答案：(1)匕1的邻补角有：匕AOF和匕BOE;(2)Z 1的邻补角有:ZAOD.练习2：找图中，匕1的邻补角二・知识点讲解:(一)、对顶角和邻补角的概念1.概念:在相交的两条直线得到的四个角中，(1)有公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角如图中的匕1和Z2,Z3和匕42)有一个公共顶点，还有一条公共边的两个角叫做邻补角如图中的匕1与Z3,Z2和Z4O邻补角也可以看成是：一条直线与端点在这条直线的一条射线组成的两个角指出：邻补角是两个角互补的特殊关系，如下图2.练习:练习1：辨别图形：下图中两角是对顶角吗?答案：都不是对顶角练习3：判断：两直线相交，对顶角相等答案：正确3. 证明猜想，形成定理：已知：如图，直线AB与直线CD相交于O点.求证：匕1=匕3,匕2二匕4.证明：因为匕1+^2=180°,（邻补角定义）Z3+Z2=180°,（邻补角定义） 所以Z1=Z3.（同角的补角相等）同理：匕2=匕4.因此，我们可以得到：对顶角的性质是“对顶角相等”.角的名称特征性质相同点不同点对顶角① 两条直线相交而成的角② 有一个公共顶点③ 没有公共边对顶角相等都是两条直线相交而 成的角，都有一个公共 顶点，它们都成对出 现。
对顶角没有公共边， 而邻补角有一条公共 边，两条直线相交时， 一个角的对顶角有一 个，一个角的邻补角 有两个邻补角① 两条直线相交而成的角② 有一个公共顶点③ 有一条公共边邻补角互补4. 例题：例.如图，（1）已知直线AB, CD相交于点0,（2）已知直线AE，BD相交于点C.图中哪些角是邻补角？哪些角是对顶角?答：（1）邻补角是ZDOA与匕AOC’NAOE与匕EOB’NBOC与匕COA’NCOE与匕DOE,/DOA 与/DOB,/DOB 与/BOC；对顶角是/AOD 与/COB./AOC 与/DOB2）邻补角是/ACB 与/ACD,/ECD 与/DCA,/DCE 与/ECB,/ECB 与/ACB； 对顶角是/ACB与/DCE,/BCE与/ACD.（二）、垂直1. 垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫做垂足2. 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直1） “过一点”有几种情况？ （2） “有且只有”什么意思？答案：（1）此点在直线上或直线外；（2）存在性和唯一性3. 练习：过点P分别向角的两边作垂线。
答案：略（三）、同位角、内错角、同旁角的概念1.概念：角的名称位置特征基本图形图形结构特征同位角在两条被截直线同旁，在 截线同侧去掉多余的线体现基本图形 v-形如字母“ F”（或倒“F” 形）内错角在两条被截直线之内，在截线两侧（交错）去掉多余的线体现基本图形形如字母“Z”（或反置）同旁内角在两条被截直线之内，在 截线同侧去掉多余的线体现基本图形形如字母“U”2. 练习：练习1、如图1,找出右图中所有的同位角、内错角、同旁内角答案：（1）同位角：匕1与Z6,Z2与Z5,Z3与匕6,匕4与匕7；内错角：匕1与Z6,Z4与匕5； 同旁内角：匕1与Z5,Z4与匕6.（2）同位角：匕1与Z3,Z2与匕4；内错角：无；同旁内角：匕2与匕3.练习2、如图2,直线a、b被直线c所截的角中，找出同位角、内错角、同旁内角答案：（1）同位角：匕1与Z5,Z2与Z6,Z3与匕8,匕4与匕7；内错角：匕2与匕8,匕4与匕5；同旁内角：匕2与匕5,匕4与匕8.（四）直线平行的条件1. 三线八角：先结合生产实践中工匠师傅们的经验做法，探求其理论实质，在下列图示中辨认'三线 八角’：2. 直线的平行(重点知识讲解)：(1) 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.若两条直线a, b互相平行，记作a〃b.强调两条直线不重合。
2) 平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行(如图1).平行公理推论：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行.(简单 说成：平行于同一直线的两直线平行)(如图2)即：如图3,若a〃c, b〃c,则则a〃b.已知：若a〃c, b〃c,求证：a〃b.证明：假设直线a与直线b不平行，那么直线a与b相交，设交点为M.因为a〃c，b〃c，所以点M在直线c外，这样过点M有两条直线a，b与直线c 平行，与平行公理矛盾.所以，假设直线a与直线b不平行错误，因此只有a〃b.(3) 平行线的判定：直接根据平行线的定义来判断两条直线是否平行是非常困难的一件事.人们在实践中总 结、归纳、证明出利用角的关系来判断两条直线是否平行.(i) 同位角相等，两直线平行；(公理)(ii) 内错角相等，两直线平行；(iii) 同旁内角互补，两直线平行.(iv) 平行于同一条直线的两条直线互相平行.(v) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.证明如下：已知：如图，在同一平面内，CDXAB于D点，EFXAB于F点，求证：CD〃EF.证明：.「CDXAB于D点，EFXAB于F点(已知)，・.・ZCDB=ZEFB=90° (垂线定义).又•「CD、EF在同一平面内，・•・CD〃EF (同位角相等，两直线平行).注意：(1)平行线的性质定理与平行线的判定定理是互为逆命题的关系.即命题的题设 与结论对调.(2)平行线的判定定理是平行线作图的理论依据.例如：过直线外一点P作直(4) 平行线的性质(i) 由平行线的定义可知：若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共 点.(ii) 平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(iii) 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等、内错角相等、同旁内角互 补.即：① 两条直线平行，同位角相等；② 两条直线平行，内错角相等；③ 两条直线平行，同旁内角互补.(iv) 如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直.证明 如下：已知：如图，AB〃CD，直线MNXAB于E点，交CD于F点.求证：直线MNXCD.证明：(欲证MN±CD于F，只要证ZMFD=90° )•「AB〃CD・.・ ZMFD=ZMEB.又•「MN±AB 于 E，・.・ ZMEB=90°.・.・ ZMFD=90°.・.・ MN±CD.(v) 平行线间的平行线段相等(如图①).(vi) 平行线间的距离处处相等(如图②).(如图所示，请同学们自证)图① 图②3. 命题：要求在学过一些命题(包括数与代数的以及空间与图形的)的基础上，了解命题的概念 以及命题的构成(如果……那么……的形式)，知道一个命题可能是正确的，也可能是错误的， 不宜在这里过多要求.4. 例题：1) .下列命题正确的是()A. 内错角相等B. 相等的角是对顶角C. 三条直线相交，必产生同位角、内错角、同旁内角D. 同位角相等，两直线平行2) .两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线()A. 互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.相交3) .如图，已知Z1=ZB,Z2=ZC,则下列结论不成立的是()A. AD〃BC B.ZB=ZCC.Z2+ZB=180° D. AB〃CD4) .如图，若AB〃CD，则ZA.ZE.ZD之间的关系是()DA.ZA+ZE+ZD=180° B.ZA-ZE+ZD=180°C.ZA+ZE -ZD=180° D.ZA+ZE+ZD=270°5) .如图 a，Z1=82°，Z2=98°，Z3=80°，则匕4 的度数为6) .如图b，AD〃BC，AC与BD相交于0，则图中相等的角有 对.7) .如图 c，已知 AB#CD，Z1=100°，Z2=120°，则匕a=.答案：1). D 2). B 3). B 4). C 5). 80° 6). 4 7). 40°5. 平移：教学目标：通过具体实例认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质，能按照要求作 出简单平面图形平移后的图形，能用平移进行简单的图案设计，认识和欣赏平移在现实生活 中的应用三.典型例题解析：1.已知：如图，AB〃DC, （1）若 AD〃BC，求证：匕A=ZC； （2）若匕A=ZC, 求证：AD〃BC.证明：（1） •「AB〃DC（已知），・.・ZA+ZD=180° （两直线平行，同旁内角互补）.即 ZA=180° -ZD.①•「AD〃BC，（已知）・.・ZC+ZD=180°.（两直线平行，同旁内角互补）即 ZC=180° -ZD.②由①，②，..・ZA=ZC.（2） •「AB〃DC （已知），・.・ZA+ZD=180° （两直线平行，同旁内角互补）.又ZC=ZA（已知），・.・ ZC+ZD=180°，•「ZC+ZD=180°，・.・AD〃BC （同旁内角互补，两直线平行）.2.已知：如图，CD〃EF，Z1=65°，Z2=35°，求Z3 与Z4 的度数.分析：Z3=180° -Z2-ZENA，而在 CD〃EF 的条件下，Z ENA=Z1，Z4=180° -Z MNF=180° -Z3.解：.「CD〃EF（已知），・•・ZENA=Z1=65°.（两直线平行，同位角相等）Z3=180° -Z2-ZENA（平角定义）=180° -35° -65°=80°，即 Z3=80°.CD〃EF（已知），・.・Z4+ZMNF=180° （两直线平行，同旁内角互补）.... £4=180° -ZMNF=180° -Z3（对顶角相等）=180° -80° =100°.即 £4=100°.综上，£3=80°,£4=100°C3.已知：如图，AB〃CD，则图中咨、胃、'三个角之间的数量关系为（）.A、R理+舛/=1呵B、C、D、 -件知解：过E点作EF〃AB.•「AB〃CD,・•・EF〃CD （平行于同一条直线的两直线平行）.•「EF〃CD,・.£FED=£D（两直线平行，内错角相等）•「AB〃EF,...£A+£AEF=180° （两直线平行，同旁内角互补）^+C/5-y） = isoD 日疽+ #” = 1罚。
即」答：选C.小结：为了便于找到角与角之间的相等关系，作平行线是今后学习和解决问题时，常用 的辅助线.4. 已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，且£EMB=£CNF，试确定直线AB 与CD的位置关系，并说明你的理由.解：AB〃CD.理由如下:•「£AMN=£EMB，£MND=£CNF （对顶角相等），£EMB=£CNF（己知），・..£AMN=£MND （等量代换）.•「£AMN=£MND，・.・AB〃CD （内错角相等，两直线平行）.5. 在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等 于180°，现在学习了平行线性质以后，你能说出这是为什么吗？已知：三角形ABC,求证：匕A+ZB+ZC=180°.分析：设法将ZA.ZB.ZC拼成一个平角.证明：过A点作EF〃BC.则ZEAB=ZB,ZFAC=ZC (两直线平行，内错角相等)..「ZB+ZBAC+ZC=ZEAB+ZBAC+ZCAF=180° (平角定义)，・.・ ZA+ZB+ZC=180°.引申：三角形的一个外角是不相邻的两个内角和6. 判断题(1) . 一条直线可以看成一个平角，一条射线可以看成一个周角)(2) .若几个角的和等于90°，那么这几个角互为余角。
)(3) .过直线外一点作这条直线的垂线和斜线，垂线最短)(4) .如果对顶角互补，那么构成对顶角的两条直线互相垂直)(5) .与同一条直线相交的两条直线相交)(6) .过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)答案：只有(4)，(6)两题正确©7. 选择题(1) .若就、#为锐角，则*+尸满足()A. B.r "外殖 n如、◎+八I*C. D.(2) .如图，直线a与直线b互相平行，则|x-y|的值是()A. 20B. 80 C. 120D. 180(3) .如图，AB〃CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，匕BEF的平分线交CD于 点 G，若ZEFG=72°，则ZEGF等于()A. 36°B. 54°(4) .探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示 是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于D点的灯泡 发出的两束光线OB、OC经灯碗反射以后平行射 出.如果图中」幽2，XDtO二位，则匕boc的度数为()3d 河+(5 .(5) .如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48° .甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西)度.A. 48°B. 42°C.(6) .如图6,若AB〃CD，则图中相等的内错角是()D圈6A.Z 1 与Z5,Z2 与匕6C.Z2 与Z6,Z3 与匕7B.D.匕3与Z7,Z4与匕8匕1与Z5,Z4与匕8(7) .下列命题真命题是()B.相等的两个角是对顶角D.同角或等角的补角相等A.互补的两个角不相等C.有公共顶点的两个角是对顶角(8) .下列命题中属于定义的是()A. 两点确定一条直线B. 两直线平行，内错角相等C. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度D. 同角或等角的余角相等答案：(1). B； (2). A (3). B (4). B (5). A (6). C (7). D (8). C8. 如图，AB#CD，且 EF 分别交 AB、CD 于 M、N,ZEMB=50°, MG 平分ZBMF, MG交CD于G.求匕1的度数.解：.「ZEMB=50°,・.・ ZBMF=130°.又•「MG 平分ZBMF,A 2 而 AB〃CD,.・. Z1=ZBMG=65°暑期练习一相交线与平行线撰稿：董萍 审稿：郭伦 责编：赵炜【基础知识】（一）、相交线1、对顶角、邻补角1） .对顶角定义：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这 两个角叫做对顶角。
注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长（3）两条相交线形成2对对顶角2） .对顶角的性质：对顶角相等3） .邻补角定义：如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构 成一个角，此时就说这两个角互为邻补角2、垂线1）.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条 直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足如图1所示，直线AB与CD互相垂直，垂足为点0,则记作ABXCD于点0其中“上”是“垂直”的记号；*二刀是图形中“垂直”（直角）的标记注意：垂线的定义有以下两层含义：（1）VAB±CD （已知） （2）VZ1 = 90°（已知）AZ1 = 90° （垂线的定义） AABXCD （垂线的定义）2）.垂线的性质（1） 性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直 线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2） 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短垂线段最 短）3） .点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
/ "阳 逐A B C D 7p图2 图3如图2所示，m的垂线段PB的长度叫做点P到直线m的距离4）.垂线的画法（工具：三角板或量角器）3、三线八角两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”如图3所示，直线AB、CD 被直线EF所截，形成八个角1. 同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的 一对角叫做同位角2. 内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对 角叫做同位角3. 同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的 对角叫做同旁内角二）、平行线1. 平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线注意：（1） 在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；（2） 必须是两条直线；（3） 同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一 条直线两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数 槛进行分类的名称公共点个数梆在同一个平面内重合直线m>2相交直线洒=1平行直线也二0不在同一个平面内异面直线也二02. 平行线的表示方法◎ D图7平行用“〃”表示，如图7所示，直线AB与直线CD平行，记作AB〃CD,读作AB平行 于CD。
3. 平行线的画法4. 平行线的基本性质(1) 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行2) 平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行5. 平行线的判定方法：(1) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行2) 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行3) 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行4) 两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行5) 在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行6. 平行线的性质：(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简记：两直线平行，同位角相等2) 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简记：两直线平行，内错角相等3) 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简记：两直线平行，同旁内角互 补三) 、平移1、平移不改变图形的形状、大小，只改变位置2、平移的决定因素:① 平移的方向② 平移的距离B1B B13、 平移的性质1) 平移后的图形与原来的图形中的对应线段平行(或在同一直线上)且相等；如上图，AB〃A‘ Bz或BC与B C'在同一直线上2) 平移后的图形与原来的图形中的对应角相等；如上图，匕ABC=NA‘ B‘ C'3) 连结各组平移后的图形与原来的图形的对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等;如上图，AA'〃BB‘或BB'与C C在同一直线上4、 平移的作图(四)、命题1、 命题——判断一件事情的语句注意：以下两种情况不是命题①疑问的②要求作图的2、 命题可写成：“如果 那么 "的形式3、 命题分为真命题和假命题。
例题分析】在本章中，角平分线的定义及其性质，平行线的性质与判定，利用“垂线段最短”解决 实际问题是重点1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由1) 过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；(2) 从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；(3) 两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；(4) 两条直线的位置关系要么相交，要么平行分析】：本题考查学生对基本概念的理解是否清晰1)、(2)都是对点到直线的 距离的描述，由“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可判断(1)、 (2)都是错的；由对顶角相等且互补易知，这两个角都是90°，故(3)正确；同一平面 内，两条直线的位置关系是相交或平行，必须强调“在同一平面内”解答】：(1) 这种说法是错误的因为垂线是直线，它的长度不能度量，应改为“垂线段的长 度叫做点到直线的距离”2) 这种说法是错误的因为“点到直线的距离”不是指点到直线的垂线段的本身， 而是指垂线段的长度3) 这种说法是正确的4) 这种说法是错误的因为只有在同一平面内，两条直线的位置关系才是相交或平 行。
如果没有“在同一平面内”这个前提，两条直线还可能是异面直线说明】：此题目的是让学生抓住相交线平行线这部分概念的本质，弄清易混概念2、如图，AB〃CD,直线EF分别交AB, CD于E, F两点，匕BEF的平分线交CD于 点 G,若ZEFG=72°，则 ZEGF 等于（ ）A. 36° B.54° C.72° D.108°【分析】：要求ZEGF的大小，由于AB〃CD，则有ZBEF+ZEFG=180°, ZEGF=ZBEG, 而EG平分ZBEF，ZEFG=72°，所以可以求得ZEGF=54°.【解答】：因为 AB〃CD，所以ZBEF+ZEFG=180°，ZEGF=ZBEG，又因为 EG平分ZBEF，ZEFG=72°，所以ZBEG=ZFEG=54° .故应选 B.说明：求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对 顶角、角平分线等知识就能获解.3. 如图，已知AB〃CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问:ZHOP、ZAGF、ZHPO有怎样的关系？用式子表示并证明【解答】：ZHOP=ZAGF—ZHPO过O作CD的平行线MN，因为AB〃CD，且CD〃MN，所以AB〃MN，所以ZAGF= ZMOF=ZHON，因为 CD〃MN，ZHPO=ZPON，所以ZHOP=ZHON—ZPON=ZHON—ZHPO，所以 ZHOP=ZAGF—ZHPO4.如图，已知 AB〃CD，Z1 = 110°Z2 = 125°，求Zx的大小AB【分析】：Zx+ZAEC=180°，要求Zx,需求ZAEC.观察图形，Z1、Z2、ZAEC 没有直接联系，由已知AB〃CD，可以联想到平行线的性质，所以添加EF〃AB，则Z1、Z2、 Z3、Z4、Zx之间的关于就比较明显了【解答】：过E点作EF〃AB•.・Z1 + Z3 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）...Z3 = 180°—Z1=180°-110°= 70°•「AB〃CD （已知），AB〃EF （作图）••・CD〃EF （两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也平行）•.・Z4+Z2=180°（两直线平行，同旁内角互补）...Z4=180°—Z2=180°—125°= 55°...Zx=180—Z3 — Z4=180°—70°—55°= 55°©5. 小张从家（图中A处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中B处），再 从学校出发，向北偏西75。
的方向走到小明家（图中C处），试问ZABC为多少度？说明你 的理由分析】：方向角与平行线结合关键根据题意画准方位，又正东、正南、正西、正北 方向是不变的，对于不同的两点，正北方向所在直线是平行的解答】：•「AE〃BD （已知）•.・ZBAE=ZDBA （两直线平行，内错角相等）•「ZBAE=40° （已知）...ZABD=40等量代换）VZCBD=ZABC+ZABD （已知）...ZABC=ZCBD—ZABD （等式性质）,?ZABD=40° （已 知）.\ZABC=75°-40° =356. 如图，匕ADC=ZABC, Z1 + Z2=180°, AD为匕FDB的平分线，说明：BC为 ZDBE的平分线分析】：从图形上看，AE应与CF平行，AD应与BC平行，不妨假设它们都平行，这 时欲证BC为匕DBE的平分线，只须证Z3=Z4，而Z3=ZC=Z6，Z4=Z5，由AD为匕FDB 的平分线知Z5=Z6，这样问题就转化为证AE〃CF，且AD〃BC7,由已知条件Z1 + Z2=180° 不难证明AE〃CF，利用它的平行及ZADC=ZABC的条件，不难推证AD〃BC证明】：VZ1 + Z2=180° （已知）Z2+Z7=180°（补角定义）AZ1=Z7 （同角的补角相等）•.・AE〃CF （同位角相等，两直线平行）AZABC+ZC=180°（两直线平行，同旁内角互补） 又ZADC=ZABC （已知），CF〃AB （已证） AZADC+ZC=180°（等量代换） •.・AD〃BC （同旁内角互补，两直线平行）AZ6=ZC， Z4=Z5 （两直线平行，同位角相等，内错角相等）又Z3=ZC （两直线平行，内错角相等）• Z3=Z6 （等量代换）又AD为匕BDF的平分线• Z5=Z6• Z3=Z4 （等量代换）• BC为匕DBE的平分线7. 如图，DE，BE分别为匕BDC， ZDBA的平分线，匕DEB=Z1 + Z2（1） 说明：AB〃CD（2） 说明：匕DEB=90°【分析】：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证zCDB与匕ABD互补 比较困难，而Z1 + Z2=ZDEB，若以E为顶点，DE为一边，在ZDEB内部作ZDEF=Z2，再 由DE，EB分别为匕CDB， ZDBA的平分线，就不难证明AB#CDj，（2）由（1）证得AB 〃CD后，由同旁内角互补，易证Z1 + Z2=90。
进而证得ZDEB=90°n【证明】：（1）以E为顶点，ED为一边用量角器和直尺在ZDEB的内部作ZDEF=Z2.「DE为匕BDC的平分线（已知）AZ2=ZEDC （角平分线定义）.\ZFED=ZEDC （等量代换）•.・EF〃DC （内错角相等，两直线平行）VZDEB=Z1 + Z2 （已知）VZFEB=Z1 （等量代换），匕EBA=ZEBF=Z1 （角平分线定义）.\ZFEB=ZEBA （等量代换）•.・FE〃BA（内错角相等，两直线平行）又 EF〃DC••・BA〃DC （平行的传递性）（2）「AB〃DC （已证）AZBDC+ZDBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）又匕1=丁 ZDBA，Z2^ ZBDC （角平分线定义）AZ1 + Z2=90°又 Z1 + Z2=ZDEB.\ZDEB=90°【跟踪练习】一、选择题1. 下列说法中错误的个数是（）（1） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行2） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3） 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种4） 不相交的两条直线叫做平行线5） 有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 下列所示的四个图形中，°和^2是同位角的是（）A.②③ B.①②③ C.①②④ D.①④3. 如右图所示，点五在』［的延长线上，下列条件中能判断AB"'。
C EA. A" b. 4 二圣C. 5二空E D. D十以的二18T4. 一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的 角度可能是（）A. 第一次向左拐3b，第二次向右拐30"B. 第一次向右拐1°，第二次向左拐13°C. 第一次向右拐贝，第二次向右拐13°D. 第一次向左拐跄，第二次向左拐13"5. 两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确的是（）A.同位角相等，但内错角不相等 B.同位角不相等，但同旁内角互补C.内错角相等，且同旁内角不互补 D.同位角相等，且同旁内角互补6. 下列说法中，正确的是（）A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变C. 相等的角是对顶角D. 直角都是对顶角，所以相等7. 如图，AB〃CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分ZBEF.若匕1=72°， 则匕2的度数为（）A. 36° B. 54° C. 45° D. 68°第7题 第9题 第11题8. 已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件 的直线L的条数为（）A. 1B.2 C. 3 D. 49. 如图，AB±EF, CD±EF,Z1=ZF=45°，那么与ZFCD 相等的角有（）A. 1 个 B. 2 个 C.3 个D. 4个10. 若NA和ZB的两边分别平行，且NA比ZB的2倍少30°,则ZB的度数为（）A. 30° B. 70° C. 30° 或 70° D. 100°二、填空题11. 如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB〃DC）.如果NC=60°, 那么/B的度数是.12. 已知，如图，N1=NABC=NADC，N3=N5，N2=N4，NABC+NBCD=180°.将下列 推理过程补充完整：（1） ・「N1=NABC （已知），.•.AD〃 （2） ・「N3=N5 （已知），.•.AB〃,（）（3） ：NABC+NBCD=180° （已知），...〃,（）13. 把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……。
的形式 .14. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a〃b，a±c，那么b±c；②如果b〃a，c〃a，那么b〃c；③如果b±a，c±a，那么b±c； ④如果b±a，c±a，那么b〃c.其中真命题的是第15题 第16题15. 如图，直线匕〃匕，AB±L1，垂足为0，BC与匕相交于点E，若N1=43°，则N 2=.16. 如图，NABD= NCBD，DF 〃AB，DE 〃BC，则N1 与N2 的大小关系是三、解答题17. 如图，AB〃A，Bz, BC〃B，Cz, BC 交 A' B，于点 D,ZB 与ZB，有什么关系？ 为什么？18. 如图，已知：ZBAP与ZAPD互补，Z1=Z2,说明：ZE=ZF19. 如图，AB〃CD,Z1：Z2：Z3=1： 2： 3,说明 BA 平分ZEBF 的道理20. 如图，CDXAB于D,点F是BC上任意一点，FEXAB于E,且Z1=Z2, Z3=80°.求 ZBCA的度数.21.如图，Z1 + Z3=180°, CD±AD, CM 平分ZDCE，求Z4 的度数匕4十^甘二1%七Z^=2Z5-30°【答案】：1. C； 2. C； 3. B； 4. A； 5. D；6. B；7. B 点拨:VAB#CD,Z1=72°, .\ZBEF=180° -Z1=108°. •「ED 平分ZBEF,AZBED^ ZBEF=54°.•..AB〃CD,..・Z2=ZBED=54° .故选 B.8. C点拨：如答图，L1，匕两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，匕这种情况容易被忽略.9. D 点拨：ZFCD=ZF=ZA=Z1=ZABG=45°.故选D.ZA = ZB,10.C点拨：由题意，知〔4 = 2匕5-刘。
或一 解之得ZB=30或70° .故选C.11. 120°12. (1) BC；同位角相等，两直线平行(2) CD；内错角相等，两直线平行(3) AB； CD；同旁内角互补，两直线平行13. 如果几个角是等角的余角，那么这几个角相等14. ①②④15. 133点拨：如图，延长AB交L2于点F.•..L]〃L2，AB±L1，AZBFE=90°....ZFBE=90° -Z1=90° -43° =47...Z2=180° -ZFBE=133°.16. Z1=Z217. 解：相等理由•「AB〃A' B'，BC〃B‘ C'， ...ZB=ZA‘ DC，ZA' DC=ZB'，AZB=ZBZ.18. 因为ZBAP与匕APD互补，所以AB〃CD，所以ZBAP=ZCPA，又因为匕1=匕2,所以ZBAP-Z1=ZCPA-Z2,即匕EAP=ZFPA，所以 EA〃PF，所以ZE=ZF19. 解：设Z1>Z2.Z3 分别为 x°、2x°、3x°.•「AB〃CD...•由同旁内角互补，得2x+3x=180,解得x=36.AZ1=36°，Z2=72°.VZEBG=180°，.\ZEBA=180° - （Z1+Z2） =72°.AZ2=ZEBA.ABA 平分ZEBF.20. 解：CD±AB，FELAB，..・CD〃EF，...Z2=ZFCD.VZ1=Z2，AZ1=ZFCD.•.・DG〃BC..・・ZBCA=Z3=80°.21. 解：•「Z3=Z5 （对顶角相等）Z1 + Z3=180° （已知）...Z1 + Z5=180°（等量代换）•.・AD〃BE （同旁内角互补，两直线平行）VCDXAD （已知）...Z6 = 90° （垂直定义）又..•AD〃BE （已证）•.・Z6+ZDCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）...ZDCE = 90°又VCM平分ZDCE （已知）•.・Z4=ZMCE=45° （角平分线定义）。