典型共点力作用下物体的平衡例题[［例1]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化极限法[例2]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求〔1〕物体A所受到的重力；〔2〕物体B与地面间的摩擦力；〔3〕细绳CO受到的拉力例3]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开场滑动时，试问〔1〕长为30cm的细绳的力是多少.〔2〕圆环将要开场滑动时，重物G的质量是多少.〔3〕角φ多大.[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用[解]因为圆环将要开场滑动，所以，可以判定此题是在共点力作用下物体的平衡问题由牛顿第二定律给出的平衡条件∑F*=0，∑Fy=0，建立方程有μN-Tcosθ=0，N-Tsinθ＝0。
设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tgθ=，得B′O的长为40cm在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得φ=90°〔1〕如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有Gcosθ+Tsinθ-mg=0，Tcosθ-Gsinθ=0解得 T≈8N，〔2〕圆环将要滑动时，得 mGg＝Tctgθ， mG=0.6kg〔3〕前已证明φ为直角例4]如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角θ[分析]此题考察物体受力分析：由于求摩擦力f时，N受F制约，而求F最小值，即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题我们可以先通过物体受力分析据平衡条件，找出F与θ关系进一步应用数学知识求解极值[解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件∑F*=Fcosθ-μN=0 〔1〕∑Fy=Fsinθ+N-G=0 〔2〕由 cos〔θ-Ф〕=1 即θ—Ф=0时∴Ф=30°，θ=30°[说明]此题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。
在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的但要注意，求解结果和物理事实的统一性[例5]如图1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角θ的斜面平行A与B，A与斜面间的动摩擦因数一样，假设A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值例6、如图7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小．题 [例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间〔图1〕，斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的围是： A．斜面弹力N1变化围是〔mg，＋∞〕 B．斜面弹力N1变化围是〔0，＋∞〕 C．档板的弹力N2变化围是〔0， +∞〕 D．档板的弹力N2变化围是〔mg，＋∞〕答：[A、C]解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2的方向始终是水平的，亦为确定的而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不管α如何变动，只要α取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：由于0＜α＜90°，所以mg＜N1＜＋∞，0＜N2＜＋∞解出。
[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角θ不变,且θ＞45°,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将 A．始终减少 B．始终增大 C．先增大后减少 D．先减少后增大答：[D]解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA方向不变，OB绳受力的大小方向变化在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：从图中可很直观地得出结论由于θ＞45°,θ+α=90°所以α＜45°,此时TOB取得最小值 [例题3]如图4所示，一重球用细线悬于O点，一光滑斜面将重球支持于A点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，则细线对重球的拉力T及斜面对重球的支持力N的变化情况是：A．T逐渐增大，N逐渐减小； B．T逐渐减小，N逐渐增大； C．T先变小后变大，N逐渐减小； D．T逐渐增大，N先变大后变小．例7、一质量为50kg的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度〔r为柱体半径〕柱体最上方A处施一最小的力F，使柱体刚能开场以P轴向台阶上滚，求此最小力．析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13〔a〕所示．先将圆柱体在P点所受的支持力N和静摩擦力f合成，得到合力Q，则圆柱体受mg、Q、F三个力作用，这三个力必为共点力，且Q、F二力的合力为定值，如图13〔b〕所示，显然当F与Q垂直时，F有最小值，由题给条件知，∠OAP=30°，则：Fmin=T·sin30°=mg·sin30°=250N 由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会．〔2〕利用正交分解法分析求解 当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐．最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求解．例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连．当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用．B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度．现用一水平力F作用于A，使它向右作直线运动．在运动过程中，作用于A的摩擦力 A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、条件缺乏，无法判断析：取物体A为研究对象，分析A受力如图15，并沿水平和竖直方向建立正交坐标系．由于物体向右做直线运动，则y轴方向上受力平衡，即：T·sinθ＋N=mg依题意，绳的拉力T=k*，*为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力与A物体在B正下方时地面对物体的支持力一样．也就是说，在物体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为C． 解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤．上面我们虽然分成几种情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障碍后，其解题的思路和步骤是完全一样的．这就要求我们，在学习物理的平衡知识时，首先要建立一个解题的根本模式，即解题根本步骤及几种常见题型的特点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起根本模式，通过原型启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题．解平衡问题是这样，解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会到达会学、要学、乐学的高境界． 三、练习题 1．如图16，AB为一轻质杆，BC为一细绳，A总通过绞链固定于竖直墙上，假设在杆上挂一重物，并使其逐渐由B向A移动，试分析墙对杆A端的作用力如何变化. 2．半径为R的光滑球，重为G，光滑木块，重为G，如图示放置．至少用多大的力F〔水平力〕推木块，才能使球离开地面.木块高为h． 3．两根长度相等的轻绳下端是挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点．M、N两点间的距离为S，如图18所示．两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于多少.球，在图示情形下处于静止状态，求绳对球的拉力大小及斜面给球的支持力的大小．5．如图20，AB为一轻质梯子，A端靠在光滑墙面上，B端置于粗糙水平面上．当重为G的人由B端逐渐爬上梯子的A端时，梯子始终没动．试分析墙对梯子的作用力与地面给梯子的作用力分别如何变化.6．如图21，一木块质量为m，放在倾角为θ的固定斜面上，木块与斜面间的动摩擦因数为μ．当用水平方向的力F推这木块时，木块沿斜面匀速上升，则此水平推力多大. 附答案： 1．先减小，后增大 4．T=N=10N 5．墙对A支持力逐渐增大，地面对B支持力不变，静摩擦力逐渐增大．静力学中四类极值问题的求解 最〔大或小〕值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型渗透在中学物理的各个局部，技巧性强，解法颇多。
深入探究最值问题的解答，能有效地提高运用数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏捷性 1．不等式法：例1 无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力足够大如图1示，用长为L的绳拉电杆，假设所用拉力T恒定时，绳栓在电线杆的何处最容易拉倒.分析与解：设绳线栓在离地h高处，则拉力T的力矩最大时，最容易拉倒电杆，如图1，cosθ=h/L，则T的力矩观察此式，T、L一定，因h2+〔L2-h2〕=L2是一常数，故当h2=L2-h2评点：解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特征，开掘其隐含条件，假设a＞0，b＞0,a＋b=常数,则当a=b时，ab积最大这里运用了不等式的一个重要性质〔a＋b〕/2 2.三角函数法：例2 重量为G的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地面之间如图2示分析与解：物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：水平方向： Fcosθ=μN竖直方向： N＋Fsinθ=G解得 F=μG／〔cosθ＋μsinθ〕为使F最小，只需cosθ＋μsinθ最大，因为〔cosθ+μsinθ〕=〔cosθsinφ+cosφsinθ〕/sinφ =sin〔θ+φ〕/sinφ而φ=ctg-1，故当θ=30°时，F最小，最小值为Fmin=μGsinφ＝G／2。
评点：求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式，再根据三角函数的有界性：|sinθ|≤1或|cosθ|≤1求最值 3．极限推理法：例3 如图3，用力F推质量为M的物体，物体与地面间的摩擦因数为μ，求外力F与水平方向交角θ最小为多大时，无论外力F多么大均不能使物体前进.分析与解：物体受共点力作用，当不动时必满足：Fcosθ≤μ〔Mg＋Fsinθ〕 化简得： F〔csoθ-μsinθ〕≤μMg因为无论F多大，上式均成立，则当F→∞时，不等式也成立，此时θ取最小值θ0因此最小角满足方程 cosθ0-μsinθ0=0，tgθ0=1/μ，θ0=arctg1/μ评点：此类题通过对关系式的推理分析、θ=θ0时F无论多大物体都不能被推动，因而F→∞时所满足的θ角便是最小值这是一种极限推理分析的方法 4．矢量三角图示法例5 一重为G的光滑球放在倾角为θ的斜面上，被一挡板PQ挡住，Q处为固定转轴，如图4示，挡板可以逐渐放平，何时球对挡板的压力最小分析与解：小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡由挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。
如图5所示，由图知当挡板逐渐放平的过程中，斜面对球的支持力N1一直逐渐减小，而挡板对球的支持力N2将先减小后增大，故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小评点：质点在三个共点力作用下而平衡，各力之间的动态变化的规律，由力矢量三角形可直观地作出判断这是处理此类平衡问题常用的一种方法 z。