恒成立”问题的分离参数解法参数讨论是高中数学教学的一个重点，难点同时也是高考试题的热点参数讨论的方法多种多 样，本人认为其中分离参数，因其具有思路清晰，有章可循，操作性强，易于掌握的特点，所以在解 答某些恒成立条件下参数取值范围问题时，不失为一种较好的方法一、曲线恒过定点的问题有关含有参数的曲线方程的恒成立问题是学生普遍感到困难的问题参数与主变元交错 在一起，目标不明确，将参数分离出来，可使问题明朗化例：已知2a - 3b二1证明：直线ax + by二5恒过定点1证明：由2a - 3b = 1得a = 2 (3b +1)代入直线方程后分离参数b得(x 一 10) + b(3x + 2y) = 0「x -10 二 0 「x 二 10由方程组｛ 解得\ •••方程(x —10) + b(3x + 2y)二0[3x + 2 y 二 0 [ y 二-15表示经过两直线x -10二0与3x + 2y二0的交点(10,-15)的直线系方程故直线ax + by二5在2a - 3b二1时，恒过定点(10,-15)例：已知动圆 C : x2 + y2 - 4ax + 2ay + 20a - 20 = 0, a e R 定圆 C : x2 + y2 = 412证明：不论a取任何实数值，动圆C恒过一个定点2证法一：x2 + y 2 - 4ax + 2ay + 20a - 20二 0 可化为 x2 + y 2 — 20 二-2ay + 4ax — 20a ①可以把①式左边看作圆的方程，其圆心为0，0)，半径为J20 ；右边看作直线。
根据点到直线的距离公式，圆心到直线距离d—20a|20| a|4a 2 + 16a 2殛|a「2°⑺丰0)易知，无论a为任何不为零的实数，圆和直线都相切(因为圆心到直线的距离为圆的半径)不妨设a二1，易求出圆和直线的切 点为(4, -2),而当a = 0时，原方程为x2 + y2 = 20也过(4, -2)所以，无论a取任何实数，动 圆C1恒过定点(4, -2).证法二：将圆C2中的a参数分离出来，得(x2 + y2 -20) + a(2y — 4x + 20) = 0 (☆)方程组x 2 + y 2 - 20 = 02 y - 4 x + 20 = 0有一解x 二 4 y = -2(☆)式表示直线2y -4x + 20二0与圆x2 + y2二20的交点(4, -2)的圆系方程.•••动圆C1无论a取任何实数值恒过定点(4,-2)显然：证明二利用分离参数法证明，往往比较简单而证法一的特殊方法证明较繁，运算量很大二、方程恒有解的问题分离参数法源于思想，化归思想，在含有参数的方程中，将参数视为主变元的函数，若通过适当 的恒等变形，使方程一端化成只含有参数的解析式 而另一端为与参数无关主变元的函数 函数关系就由“隐”转化为“显”。
我们只要能求出主变元函数的值域，则参数的取值范围便可以确 定了例：关于x的方程9x +(4 + a)-3x + 4 = 0恒有解，求实数a的取值范围.解法一：要使方程9x + (4 + a) -3x + 4 = 0恒有解，只要A = (4 + a)2 -16 > 0即a > 0或a < -8 ①—4 — a — (4 + a) 2 —16又•/ 3x > 0 方程的小根必须大于零，即： > 0即：—4 — a >a 2 + 8a 也就是 a < —8 ②由①②知 a < —8 时，方程恒有解4解法二：分离参数a，得：—(4 + a) — 3x + > 4, — — (4 + a) > 4 即 a < —83x当a < —8时，方程恒有解(x — log 2时，取“二”3此例充分体现了分离参数法的优越性，显然要比“判别式”法简捷，且不易出错例：已知方程ax2 + 2(2a — 1)x + 4a — 7 — 0中，a e N，问a取何值时方程至少有一整数根.解：原方程化为(x + 2)2a — 2x + 7 . x — —2不是原方程的根，x + 2丰02 x + 7a — > 1, •/ a e N 解得 一 3 < x < 1 且 x 工 一2(x + 2)27••• x取整数的值只有-3, -1, 0，1四个，对应的x的值为1，5，-和1..当a — 1或a — 5时，原方程至少有一整数根三、不等式恒成立问题 恒成立条件下不等式中的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，从题 目中如何提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅。
但是如果能将参数分离出来，建立起明确的关系，则由下述基本命题便能简捷地求出参数的取值范围•命题☆若x e p, f (x) < (或〈)c(c为常数),则g(a) > f (x)在x e p时,恒成立的充要条件是g(a) > (或 > ) c.4(a + 1) 2a (a + 1) 2例：设对所有实数，不等式x2 log + 2xlog + log > 0恒成立，求实数a的2 a 2 a + 1 2 4a 2取值范围.a + lc / - ~、弋 a +1 〜解：由题意知 > 0，原不等式变形为(x2 - 2x + 2)log >-3x22a 2 2aa +1 — 3x2•/ (X 2 — 2 X + 2)二(X — 1)2 +1 > 0 「.log > = f (x)2 2a x 2 — 2x + 2| i 3 x： 2•••f (x) < 0由命题☆知g(a) = log > f (x)= 恒成立的充要条件2 2a x 2 — 2 x + 2a +1 a +1且 log > 0 即 > 1 0 < a < 12 2a 2a当0 < a < 1时，原不等式对一切实数恒成立从以上例子可以看出用分离参数法解恒成立的问题，其方法步骤学生容易理解掌握，程序也不复 杂，通过恒等变形将参数分离出来之后，只要求出主变元函数值域的上限或下限(方程问题需要求出 值域)问题便迎刃而解了。
当然分离参数法不是解恒成立问题的唯一方法，亦非万能对具体问题要 具体分析，选用适当的方法。