2019-2020年高考数学一轮复习第五章平面向量课时达标检测二十四平面向量的概念及线性运算理对点练(一) 平面向量的有关概念1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模 B．不共线C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量解析：选C 若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的____________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/ p．∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要对点练(二) 平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b, 则＝( )A.b－a B.a－bC．－a＋b D.b＋a解析：选C ＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选C.2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为( )A．1 B．－C．1或－ D．－1或－解析：选B 由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k.整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.3．(xx江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )A.a＋b B．－a＋bC.a－b D．－a－b解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.4．(xx郑州二模)如图，在△ABC中，点D段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则( )A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋n是定值，定值为3C.＋是定值，定值为2D.＋是定值，定值为3解析：选D 法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3.法二：因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ).又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.5．(xx银川一模)设点P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________.解析：因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0.答案：06．(xx衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．解析：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.答案：7．(xx盐城一模)在△ABC中，∠A＝60，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.答案：38．在直角梯形ABCD中，∠A＝90，∠B＝30，AB＝2，BC＝2，点E段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵点E 段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.答案：[大题综合练——迁移贯通]1.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示， .解：＝(＋)＝a＋b.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.2．已知a，b不共线，＝a，＝b， ＝c， ＝d， ＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．3.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，所以＝＋＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线. 。
