2022届高三数学第四次(5月)模拟试题 理(含解析)一、选择题（每小题5分，共60分）(每小题只有唯一 一个正确选项)1. 已知,,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得，.故选A.2. 为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为 （ ）A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限【答案】C【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.3. 某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是 （ ）A. 68 B. 72 C. 76 D. 80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是人．选B．4. 我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．【详解】设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．则=5，解得．∴a3==．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错. 6. 函数的图象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确.【详解】当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 从标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到卡片是奇数的情况下，第二次抽到卡片是偶数的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）=，P（AB）==，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）=，P（AB）==，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）===．故选：D．【点睛】本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝ ,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.8. 已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）A. 甲是军人，乙是工人，丙是农民B. 甲是农民，乙是军人，丙是工人C. 甲是农民，乙是工人，丙是军人D. 甲是工人，乙是农民，丙是军人【答案】A【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人.本题选择A选项.9. 某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【详解】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．10. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是 （ ）A. B. 是图象的一个对称中心C. D. 是图象的一条对称轴【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位，可得,的图象关于轴对称，所以,时可得，故，，不正确，故选C.11. 已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2,O为坐标原点，若，且双曲线C1,C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是 （ ）A. 32 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【详解】双曲线的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|==b，即有|OM|==a，由，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12. 已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. .【答案】A【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．令 ，则，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减．∴，∴，∴.故实数的取值范围是．选A．点睛：已知不等式恒成立求参数的取值范围时，若参数能分离，则一般采用分离参数的方法进行，将问题转化为或恒成立的形式，然后转化为求函数的最值的问题，即或，若函数的最值不存在，则用函数值域的端点值表示．二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知与的夹角为，且与垂直，则实数_________【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由向量垂直与数量积的关系列式求得λ值．【详解】由||=2，||=2，与的夹角为45°，得．∵λ﹣与垂直，∴（λ﹣）•=，∴λ=．故答案为：【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.14. 设实数满足约束条件则的最大值为______．【答案】【解析】试题分析：如图为约束条件的可行域，表示的是可行域的点到原点的斜率，故在点时取得最大值为．考点：线性规划15. 设，则二项式展开式中的第项的系数为__________．【答案】-24【解析】二项式展开式中的第项的系数为16. 已知数列的前项和为,且,,时,,则的通项公式___________．【答案】【解析】由得．又，，∴．又，∴，∴，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，∴，∴当时，，又满足上式，∴.答案：三、简答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，在圆内接四边形中， ， ， .求的大小； （2）求面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）在中，由余弦定理得，则，结合圆的内接四边形的性质可得.（2）法1：在中，由余弦定理得，结合均值不等式的结论有，则. .当且仅当，面积的最大值为.法2：由几何关系可知，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，此时上的高，据此可得面积的最大值为.试题解析：（1）在中，由余弦定理得 ，解得，注意到，可得.（2）法1：在中，由余弦定理得，即 ，∵，∴，即.∴ .当且仅当，△BCD为等腰三角形时等号成立，即面积的最大值为.法2：如图，当为弧中点时，上的高最大，此时是等腰三角形，易得，作上的高，在中，由，，得，可得 ，综上知，即面积的最大值为.18. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）； （Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给图数出的人数，再除以50就是概率；（Ⅱ）由图可知两人的指标，根据超几何分布写出分布列，，，并求数学期望；（Ⅲ）方差表示数据的离散程度，波动越大，方差越大，波动小，方差小.试题解析：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为012 故的期望.（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.【名师点睛】求分布列的三种方法：（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M段PD上．（1）求证：EF⊥平面PAC； （2）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：由平行四边形的性质可得，即，由面面垂直的性质得出平面，故，从而平面以为原点建立空间直角坐标系，设，，求出平面，平面的法向量以及的坐标，根据线面角相等列方程求解即可得到答案解析：(1）证明：在平行四边形中，因为，，所以．由分别为的中点，得， 所以． 因为侧面底面，且，所以底面．又因为底面，所以． 又因为，平面，平面，所以平面． （2）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，则， 所以，，，设，则，所以，，易得平面的法向量． 设平面的法向量为，由，，得 令， 得． 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，所以，即，所以 ，解得，或（舍）． 综上所得：点睛：本题主要考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角。
线面垂直的证明，往往利用线面垂直判定定理，解决有关线面角的问题，一般利用空间向量数量积进行处理比较方便，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角之间的关系列等量关系，求出比值20. 已知为椭圆的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:以 为直径的圆与直线恒相切.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析: （1）由题意知知，由此能求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，得.，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、直线与圆相切等知识点结合已知条件能证明当点在椭圆上运动时，以 为直径的圆与直线恒相切．试题解析：(1)设椭圆的方程为,由题意知解之得,故椭圆的方程为.(2)证明：设直线的方程为.则点坐标为中点的坐标为.由得.设点的坐标为，则..点坐标为,当时，点的坐标为,直线轴，点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切.当时，则直线的斜率.直线的方程为.点E到直线的距离.又因为.故以为直径的圆与直线相切.综上得，当点在椭圆上运动时，以为直径的圆与直径恒相切.【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查圆与直线相切的证明，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用，是一道难题。
21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2） 若函数有两个零点， ，且，证明： .【答案】（1）当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由函数的解析式了的， ，分类讨论有：当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；（2）由（1）知， ， ，且 ， 故， ，原问题等价于，结合单调性转化为即可，而， ，构造函数，令， ，结合导函数的性质可得，即，则结论得证.试题解析：（1）， ，当时， ，知在上是递减的；当时， ，知在上是递减的，在上递增的．（2）由（1）知， ， ，依题意，即，由得， ， ， ，由及得， ，即，欲证，只要，注意到在上是递减的，且，只要证明即可，由得，所以 ， ，令， ，则，知在上是递增的，于是，即，综上， ．22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求的值及直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．【答案】（1）见解析．（2）．【解析】【分析】（1）将， 代入上式并化简得，所以，又直线的普通方程为，将焦点代入得得，所以直线的普通方程为；（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为，所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将， 代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是， ，直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为． （2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．【点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23. 设函数.（I）当时，解不等式；（II）若的解集为， （， ），求证： .【答案】 (1) (2)见解析【解析】【分析】（I）当时，不等式化为，分类讨论，即可求解不等式的解集；（II）根据得或，根据题意里程方程组，求得，得到，再利用基本不等式，即可作出证明.【详解】（I）当时，不等式化为∵∴不等式的解集为（II）根据得 ∵的解集为故，所以，∵， ∴，当且仅当， 时取等号∴【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。