4 两个重要的极限 0sinlim1xxx 一、二、1lim 1exxx )1(.cos1sin1xxx 不等式中的三个表达式均是偶函数不等式中的三个表达式均是偶函数,故当故当证证sintan0,2xxxx 因因为为所以所以命题命题1 1.1sinlim0 xxx0sinlim1xxx 一、0|12x 时时,()式式仍仍成成立立.0sinsinlimlim1.xtxtxt 解解 ,sinsinsin,txxtt 令令所以所以.1sinlim0 xxx即即，所以，所以因为因为1cos1lim1lim00 xxx,1sinlim0 xxx例例1 求求sinlim.xxx 例例2.arctanlim0 xxx求求.1coslimsinlimtanlimarctanlim0000 tttttxxtttx则则令令,tan,arctantxxt 解解.cos1lim20 xxx 求求例例3解解2202sin2limxxx.21 20cos1limxxx 2022sin21lim xxx注注:此结论可推广到此结论可推广到1)()(sinlim xxax 有有限限值值，也也可可为为可可为为，其其中中时时条条件件是是axax0)(,例例4xxx5sinlim0求xxx5sinlim0解：xxx55sin5lim0 xxx55sinlim500,0,5txtx有时当令5sinlim5,0ttt原式所以注：在上例中，应用公式时，我们使用了代注：在上例中，应用公式时，我们使用了代 换换 ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：在运算熟练后可不必代换，直接计算：xt5xxx5sinlim0555sinlim50 xxx例例5.求极限求极限:xxxxxxtanlim22sin3sinlim100、xxx2sin3sinlim10、解：xxxxxxx222sin333sinlim0 xxxxxx22sinlim233sinlim300231213xxxxxxxcossinlimtanlim200、xxxxcossinlim0 xxxxxcos1limsinlim00111例例6.求极限求极限:xxx3sinlimxxx3sinlim:解xxx33sinlim3)333sin(limxxxxx3 13 例例7 求求 30sintanlimxxxx 解解30sin(1 cos)limcosxxxxx原式 xxxxxxcos1cos1sinlim20211211例例8 求求xxx 2coslim2 解解xt 2 令令02tx时时则当则当 于是于是xxx 2coslim2 ttt)2cos(lim0 1sinlim0 ttt.e11lim xxx命题命题2e11lim xxx.e11lim xxx和和证证 我们只需证明：我们只需证明：;,2,1,1,111 nnxnnxfn设两个分段函数分别为设两个分段函数分别为:1lim 1exxx二、.,2,1,1,111 nnxnnxgn显然有显然有 .),1,11 xxgxxfx ,e111limlim nnxnxf ,e11limlim1 nnxnxg因为因为 2.e11lim xxx则则设设时时当当,0,0 yyxx所以由函数极限的迫敛性，得到所以由函数极限的迫敛性，得到.1111111yyxyyx 所以所以时，时，因为当因为当,yx.e11lim xxx这这就就证证明明了了 )3(.e1lim10 ttt注注1.0,1 txxt时时则则若若令令由此可得由此可得在实际应用中，公式在实际应用中，公式(2)(2)与与(3)(3)具有相同作用具有相同作用.e111111lim11lim1 yyxyyxx此结论可推广到此结论可推广到 exxax )(1)(1lim 有有限限值值，也也可可为为可可为为，其其中中时时条条件件是是axax0)(,注注2解解),3(由公式由公式 .e21lim21lim2221010 xxxxxx.111lim2nnnn 求求例例10解解 因为因为,111112nnnnn 1122211111 nnnnnnnnn.112122 nnnn例例9xxx10)21(lim 求求所以由归结原则，所以由归结原则，而而,01,e11lim2 nnnnn.e11lim122 nnnnn.e111lim2 nnnn再由迫敛性再由迫敛性,求得求得例例1111.)11(limxxx 求求解解1)11(lim xxx原式原式xxx )11(1lim.1e 一般地一般地kxxexk 1lim例例12 求求xxxx 11lim解一解一)121()121(lim221 xxxx原原式式2e 解二解二xxxxx)11()11(lim 原式原式21eee 例例13 求极限求极限 xxx)31(lim)1(xxx1)31(lim)2(0 xxx)31(lim)1(33)31(limxxx3exxx1)31(lim)2(0)3(31)3(1 lim0 xxx3)3(1lim31xxx3 e解：解：例例1434)211(limxxx求34)211(limxxx34)211()211(limxxxx322)211(lim)211(limxxxxx221ee解：解：例例15xxxx2)12(lim求2exxxx2)12(limxxx2)111(lim2)1(2)111(limxxx解：解：2)1(2)111()111(limxxxx221)111(lim)111(limxxxxx 练习练习2.求下列极限求下列极限:xxxxxxA)21(lim2)31(lim110、3331010)31(lim)31(limexxxxxx222)21(lim)21(limexxxxxx220001sinlim42tanlim33sin7sinlim221sinlim1xxCxxxxBxxAxxxx、37)37)(3sin3)(77sin(lim3sin7sinlim.200 xxxxxxxx2)2cos2)(22sin(lim2tanlim.300 xxxxxxx111sinlim1sinlim.42222xxxxxx21)212121sin(lim21sinlim.100 xxxxxxxxxxxxxxCxBxA)212(lim.7)311(lim.6)cos1(lim.514cos1221212)211(lim)212(lim.7exxxxxxx134314)311()311(lim)311(lim.6xxxxxxx34341eeexxxcos12)cos1(lim.5小结小结两个重要极限两个重要极限1sinlim0 xxxexxx )11(lim1)()(sinlim xxax 有有限限值值，也也可可为为可可为为，其其中中时时条条件件是是axax0)(,exxax )(1)(1lim 有有限限值值，也也可可为为可可为为，其其中中时时条条件件是是axax0)(,说明说明 1sinlim.10 xxx对公式00（1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋 势下是势下是“”型。
型2）公式中的）公式中的“”可以是趋向于零的代数式可以是趋向于零的代数式x（3）注意三角函数有关公式的应用注意三角函数有关公式的应用exxx)11(lim.2对公式（1）函数在自变量指定的变化趋势下是）函数在自变量指定的变化趋势下是“”型1（2）应用公式解题时，注意将底数写成）应用公式解题时，注意将底数写成1与一个无穷小量与一个无穷小量 的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数的代数和的形式，该无穷小量与指数互为倒数3）注意求极限过程中运用指数的运算法则注意求极限过程中运用指数的运算法则思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e作业作业:P58:1 (1)(10),2 (1)(6),3,4(1)(2).。