P282.3 (1)aadxxhdxxg收敛，收敛，和和)()(有有,01211GuuaG .)(21 uudxxg有有,02212GuuaG .)(21 uudxxh有有取取,max2121GuuGGG ,)(21 uudxxg ,)(21 uudxxh 21)(uudxxf 21)(uudxxh 21)(uudxxg,.)(21 uudxxf即即收敛)(adxxfdxxhdxxfdxxguauaua )()()()2(由迫敛性即得由迫敛性即得令令,u定理定理 11.5（Cauchy准则）准则）有有),(,0,021 aauu.)()()(2121 uububudxxfdxxfdxxf 是是瑕瑕点点）收收敛敛（adxxfba )(存存在在)(lim)(lim buauaudxxfuF由函数极限的柯西准则由函数极限的柯西准则，得，得 是是瑕瑕点点）收收敛敛（adxxfba )(3 无界函数反常积分的审敛法无界函数反常积分的审敛法性质性质1 都都收收敛敛，则则瑕瑕点点均均为为与与若若)()()(21adxxfdxxfbaba 且且也也收收敛敛,)()(2211 badxxfkxfk .)()()()(22112211 bababadxxfkdxxfkdxxfkxfk性质性质2 若若f 的瑕点为的瑕点为a，acb,则则且且同同敛敛态态与与,)()(cabadxxfdxxf ,)()()(bccabadxxfdxxfdxxf定积分定积分性质性质3收收敛敛，则则 badxxf|)(|必必收收敛敛，并并有有 badxxf )(.|)(|)(babadxxfdxxf若若f 的瑕点为的瑕点为a，f在在(a,b的任一内闭区间的任一内闭区间u,b可积，可积，且且发发散散发发散散敛敛；收收收收敛敛则则，且且上上可可积积，在在如如何何为为瑕瑕点点的的函函数数，的的以以是是定定义义在在、法法则则）设设（)(|)(|)(|)()(),(|)(|(,(babababadxxgdxxfdxxfdxxgbxaxgxfa,bu,babagf比比较较 定定理理1 11 1.6 6同样有绝对收敛、条件收敛的概念。
同样有绝对收敛、条件收敛的概念发发散散发发散散时时，）当当（收收敛敛收收敛敛时时，当当；同同敛敛态态与与时时，当当则则且且 babababababaaxdxxfdxxgldxxfdxxgldxxfdxxglllxgxf|)(|)(3|)(|)(0 )2(|)(|)(0 )1(),0()(|)(|lim，且且为为瑕瑕点点，以以、设设法法则则极极限限形形式式（推推论论)(0)(bxaxgagf )比比较较1 1由由 bapaxdx)(时时，发发散散当当时时，收收敛敛；当当110pp推论推论2（Cauchy判别法）判别法）设设f定义于定义于(a,b,a为瑕点，且在任何区间包为瑕点，且在任何区间包含于含于(a,b的区间的区间u,b上可积，则有：上可积，则有：,10 ,)(1|)(|)1(paxxfp当当收收敛敛则则 badxxf|)(|,1 ,)(1|)(|)2(paxxfp当当发发散散则则 badxxf|)(|推论推论3（Cauchy判别法极限形式）判别法极限形式）.|)(|)(lim xfaxpax时时，当当则则 0,10)1(p收收敛敛；badxxf|)(|时时，当当 0,1)2(p发发散散。
badxxf|)(|设设f 定义于定义于(a,b,a为瑕点，且在任何区间包为瑕点，且在任何区间包含于含于(a,b的区间的区间u,b上可积，如果：上可积，如果：狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet)判别法：判别法：上上有有界界，在在若若,()()()1(badxxfuFbu ，时时单单调调趋趋于于上上当当在在0,()()2(axbaxg收收敛敛则则 badxxgxf)()(设设f 定义于定义于(a,b,a为瑕点，且在任何区间包为瑕点，且在任何区间包含于含于(a,b的区间的区间u,b上可积，如果：上可积，如果：阿贝尔（阿贝尔（Abel）判别法：）判别法：收收敛敛，若若 badxxf)()1(上上单单调调有有界界，在在,()()2(baxg收收敛敛则则 badxxgxf)()(设设f 定义于定义于(a,b,a为瑕点，且在任何区间包为瑕点，且在任何区间包含于含于(a,b的区间的区间u,b上可积，如果：上可积，如果：瑕积分瑕积分Cauchy判敛法中，判敛法中，p的结论与无穷积分的结论与无穷积分 正相反注意注意2：瑕积分和无穷积分可以相互转化瑕积分和无穷积分可以相互转化注意注意1：例例1 1.ln31的的收收敛敛性性判判别别瑕瑕积积分分 xdx解解的左邻域内无界的左邻域内无界被积函数在点被积函数在点1 xxx/11lim01,1 瑕积分发散瑕积分发散.例例2 2.)/1sin(10的的收收敛敛性性判判别别瑕瑕积积分分dxxx 解解 xxxln1)1(lim01收敛，收敛，而而 1 ,1|)/1sin(|xdxxxx收收敛敛dxxx 10|)/1sin(|绝对收敛绝对收敛dxxx 10)/1sin(例例3 3.)0(ln10的的敛敛散散性性判判别别瑕瑕积积分分 pxxdxep解解1,0(,0ln1exxxp x=0是瑕点。
是瑕点所以绝对收敛和收敛是一回事所以绝对收敛和收敛是一回事1)当当 0p1,|ln|1lim0 xxxpx,|ln|1lim10 xxpx pxpxxxxx 1010lnlimlnlim而而pxxpx )1(/1lim0pxpxxxxx 1010lnlimlnlim而而pxxpx )1(/1lim0pxxp 10)1(1lim)1(lim10pxpx .0|ln|1lim0 xxxpx|ln|1lim10 xxpx .故故从而瑕积分发散从而瑕积分发散3）当）当 p=1 exxdx10ln euux/10|ln|lnlim.从而瑕积分发散从而瑕积分发散例例4 4.)1(1103的的敛敛散散性性判判别别瑕瑕积积分分 xxdx解解 x=1是瑕点31)1(111limxxxx 2/51)1(11limxx.1故瑕积分收敛故瑕积分收敛的的敛敛散散性性如如何何？）（思思考考：11103 xxdx的的敛敛散散性性如如何何？)1(113 xxdx01)1(1lim)1(11)1(lim2/51331 xxxxxx若若得不到任何结论！得不到任何结论！例例5 5.1sin110的的敛敛散散性性判判别别瑕瑕积积分分dxxxp 解解txpdxxx 1101sin1dttttp)1(sin 21 tdttpsin 12 故当故当 2 p 1,即即 p 1时，时，绝对收敛，绝对收敛，时，时，即即当当21,120 pp条件收敛，条件收敛，时时，即即当当2,02 pp发散。
发散注意到注意到)0(,1|sin|sin|222222 kkkkxdxxdxx发散（发散（原理，原理，由由)0sin1 xdxxCauchydtttp 21sin例例6 6.)0(sin0的的敛敛散散性性判判别别积积分分 pdxxxp解解 1 ,10 ,01p 1,coslim sinlim100pppxxxxpxpx不是瑕点，时，故当010 xp是瑕点时，当01xp时时，）当当（101 p同同敛敛态态，与与dxxxdxxxpp 10sin sin从而条件收敛从而条件收敛仅为无穷积分，仅为无穷积分，时时，）当当（12 pdxxxdxxxdxxxppp 1100sin sin sin21II ,2I对对ppxxx1sin 绝对收敛；绝对收敛；故故2I,1I对对,1sinlim10 ppxxxx发散；发散；时，时，即即故当故当12,11Ipp 绝对收敛；绝对收敛；时，时，即即当当121,11Ipp ,0sin pxx综上，综上，时时，条条件件收收敛敛；10 p时，绝对收敛；时，绝对收敛；21 p时，发散时，发散2 p例例7 7讨论反常积分讨论反常积分 的收敛性的收敛性dxxxa 011)(解解作：作：是瑕点，故将原积分写是瑕点，故将原积分写时，时，当当01 x).()(11)(11101 JIdxxxdxxxa 的收敛性。
的收敛性讨论）讨论（)(1 I时时，为为定定积积分分，即即当当1,01 a是瑕点，是瑕点，时，时，当当01 x,11lim110 xxxx 101101)1(1)(xxdxdxxxI ,11lim110 xxxx 收敛，收敛，时，时，即即当当)(0,110 I 发散时，时，即即当当)(0,11 I 的的收收敛敛性性讨讨论论（)(2 J).()1(11111 Jxxdxdxxx )1(1lim12xxxx ,11lim xxx收敛，收敛，时，时，即即当当)(1,12 J 发散时，时，即即当当)(1,12 J 收敛，收敛，时，时，)(0 I 发散时，时，)(0 I 收敛，收敛，时，时，)(1 J 发散时，时，)(1 J 列成表格：列成表格：)(a 发散发散收敛收敛定积分定积分收敛收敛收敛收敛发散发散发散发散收敛收敛发散发散)(I)(J 0 10 1 可见，反常积分可见，反常积分 只有当只有当0a1时才是收敛的时才是收敛的)(a 作作 业业P286.1 3（1、3、5、7）4（2）6（1）。