向量代数、平面方程,编辑：孙学峰 制作：彭豪,习题课（3）,一、 内容总结,1.向量的加法与数乘运算,运算律：交换、结合、分配,称为向量a在基本单位向量 i, j, k下的基本分解式或坐标表示式. ax、ay 、az为 坐标，分别是a在三坐标轴上的投影.,2.向量的分解,a = ax i + ay j+ az k， b =bxi + by j+ bz k, a b = (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k, a = (ax ) i + ( ay ) j + ( az) k,a = ax i + ay j+ az k,若在三维空间中不建立直角坐标系，同样可研究向量的分解及向量的坐标运算设, , 为三个线性无关向量,a为任意向量， 则存在唯一一组数x,y,z,使得 a = x+ y+ z,3.数量积、向量积、混合积,设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), c = (cx , cy , cz),则,a b = ax bx + ay by + az bz,a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k,复习数量积、向量积、混合积的运算性质、几何意义、物理意义。
4.平面,建立平面方程的基本方法：点法式、截距式、一般式 点到平面的距离的向量式表达 平面之间的位置关系二、 作业讲析,（练习册 P32 1.1）,五、已知PA =(2,-3, 6) ，PB =(-1,2,-2) ， |PC|= ，且PC平分APB，求向量PCB,P,A,C,,D,,,,,六、已知一向量的模为2，且与x轴和y轴的正向成等角，与z轴正向的夹角则是它们的两倍，求该向量解：依题意只需求出向量的方向角即可可设它的三个方向角 分别为,,2,于是有,三、 典型例题讲析,例1.设|a|=2, |b|=1,= .若向量m=a+b与向量n=a-b垂直,求.,解：mn= aa-ab+ba-bb=4+-2=5-2=0,故=2/5,例2.设a,b,c为不共线的三向量，那么它们能构成三角形a+b+c=0的 充要条件是ab=bc=ca.,证：必要性:利用向量积的性质得（a+b+c)a=ba+ca=0,即ab=ca.,同理可证ab=bc.,充分性：由条件ab=bc=ca知，三向量a,b,c共面，,于是有不全为0的1,2,3,使得1a+2b+3c=0,在上式两边与a,b作叉积得,2ab+3ac=0, 1ab+3cb =0, 1= 2= 3且非零。
于是得a+b+c=0例3.设(ab)c=1,求(a+b)(b+c)(c+a).,解： (a+b)(b+c)(c+a) = (ab)+(ac)+(bb)+(bc)(c+a),= (ab)c+ (ac)c+(bc)c+(ab)a+(ac)a+(bc)a,= (ab)c+0+0+0+0+(ab)c=2,例4.设a,b,c为两两正交的向量，且|a|=1, |b|=2，|c|=3. 求向量d= a+2b+3c的长度解： dd=(a+2b+3c)(a+2b+3c）,= aa+2ab+3ac+2ba+4bb+6bc+3ca+6cb+9cc,= 12 +422 +932 =98,|d|=,例5.设a,b是两个非零向量， |a|=2, =,= |a|cos = 1,例6.求过y轴并和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离的平面方程解：所求平面过y轴，故可设其方程为Ax+Cz=0.,平面和点M(2,7,3),N(-1,1,0)等距离，故有,于是A=-C或A=-3C，故所求平面方程为,x-z=0或3x-z=0,例7.证明平面1: 2x -y +1 = 0, 2: x +2y +z+1 = 0, 3: 3x +y +z+2 = 0属于同一平面束(相交于同一直线), 并求束里经过点P(1,0,1)的平面方程。
解：显然1与2不平行，过其交线的一切平面方程 （除2外）均可表示为,2x -y +1 +( x +2y +z+1)=0 （1）,显然3是上述方程中取1的结果，即1、2、 3 属同一平面束将P(1,0,1)的坐标代入（1）式解得=-1,故所求平面方程为x-3y -z= 0,例8.对于平面Ax+By+Cz+D=0，若规定法向量n=(A,B,C) 所指一侧为平面的正侧，另一侧为负侧，那么D的符号就 决定了原点在平面的侧位试讨论之解：首先研究D的几何意义D=A(-x)+B(-y)+C(-z) =nMO = |n| |MO|cos,当原点在平面正侧时,D0;在平面负侧时,D<0. 反之亦然例如平面x-y+z+1=0，则原点在平面的正侧M(x,y,z),n,O(0,0,0),四、 练习题,1.设m=2a+3b,n=3a-b,|a|=2|b|=1, = ,求|mn|. 2.向量x同时垂直于a=(2,3,1)和b=(1,-1,3),且与c=(2,0,2) 的数量积为-10，求x. 3.证明a=(-1,3,2),b=(2,-3,4), c=(-3,12,6)在同一平面上， 并将c用a,b表示出来. 4.证明：若三向量a,b,c不共面,d同时垂直于a,b,c,则d=0. 5*.证明： (ab)c= (ac)b- (bc)a. 6.已给平面,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,,2: A2x+B2y+C2z+D2=0,,试用矩阵,的秩为条件，判断平面的相交、平行与重合。
7.求过 x 轴和点 M(1, 2, 3) 的平面方程.,8.设平面 过点P(-1, 0, 1), Q(1, 2, 1)且与,平面1：x+y+z+1=0垂直， 求平面(称为PQ到1的投影平面)的方程 .,9*.四平面y-z=0, x-y=0, x+z-1=0, y=0围成一立体， 求立体体积. 10*.平面6x+y=6, 2x+y=6, x+y+z=6, y=0,z=0围成一 立体,画出该立体并求其体积.,练习题答案：,2. (-10,5,5) 3. c=5a+b 6. R(G)=2,相交； R(G)=1, R(G)=2,平行； R(G)=R(G)=1,重合 7. 3y-2z=0 8. x-y+1=0 9. 1/12 10. 16,,,。