10—262009年第10期到两定点的距离之比为定值的点的轨迹200050上海市第三女子中学夏德凡+ /=+ y* 2 3当定比为+时，轨迹为圆C1：化简即得（卄鼎） + /=（去1 •问题提出我们知道，到定点和定直线的距离之比为定 值的点的轨迹为圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物 线），并具有丰富的几何性质和物理光学性质.那 么，到两定点尺、耳的距离之比为定值A（A > 0）的点的轨迹是什么？又具有什么性质呢？2•轨迹方程设= 2c（c > 0）,以线段尺兄的中 点为原点，所在直线为①轴建立直角坐 标系，则用（一c,O）、甩（c,O）,设动点P（x,y）,由 为直径的圆C.从极限意义上说，当入=1时,\pfx\ = \pf2\, Q】为线段E局的中点,Q2为无穷远点,F1E的 中垂线仍可理解为以线段Q1Q2为直径的圆C.总之，到两定点比、凡的距离之比为定值 A（A > 0）的点的轨迹是圆.4 .轨迹的性质结论1定比为入和f （入丰1）的两个轨迹 （圆）关于线段尺尺的中垂线对称.证明:如图2,当定比为入时，轨迹为圆C:G+掳+犷=j去j, 圆心C （一寄c,o）,半径心|告|；10-272009年第10期其圆心6 （占c,0）,半径T钱|；所以，圆G和圆6关于线段比虽的中垂线 对称.从而只需考虑入> 1的情形，研究其性质, 0 V入V 1时的结论对称得到.结论2当入>1时，随着入的增大，圆C的 圆心向恳靠近，圆半径逐渐减小；设1 V入］V入2,人、入2对应的轨迹为圆Cl、圆C2,则圆C2内含于圆Cl.证明：当入〉1时,ec = -|^£c= 音咅c 是入的减函数，且ZC > C.:営芳］=，C ］•是入的减函数. ~ A~ A 冷 c,0）,c =2入C1^A2设Ci=c 1 +2AiC7 12入2C6（-为 c© 因为1 V入1 V入2, jjjiHP Q |_ 2（入2-入 1）（入2 + 入】）C 则 |C1C2|- "7a2_j（A?-i） 52Ajc 2 入 2C1 1 \2 因为 QF】I = *tyc + c, id 1 +入2 |旳=严亍一 G 从而 \cf1\-\cf2\_ 2（入2「入1）（入1入2十l）c=（圧-1）（疋二 1）;由（入1 入2 + i） —〔入2 +入1）=（入2-1）（入 1 — 1） > 0,从设圆G与圆C交于P,则ICFJ . \CF2\ = QPF,即CP为圆G的切线，相应的GP为圆C 的切线，即圆G与圆C彼此正交.结论4当入> 1肘，设4刁为圆C中过尺 且垂直于尺卩2的弦，则冃4、KB是圆C的切 线，反之，过比作圆C的切线凤力、FiD则兄、而|CiC2|
2,则 圆Ci内含于圆2・结论3过定点牙、甩的圆G与圆C彼此 正交（交点处的切线垂直）.证明：不妨设 Or = A（A>1）（如图4.5）,|尸戶2|则圆c： G +寄C）+/=（去）•图6证明：由结论3中|CFi|. \CF2\ = \CA\2,可 知翳=騎'从而'△4丹与△尺CA相 似，所以AC丄FiA,即FM为切线，如图6.参考文献⑴常庚哲，伍润生.复数与几何［M］.北京: 科学出版社，2004年2月.［2］张泽湘.二次曲线［M］.上海：上海教育 岀版社，1981年2月.=入得 \/（z+c）2+y2 =入/丄一少+沪, 整理得,（1 一入2）* + （1 一入2）/ + 2c（l +入2）’ + （1-A2）c2=0.⑴当入=1时,方程化为e = 0,轨迹为2/轴 所在直线,即线段冃兄的中垂线；（2） 当0 1时，方程化为（x +苔善c） 芒気），表示以（芬斗，o）为圆 2入c心,r=^—y为半径的圆，分布在2/轴右侧.3 •轨迹矗几何解释⑴当入=1时,IPFJ = \pf2\｝点P的轨迹 是线段尺虽的中垂线；（2）当入丰1时,设PQ】、PQ2分别为纠昭 角平分线和外角平分线（如图1所示（A > 1））.由 J^ = A（A>O,A^1）,则0、Q2为 空占出活用_旧Qd _ IF&2I 、刚 竺巧阴一丽1 一丽T入则 PQi丄 亦.从而点P的轨迹是以线段Q02。