第20讲 加法原理（一） 例1从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？分析与解：一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法例2旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？分析与解：根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄6种所以一共可以表示出不同的信号 3＋6=9（种） 以上两例利用的数学思想就是加法原理加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法 ……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法 乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。
例3两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数 因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）例4用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色问：共有多少种不同的染色方法？分析与解：本题与上一讲的例4表面上十分相似，但解法上却不相同因为上一讲例4中，区域A与其它区域都相邻，所以区域A与其它区域的颜色都不相同本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从区域A开始讨论，那么就要分区域A与区域E的颜色相同与不同两种情况 当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3种颜色可选根据乘法原理，此时不同的染色方法有 5×4×3×3＝180（种） 当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选根据乘法原理，此时不同的染色方法有 5×4×3×2×2＝240（种）。
再根据加法原理，不同的染色方法共有 180＋240=420（种）例5用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？分析与解：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1 连续五位是1，只有11111一种； 中任一个，所以有3＋3＝6（种）； 3×4＋4×3＋3×3＝33（种） 由加法原理，这样的五位数共有 1＋6＋33＝40（种） 在例5中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了若干种情况，其中使用的都是加法原理例6右图中每个小方格的边长都是1一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？分析与解：如果小虫爬行的总长是2，那么小虫从AB上出发，回到AB上，其不同路线有6条（见左下图）；小虫从与AB相邻的直线上出发，回到AB上，其不同路线有4条（见右下图） 实际上，小虫爬行的总长是3小虫爬行的第一步有四种情况： 向左，此时小虫还在AB上，由上面的分析，后两步有6条路线； 同理，向右也有6条路线； 向上，此时小虫在与AB相邻的直线上，由上面的分析，后两步有4条路线； 同理，向下也有4条路线。
根据加法原理，共有不同的爬行路线 6＋6＋4＋4＝20（条）。