圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离 ③夹角公式：直线 夹角为， 则（3）弦长公式直线上两点间的距离①② ③ （4）两条直线的位置关系（Ⅰ） ①=-1 ② （Ⅱ） ① ② 或者（）两平行线距离公式 距离 距离二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}.点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜ ｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程(>0)(a>0,b>0)参数方程(t为参数)范围─a£x£a，─b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0)准 线x=±准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1焦半径P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0P在右支时： P在左支时： |PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为假如双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.【备注2】抛物线：（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开口向上；抛物线=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离（3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角)，，(叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：由于c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为 中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为，由，得，∴，，，∴， ∴为所求．五、求椭圆的离心率问题。
例 已知椭圆的离心率，求的值． 解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)2．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．由于F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝，所以△ABF2的周长为4a＝4.3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面积．解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，运用条件求．解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得①－②得． ⑤将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论表达何种圆锥曲线，它们有何共同特性．分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．解：（1）当时，，，所给方程表达椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当时，，，所给方程表达双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3），，时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点，且焦点在坐标轴上．（2），通过点（－5，2），焦点在轴上．（3）与双曲线有相同焦点，且通过点解：（1）设双曲线方程为∵ 、两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线方程为说明：采用以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：（其中）∵双曲线通过点（－5，2），∴∴或（舍去）∴所求双曲线方程是说明：以上简朴易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：∵双曲线过点，∴∴或（舍）∴所求双曲线方程为说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应当注重的一个重要方面．三、求与双曲线有关的角度问题。
例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点在双曲线的左支上∴∴∴∵∴说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简朴化．（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．分析：运用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．∴,∵∴在中，∵∴∴∴说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．五、根据双曲线的定义求其标准方程例5 已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可运用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵，∴∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．例:是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．分析：运用双曲线的定义求解．解：在双曲线中，，，故．由是双曲线上一点，得．∴或．又，得．说明：本题容易忽视这一条件，而得犯错误的结论或． 六、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与⊙内切，且过点（2）与⊙和⊙都外切．（3）与⊙外切，且与⊙内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．假如相切的⊙、⊙的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆的半径为（1）∵⊙与⊙内切，点在⊙外∴，，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：，，∴双曲线方程为（2）∵⊙与⊙、⊙都外切∴，，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：，，∴所求的双曲线的方程为：（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切∴，，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：，，∴所求双曲线方程为：说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目的．w.w.w.k.s.5. 抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1） （2）分析：（1）先根据抛物线方程拟定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，拟定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．二、求直线与抛物线相结合的问题例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交运用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可运用“作差法”求k．解法一：设、，则由：可得：．∵直线与抛物线相交，且，则．∵AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．解法二：设、，则有．两式作差解：，即．，故或（舍去）．则所求直线方程为：．三、求直线中的参数问题例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．分析：（1）题可运用弦长公式求k，（2）题可运用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标．解：（1）由得：设直线与抛物线交于与两点．则有： ，即（2），底边长为，∴三角形高∵点P在x轴上，∴设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h，即或，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．四、与抛物线有关的最值问题例4 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则．设点的横坐标为，纵坐标为，，则．等式成立的条件是过点．当时，，故，，．所以，此时到轴的距离的最小值为．例 已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．分析：本题若建立目的函数来求的最小值是困难的，若巧妙地运用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知，故．取等号时，、、三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以点坐标为．。