆柱有内切球。