高数考研试题2一、 填空题（本题共6小题,每题4分,满分２４分. 把答案填在题中横线上)（１)设其导函数在x=0处持续，则的取值范畴是.【分析】 当0可直接按公式求导,当x＝０时规定用定义求导.【详解】 当时，有 显然当时，有，即其导函数在x=０处持续．【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形).（2）已知曲线与x轴相切,则可以通过a表达为 .【分析】 曲线在切点的斜率为0,即，由此可拟定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零,即可找到与a的关系.【详解】 由题设,在切点处有 ，有 又在此点y坐标为０,于是有 ,故 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同步切点还应满足曲线方程.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P．36第一大题第（３）小题．(3）设a>0，而D表达全平面，则= .【分析】 本题积分区域为全平面,但只有当时，被积函数才不为零,因此事实上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 = =【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.完全类似例题见《数学复习指南》Ｐ.191【例8．１6-1７】 .（４)设n维向量;Ｅ为ｎ阶单位矩阵，矩阵 , ，其中A的逆矩阵为B,则ａ= -１ ．【分析】 这里为n阶矩阵,而为数,直接通过进行计算并注意运用乘法的结合律即可．【详解】 由题设，有 = = ＝ ＝,于是有 ，即 ,解得 由于A<0 ,故a=-１.【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第(５)小题 .（5)设随机变量X 和Y的有关系数为0.9, 若，则Y与Ｚ的有关系数为 0.9 .【分析】 运用有关系数的计算公式即可.【详解】 由于 = =E(XＹ) – Ｅ(X)E(Y）＝ｃov(Ｘ,Y)，且于是有 cｏv(Y,Z）==【评注】 注意如下运算公式:,完全类似例题见《数学复习指南》Ｐ.475【例3．32】的【注】 .(6)设总体X服从参数为２的指数分布,为来自总体X的简朴随机样本，则当时，依概率收敛于 .【分析】 本题考察大数定律:一组互相独立且具有有限盼望与方差的随机变量,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学盼望的算术平均值: 【详解】 这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有 依概率收敛于【评注】 大数定律见《数学复习指南》P．48４ ．二、选择题（本题共6小题，每题4分,满分24分. 每题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)设f(x）为不恒等于零的奇函数,且存在,则函数(A） 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x＝０.(C) 在x=0处右极限不存在. （Ｄ） 有可去间断点x＝0. [ D ]【分析】 由题设,可推出f(0)=0 , 再运用在点x=０处的导数定义进行讨论即可．【详解】 显然x=0为g(x）的间断点,且由f（x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有 存在，故x=０为可去间断点.【评注1】 本题也可用反例排除，例如f（x)=ｘ, 则此时g(x）=可排除(Ａ）,（B),（C) 三项，故应选（D).【评注2】 若ｆ(x）在处持续,则. 本题事实上相称于考察此结论，详情可参见《考研数学大串讲》Ｐ.18的重要结论与公式.（2）设可微函数ｆ(x,y)在点获得极小值,则下列结论对的的是 (A） 在处的导数等于零. (B）在处的导数不小于零．(C) 在处的导数不不小于零. （Ｄ) 在处的导数不存在. [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数ｆ（x,ｙ）在点获得极小值，根据取极值的必要条件知,即在处的导数等于零, 故应选（A)．【评注1】 本题考察了偏导数的定义,在处的导数即；而在处的导数即【评注2】 本题也可用排除法分析,取,在(0,0）处可微且获得极小值,并且有，可排除(Ｂ），(C）,(D), 故对的选项为(A).(3)设,，,则下列命题对的的是(Ａ) 若条件收敛,则与都收敛.（B) 若绝对收敛,则与都收敛.（Ｃ) 若条件收敛,则与敛散性都不定.(Ｄ) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案．【详解】 若绝对收敛，即收敛,固然也有级数收敛，再根据,及收敛级数的运算性质知,与都收敛,故应选(B).【评注】 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.23第二大题第（3)小题.(4)设三阶矩阵，若Ａ的随着矩阵的秩为１,则必有（A) a=b或a＋２b=０. (B) ａ＝b或a+2b0．（C) aｂ且a+2b＝0． (Ｄ） ab且ａ＋2b0. ［ C ]【分析】 A的随着矩阵的秩为１, 阐明A的秩为2,由此可拟定ａ，b应满足的条件.【详解】 根据A与其随着矩阵Ａ*秩之间的关系知,秩(A)=２，故有 ,即有或ａ＝b．但当a=b时，显然秩（A), 故必有 ab且a+２ｂ=0. 应选(C)．【评注】 n(ｎ阶矩阵Ａ与其随着矩阵A＊的秩之间有下列关系: 完全类似例题见《数学复习指南》P.3２9【例3.31】．(5）设均为ｎ维向量，下列结论不对的的是（Ａ) 若对于任意一组不全为零的数，均有,则线性无关.(B) 若线性有关，则对于任意一组不全为零的数,均有(Ｃ) 线性无关的充足必要条件是此向量组的秩为ｓ.（D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. ［ B ]【分析】 本题波及到线性有关、线性无关概念的理解，以及线性有关、线性无关的等价体现形式. 应注意是寻找不对的的命题.【详解】（A）: 若对于任意一组不全为零的数,均有 ,则必线性无关,由于若线性有关，则存在一组不全为零的数,使得 ,矛盾. 可见(A）成立.（B）： 若线性有关,则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数,均有(Ｂ）不成立.(Ｃ) 线性无关,则此向量组的秩为s;反过来,若向量组的秩为s,则线性无关,因此(C)成立.(D） 线性无关,则其任一部分组线性无关，固然其中任意两个向量线性无关,可见(D）也成立.综上所述,应选(Ｂ).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得成立，则线性有关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数,均有，则线性无关. 在平时的学习过程中,应常常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.与本题完全类似例题见《数学复习指南》Ｐ.313【例3.4】.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:=｛掷第一次浮现正面｝,={掷第二次浮现正面｝，＝｛正、背面各浮现一次}，=｛正面浮现两次}，则事件（A） 互相独立. (B) 互相独立． (C) 两两独立． (D) 两两独立. [ Ｃ ]【分析】按照互相独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立,若成立，再检查与否互相独立.【详解】 由于,,，,且 ,，,，可见有,，,，.故两两独立但不互相独立;不两两独立更不互相独立，应选(C)．【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立. 本题考察两两独立与互相独立的差别,其要点可参见《数学复习指南》P.401 .三 、(本题满分8分)设 试补充定义f(1)使得f(ｘ)在上持续．【分析】 只需求出极限，然后定义f(1）为此极限值即可.【详解】 由于 = = ＝ = =由于f(x)在上持续,因此定义 ,使f(x)在上持续．【评注】 本题实质上是一求极限问题,但以这种形式体现出来，还考察了持续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x，转化为求的极限,可以合适简化.完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》P.数学三P.2４第三题.四 、(本题满分8分）设ｆ(ｕ，v)具有二阶持续偏导数,且满足,又,求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，,直接运用复合函数求偏导公式即可，注意运用【详解】 ,故 ,因此 =【评注】 本题考察半抽象复合函数求二阶偏导.完全类似例题《数学复习指南》P.171【例7.20,７.22】.五 、(本题满分8分）计算二重积分 其中积分区域D=【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应当运用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：,有 =令,则 .记 ，则 = = = ＝因此 ， 【评注】 本题属常规题型，明显地应当选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后,再通过换元与分步积分（均为最基本的规定）,即可得出成果，综合考察了二重积分、换元积分与分步积分等多种基本知识点.六、（本题满分9分）求幂级数的和函数ｆ(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1． 求出和函数后,再按一般措施求极值．【详解】 上式两边从0到ｘ积分，得 由f(0)＝1, 得 令，求得唯一驻点x＝０. 由于 ,可见f（ｘ）在x=０处获得极大值,且极大值为 f(０)=１.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最后拟定和函数.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P．285数学三模拟试题（五）第八题.七、(本题满分９分）设Ｆ(x)＝f(ｘ)ｇ(x), 其中函数f(x),ｇ（x)在内满足如下条件： ,，且f（０）＝０, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(ｘ)的体现式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应具有其导函数，提示应先对F(x）求导，并将其他部分转化为用F(x）表达,导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由 = = =(２-2F（x)，可见F(ｘ)所满足的一阶微分方程为（2) = =将F(０)＝f(0)g(0）=0代入上式，得 C＝－1.于是 【评注】 本题没有直接告知微分方程,规定先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本规定的范畴． 完全类似例题在文登数学辅导班上简介过，也可参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P．１7第三题．八、（本题满分8分）设函数f(x)在［0，3]上持续,在（0,３)内可导,且f(0）+f(1)＋f(2)＝3, f(３)＝1.试证必存在,使【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c，使得，然后在[c，3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)＝3等价于,问题转化为1介于f(x)的最值之间，最后用介值定理可以达到目的.【详解】 由于f(x)在[0，3]上持续,因此ｆ(x)在［0,２]上持续，且在［0,2]上必有最大值M和最小值ｍ，于是 , , .故由介值定理知,至少存在一点,使 由于ｆ（c)＝1=ｆ(3）， 且f(x)在［c,３]上持续,在(ｃ,3)内可导,因此由罗尔定理知,必存在,使【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形. 完全类似例题见《数学复习指南》P.128【例5.2】及P.13１的【解题提示】.九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组 其中试讨论和b满足何种关系时,(1) 方程组仅有零解；（2） 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一种基本解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相似,问题转化为系数矩阵行列式与否为零，而系数行列式的计算具有明显的特性：所有列相应元素相加后相等. 可先将所有列相应元素相加，然后提出公因式,再将第一行的（-1）倍加到其他各行，即可计算出行列式的值．【详解】 方程组的系数行列式 =(1) 当时且时，秩(Ａ)＝n,方程组仅有零解．(2) 当b=０ 时，原方程组的同解方程组为 由可知,不全为零. 不妨设，得原方程组的一种基本解系为，,当时，有,原方程组的系数矩阵可化为 (将第1行的-1倍加到其他各行，再从第2行到第n行同乘以倍）ﻩ （ﻩ将第n行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行) ﻩ由此得原方程组的同解方程组为 ,,.原方程组的一种基本解系为 【评注】 本题的难点在时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1（存在n-１阶子式不为零）,且显然为方程组的一种非零解，即可作为基本解系． 完全类似问题已考过，见数学三第九题.十、（本题满分13分)设二次型,中二次型的矩阵A的特性值之和为1，特性值之积为-12．(1) 求a,b的值;(2) 运用正交变换将二次型ｆ化为原则形，并写出所用的正交变换和相应的正交矩阵.【分析】 特性值之和为A的主对角线上元素之和，特性值之积为A的行列式,由此可求出ａ,b 的值;进一步求出A的特性值和特性向量,并将相似特性值的特性向量正交化(若有必要),然后将特性向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （１)二次型f的矩阵为 设A的特性值为由题设,有,解得 ａ=1,b= -2．(2） 由矩阵A的特性多项式 ,得A的特性值对于解齐次线性方程组,得其基本解系 ,对于,解齐次线性方程组，得基本解系 由于已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将单位化，由此得,，令矩阵，则Ｑ为正交矩阵. 在正交变换X＝QY下，有,且二次型的原则形为 【评注】 本题求a，b,也可先计算特性多项式，再运用根与系数的关系拟定：二次型f的矩阵A相应特性多项式为设A的特性值为,则由题设得，解得a=1,b=2． 第一步求参数见《数学复习指南》P．361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三Ｐ．47第九题．十一、（本题满分1３分）设随机变量Ｘ的概率密度为 Ｆ(x）是X的分布函数． 求随机变量Ｙ=Ｆ（X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可拟定Ｙ＝F(X） ,然后按定义求Y 的分布函数即可。
注意应先拟定Y＝F(X）的值域范畴,再对ｙ分段讨论.【详解】 易见，当ｘ<１时,F(x)＝0； 当x>8 时,Ｆ(ｘ)=１.对于，有 设Ｇ（y）是随机变量Ｙ=F(X）的分布函数． 显然，当时,G(y)=0;当时,G(y)=1. 对于，有 = =于是，Y=Ｆ（Ｘ)的分布函数为 【评注】 事实上，本题Ｘ为任意持续型随机变量均可,此时Y=F（X)仍服从均匀分布:当y＜0时，Ｇ(y)＝0;当 时,G(y)=１；当 0时, = =【评注】 本题是《数学复习指南》P.431【例２．2３】原题（事实上还是此题的特殊情形）．十二、（本题满分１３分)设随机变量X与Y独立，其中Ｘ的概率分布为 ,而Y的概率密度为ｆ（y)，求随机变量Ｕ=X+Y的概率密度g(u)．【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个也许的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．【详解】 设F(y）是Y的分布函数,则由全概率公式，知U＝Ｘ+Ｙ的分布函数为 = =.由于X和Y独立，可见 G(ｕ)= =由此，得Ｕ的概率密度 ＝【评注】 本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一种是持续型一种是离散型，规定用全概率公式进行计算，类似问题此前从未浮现过,具有一定的难度和综合性.。