河南大学2009届本科毕业论文基于ESPRIT算法的DOA估计ESPRIT Algorithm Based on The Estimated DOA论文作者姓名： 作者学号： 所在学院：计算机与信息工程学院 所学专业：自动化 导师姓名职称： 论文完成时间：2009年5月20日 2009年5月20日河南大学2009届毕业论文（设计、创作）开题报告（由学生本人认真填写）学号05023396姓名邢建贤导师姓名职称袁泉(助教)开题时间2008年12月1日课题题目基于ESPRIT算法的DOA估计课题来源■导师指定 □自定 □其他来源课题的目的、意义以及和本课题有关的国内外现状分析：1、目的：研究DOA估计超分辨算法中的经典算法旋转不变子空间（ESPRIT）算法，利用计算机仿真给出其性能分析2、意义：阵列信号处理是信号处理领域内的一个重要分支，而空间谱（DOA）估计是阵列信号处理中的一个主要研究方向，在雷达、通信、声纳等众多领域有极为广阔的应用前景，而旋转不变子空间（ESPRIT）算法作为DOA估计超分辨算法，其研究具有重要作用。
3、现状：尽管空间谱估计在近30年的也得到快速的发展，其研究文献文献之多，遍及范围之广，内容之丰富令人叹为观止，但其实用系统尚不多见目前空间谱估计理论与技术仍处于方兴未艾的迅猛发展之中，已成为阵列信号处理学科发展的主要方面随着多重信号分类MUSIC算法的提出，不但促进了子空间分解类算法的兴起，同时也实现了向现代超分辨测向技术的飞跃，有着广阔的应用前景研究目标、研究内容和准备解决的问题：1、目标：通过研究DOA估计超分辨算法中的经典算法旋转不变子空间（ESPRIT）算法，利用计算机实现其仿真性能分析2、内容：首先介绍了空间谱的基础，研究了旋转不变子空间（ESPRIT）算法，给出了ESPRIT算法的原理，步骤，通过计算机仿真，对其进行性能分析3、准备解决的问题：通过对子空间分解类算法的经典算法即旋转不变子空间（ESPRIT）算法的研究，利用大量的计算机仿真，对其与MUSIC算法进行对比性能分析，得出优缺点拟采取的方法、技术或设计（开发）工具：计算机仿真软件：MATLAB 7.1预期成果：1、毕业设计成果研究旋转不变子空间算法，通过计算机仿真，先对ESPRIT做了统计性能分析，然后对其与MUSIC进行对比性能分析2、毕业论文进度计划：2008.12.1 - 2009.3.5： 查找资料、搜集相关素材2009.3.6 - 2009.3.26：完成空间谱基础知识整理2009.3.27 - 2009.4.7： 完成旋转不变子空间算法理论的整理2009.4.8 - 2009.4.15：完成理论性能的分析2009.4.16 - 2009.5.4： 完成仿真性能分析2009.5.5 - 2009.5.15：整理资料、撰写毕业论文2009.5.16 - 2009.5.20：根据导师要求，完善毕业设计和论文指导教师对选题报告的意见： 指导教师签名： 2008年12月1日开题报告II河南大学2009届毕业论文（设计、创作）任务书题目名称 基于ESPRIT算法的DOA估计学院计算机与信息工程学院学生姓名邢建贤所学专业自动化学号05023396一、 毕业论文(设计、创作)要求1. 可行性分析：完成算法的可行性分析2. 算法仿真分析：具体进行算法仿真性能分析3. 撰写论文：完成论文撰写二、 毕业论文(设计、创作)进度安排2008.12.1 - 2009.3.5： 查找资料、搜集相关素材2009.3.6 - 2009.3.26：完成空间谱基础知识整理2009.3.27 - 2009.4.7： 完成旋转不变子空间算法理论的整理2009.4.8 - 2009.4.15：完成理论性能的分析2009.4.16 - 2009.5.4： 完成仿真性能分析2009.5.5 - 2009.5.15：整理资料、撰写毕业论文2009.5.16 - 2009.5.20：根据导师要求，完善毕业设计和论文三、需收集的资料和指导性参考文献[1] 刘全,雍玲,魏急波. 二维虚拟ESPRIT算法的改进.国防科技大学学报,2002.[2] 盖轶冰. 基于子空间分解类算法的智能天线DOA估计方法研究,山东大学硕士学位论文,2006.[3] 闻映红.天线与电波传播理论. 清华大学出版社,2007. [4] 陈辉,彭应宁,王永良.空间谱估计理论与算法. 清华大学出版社,2004.[5]李国勇,谢克明,杨丽娟.计算机仿真技术与CDA.电子工业出版社.指导教师签名 2008年12 月 8 日河南大学2009届毕业设计（论文、创作）中期检查表题目名称： 基于ESPRIT算法的DOA估计学院计算机与信息工程学院学生姓名邢建贤所学专业自动化学号05023396一、毕业论文(设计、创作)进展情况目前，论文的大致框架已基本完成，仿真性能分析不是太理想，还有一部分性能要求没有实现，有待进一步的改进和完善。
在这个阶段中已经完成的空间谱估计基础和旋转不变子空间算法的学习，并进行了初步的仿真性能分析二、毕业论文(设计、创作)存在问题及解决方案存在的问题：仿真的结果不是很理想，与MUSIC算法的仿真性能有一定的差距解决方案：计划通过不断的调节阵元数，阵元间距，改变信噪比得到接近MUSIC算法的的仿真性能三、指导教师对学生毕业论文(设计、创作)进展方面的评语该生在做毕业设计的期间，积极认真，能够及时分析和解决遇到的各种问题但是算法仿真的结果不是很理想，希望在后续的工作期间，很好的解决这些问题指导教师签名 2009年 4 月 10日河南大学2009届毕业论文（设计、创作）综合成绩表（一）学院名称：计算机与信息工程学院学 号05023396姓名邢建贤专业自动化指导教师袁泉综合得分论文题目基于ESPRIT算法的DOA估计指导教师评语及得分指导教师评语评分项目分值指导教师对毕业论文（设计、创作）评分撰写开题报告、文献综述15调查研究查阅整理资料10学习态度与规范要求10数据处理、文字表达10论文（设计、创作）质量和创新意识55合计100得分指导教师签名 2009年5月20日评阅教师评语及评分评阅教师评语评分项目分值评阅毕业论文（设计、创作）评分撰写开题报告、文献综述15调查研究查阅整理资料10学习态度与规范要求10数据处理、文字表达10论文（设计、创作）质量和创新意识55合计100得分评阅教师签名 2009年5月22日此表由教师填写河南大学2009届毕业论文（设计、创作）综合成绩表（二）学号05023396姓名邢建贤所在学院计算机与信息工程学院答辩委员会评语及评分答辩委员会评语答辩委员签字： 2009年5月25日评分 项目 分值论文答辩小组评分答辩情况论文质量合计（100）内容表达情况（15）答辩问题情况（25）规范要求与文字表达（20）论文（设计、创作）质量和创新意识（40）得分答辩委员会主任签字： 2009年5月25日毕业论文（设计、创作）成绩综合评定： 分综合评定等级：备注：一、论文的质量评定，应包括对论文的语言表达、结构层次、逻辑性理论分析、设计计算、分析和概括能力及在论文中是否有新的见解或创新性成果等做出评价。
从论文来看学生掌握本专业基础理论和基本技能的程度二、成绩评定采用结构评分法，即由指导教师、评阅教师和答辩委员会分别给分（以百分计），评阅教师得分乘以20%加上指导教师得分乘以20%加上答辩委员会得分乘以60%即综合成绩评估等级按优、良、中、差划分，优90-100分；良76-89分；中60-75分；差60分以下三、评分由专业教研室或院组织专门评分小组（不少于5人），根据指导教师和答辩委员会意见决定每个学生的分数，在有争议时，应由答辩委员会进行表决四、毕业论文答辩工作结束后，各院应于6月20日前向教务处推荐优秀论文以汇编成册，推荐的篇数为按当年学院毕业生人数的1.5%篇五、各院亦可根据本专业的不同情况，制定相应的具有自己特色的内容须报教务处备案六、书写格式要求：1、 目录；2、 内容提要须书写200左右汉字，开题报告（文科除外）的内容要根据不同专业的课题任务要求，阐述查阅文献、文案论证、解题思路、工作步骤等；3、 正文（含引言、结论等）；4、 参考文献（或资料）河南大学本科生毕业论文（设计、创作）承诺书论文题目基于ESPRIT算法的DOA估计姓 名邢建贤所学专业自动化学 号05023396完成时间2009年5 月20日指导教师姓名职称袁泉(助教)承诺内容：1、本毕业论文（设计、创作）是学生邢建贤在导师袁泉的指导下独立完成的，没有抄袭、剽窃他人成果，没有请人代做，若在毕业论文（设计、创作）的各种检查、评比中被发现有以上行为，愿按学校有关规定接受处理，并承担相应的法律责任。
2、学校有权保留并向上级有关部门送交本毕业论文（设计、创作）的复印件和磁盘备注：学生签名： 指导教师签名： 2009 年 5 月 20 日 2009 年 5 月 20 日说明：学生毕业论文（设计、创作）如有保密等要求，请在备注中明确，承诺内容第2条即以备注为准目 录摘 要 IABSTRACT II第1章 绪论 11.1引言 11.2空间谱估计发展概述 21.3论文的主要工作与内容安排 2第2章 空间谱估计基础 42.1 引言 42.2基本概念与原理 42.3 空间谱估计误差模型 82.4 空间谱估计基础知识 102.5影响DOA估计结果的因素 10第三章 旋转不变子空间算法 123.1引言 123.2旋转不变子空间算法原理 133.2.1信号模型 133.2.2 算法原理 143.3 标准的旋转不变子空间算法 153.3.1 最小二乘法 153.3.2 总体最小二乘法 173.4算法的计算机仿真及性能分析 19结 论 26致 谢 27参考文献 28河南大学本科毕业生学士学位论文摘 要作为空域信号处理的主要手段，阵列信号处理技术发展极为迅速，空间谱(DOA)估计是阵列信号处理中的一个重要的研究方向，在雷达、通信、声纳等众多领域有极为广阔的应用前景。
在现代战争中，随着隐身技术的发展，隐身飞机、隐身潜艇和低噪声鱼雷的出现，要求新一代的雷达和声纳系统具有检测微弱信号、精确估计目标参数、跟踪和识别目标的能力，这对阵列信号处理的方法和手段提出了更高的要求空间谱估计侧重于研究空间多传感器阵列所构成的处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确的估计的能力，其主要目的是估计信号的空域参数或信源的位置，这也是雷达、通信、声纳等许多领域的重要任务之一本文首先回顾了空间谱估计技术的发展过程及现状；比较详细的介绍了空间谱估计基础；研究了DOA估计超分辨算法中的经典算法旋转不变子空间(ESPRIT)算法，给出了ESPRIT算法原理和步骤，并通过大量的计算机仿真实验，先对ESPRIT算法做了统计性能分析，然后将ESPRIT算法与MUSIC算法进行了对比性能分析，得出了算法的优缺点，加深理解ESPRIT算法在现代超分辨测向技术方面的重要作用关键词： 阵列信号 空间谱估计 ESPRIT算法ABSTRACTAirspace as a primary means of signal processing, array signal processing is extremely rapid technological development, space spectrum (DOA) is estimated array signal processing is an important research direction, in radar, communications, sonar and many other fields there is a very broad application prospects. In modern warfare, with the development of stealth technology, stealth aircraft, submarines and stealth torpedo the emergence of low-noise, require a new generation of radar and sonar detection system has a weak signal, accurate estimation parameters, tracking and identifying targets, array signal processing on the ways and means to put forward higher requirements.Spatial spectrum estimation study focused on the space of multi-sensor array processing system posed by the space of signals of interest to a wide range of parameters of the ability to accurately estimate, and its main purpose is to estimate parameters of signals in the airspace or the location of source, which is radar, communications, sonar and many other areas of one of the important tasks.This article first reviewed the spatial spectrum estimation of the development process and the status quo; a more detailed introduction to the basis of the spatial spectrum estimation; studied the super-resolution algorithm for DOA estimate of the classical algorithm for rotation invariant subspaces (ESPRIT) algorithm, given the ESPRIT algorithm principles and steps, and through a large number of computer simulation experiments, the ESPRIT algorithm and the MUSIC algorithm performance were compared and analyzed the advantages and disadvantages of the algorithm, a deeper understanding of modern ESPRIT super-resolution algorithm to the technical aspects of measuring an important role. Keywords：Array signal Spatial spectrum estimation ESPRIT algorithm第 29 页第1章 绪论1.1引言阵列信号处理是将多个传感器设置在空间的不同位置组成传感器阵列，并利用这一阵列对空间信号场进行接收和处理，目的是提取阵列所接收的信号及其特征信息，同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信息。
阵列信号处理主要是利用信号的空域特性来增强信号及有效提取信号空域信息，因此也常被称为空域信号处理阵列信号处理最主要的两个研究方向是自适应阵列处理和空间谱估计其中空间谱估计理沦与技术仍处于方兴未艾的迅猛发展之中与自适应阵列技术不同，空间谱估计侧重于研究空间多传感器阵列所构成的处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的能力，其主要目的是估计信号的空域参数或信源位置理论上，该技术可以大大改善在系统处理带宽内空间信号的角度估计精度、分辨力及其他相关参数精度，因而在众多领域拥有极为广阔的应用前景空间中某种几何形状的多元阵，再配以合适的信号处理算法，组成完整的阵列信号处理系统这正是空间谱估计所要研究的内容时域频谱表示信号在各个频率上的能量分布，而空间谱表示信号在空间各个方向上的能量分布如果能得到信号的空间谱，就能得到信号的波达方向(direction of arrival, DOA)，所以，空间谱估计也被称为DOA估计DOA估计的目的就是要确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣信号的空间位置，即各个信号到达阵列参考阵元的方向角，其关键在于利用处于空间不同位置的天线信号阵列，接收多个不同方向的信号源发出的信号，运用现代信号处理方法快速、高精度地估计出信号源的方向。
DOA估计技术是近些年来迅速发展起来了一门跨学科专业的边缘技术，其中多信号源的DOA估计、相干信号源的DOA估计、宽带信号源的DOA估计、复杂环境下的DOA估计等更是国内外研究的热点DOA估计技术在雷达、声纳、通信、地震以及生物医学工程领域都有着十分广泛的应用前景1.2空间谱估计发展概述最早的基于阵列的DOA估计方法是Bartlett波束形成法，这种方法是传统时域傅立叶谱估计方法的一种空域简单扩展形式，即用空域各阵元接收的数据替代传统时域处理中的时域数据与时域的傅立叶限制一样，将这种方法扩展至空域后，阵列的角度分辨力同样存在空域“傅立叶限制”，也就是阵列的物理孔径限制，即对位于一个波束宽度内的空间目标不可分辨所以，提高空域处理有效精度的方法就是增大天线孔径(等效于减小波束宽度)但是对于许多实际应用环境而言，增大天线孔径并是不现实的，所以需要更好的方法来提高方位估计的精度空间信号的方向估计与时间信号的频率估计十分相似在理论上，它们均可表还为基本的非线性参数问题，因此许多时域非线性谱估计方法推广到了空域，它们主要有：Pisarenko的谐波分析法、Burg的最大嫡法以及Capon的最小方差法。
基于ARMA线性预测模型的非线性估计方法均假设信号的谱为连续谱，对应空域信号处理中则假定信号源在空间中是连续分布的，信号是空间平稳的随机过程，可见这样的假设在大多数情况下是不成立的，因而具有局限性随着多重信号分类MUSIC算法的提出，不但促进了子空间分解类算法的兴起，同时也实现了向现代超分辨测向技术的飞跃子空间分解类算法从处理方式上可分为两类：一类是以MUSIC算法为代表的一类噪声子空间类算法，另一类是以旋转不变子空间（ESPRIT）为代表的信号子空间类算法以ESPRIT为代表的算法主要有LS- ESPRIT及TLS- ESPRIT等其后虽然又出现了子空间拟合类算法，如最大似然(ML)算法，可以在低信噪比、小块拍数据情况下，保持优良的性能，但由于方向估计似然函数是非线性的，求解其最优解需要进行多维搜索，计算量巨大，因而实际应用困难特别是近年来，DOA估计的各种算法取得了丰硕的成果，理论己经日臻完善，这为其投入实际的应用中提供了坚实的基础目前的工程实用化过程中，鉴于子空间分解类算法分辨率高、运算量较低、稳健性较好、对阵列结构适用性较广等特点，大多数设备都是以这种算法为基础进行实验研究的，已取得了不错的效果。
1.3论文的主要工作与内容安排本文对DOA估计算法的发展及现状进行了梳理，对子空间分解类算法进行了分析和总结，在前人理论基础上，对旋转不变子空间（ESPRIT）算法进行了深入分析，并通过计算机仿真对算法做了性能分析，加深对算法的了解，更好的认识空间谱(DOA)估计在阵列信号处理中的重要作用论文的内容安排如下：第一章 绪论，主要介绍了阵列信号处理作为信号处理领域内一个重要分支，其有着广阔的应用前景，空间谱估计则是阵列信号处理的最主要的研究方向之一，其中阐述了空间谱技术中的专有概念与术语，着重概述了空间谱估计发展与现状，以便更好的了解空间谱估计技术的整体概括第二章 空间谱估计基础，介绍了空间谱估计的基本原理、数学模型及相关的基础知识，它是后续章节的理论基础第三章 旋转不变子空间（ESPRIT）算法，详细的阐述了ESPRIT算法的概念及原理，及ESPRIT算法的两种经典的求解法（最小二乘法、总体最小二乘法），最后通过仿真实验对比分析了ESPRIT算法与MUSIC算法的性能，得出了算法的优缺点第2章 空间谱估计基础 2.1 引言 空间谱估计是一种空域处理技术，由于其优越的空域参数（如方位角）估计性能，从而吸引了广大学者进行研究，井将其广泛应用到其他领域。
空间谱估计属于阵列信号处理的一个重要分支，所以其基础理论离不开阵列信号处理的基本原理，即通过空间阵列接收数据的相位差来确定一个或几个待估计的参数，如方位角、俯仰角及信号源数等本章主要介绍空间谱估计所涉及的一些相关知识，如空间谱估计的数学模型及相关特性、空间谱估计的基础知识等，从而为下面章节的算法研究和分析奠定基础2.2基本概念与原理 观察空间 …… 估计空间 信号源 目标空间 通道1 通道2 通道N 处理器（空间谱算法） 处理结果图2-1空间谱估计系统结构图空间谱估计技术就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。
整个空间谱估计系统应该由三部分组成:空间信号入射、空间阵列接受及参数估计所以，相应地可以分为三个空间即目标空间、观察空间及估计空间，这也就是说空间谱估计系统由这三个空间组成，其系统结构图见图2-1 对于上述的系统结构图作以下几点说明:（1）目标空间是一个有信 号源的参数与复杂环境参数张成的空间对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知数 （2）观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号由于环境的复杂性，所以接收数据中包含信号特征（方位、距离、极化等） 和空间环境特征（噪声、杂波、干扰等）另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征（互耦、通道不一致、频带不一致等）这里的观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常只有一个通道特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的（可以加权或不加权），当 然 空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。
3)估计空间是利用空间谱估计技术（包括阵列信号处理中的一些技术，如 阵列校正、空域滤波等技术）从复杂的观察数据中提取信号的特征参数从系统框图中可以清晰地看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元间的互耦、通道不一致、频带不一致等这个重构过程的理论基础就是下面要阐述的数学模型 图2-2 DOA估计原理图从图2-2 DOA估计原理图可以看出，对于一般的远场信号而言，同一信号到达不同的阵元存在一个波程差，这个波程差导致了个接收阵元间的相位差，利用个阵元间的相位差可以估计出信号的方位，这就是空间谱估计的基本原理 如图2-2所示，图中考虑两个阵元，为阵元间的距离，为光速，为远场信号的入射角度，为阵元间的相位延迟则天线所接收的信号由于波程差 (2.1)从而可得两阵元间的相位差为 (2.2)其中，是指中心频率。
对于窄带信号，相位差 (2.3)其中，为信号波长因此，只要知道信号的相位延迟，就可以根据式(2.1)求出信号的来向，这就是空间谱估计技术的基本原理入射信号z y x 图2-3 空间任意两阵元的几何关系更一般的情况下，对于空间任意两个阵元而言，假设其中一个为参考阵元（位于原点），另一个阵元的坐标为（x,y,z）,两阵元的几何关系如图2-3所示： 由几何关系可以推导出两阵元接收的波程差应为 (2.4)其实就是位于x轴上两阵元间的延迟、位于y轴上两阵元间的延迟和位于z轴上两阵元间的延迟之和根据式（2.4）式的结论，下面给出实际环境中常用的几种阵列及阵元间的相互延迟表达式。
a. 平面阵设阵元的位置为（， ）(k=1,2，…，)，以原点为参考点，另假设信号入射参数为( , ), (=1,2, …，),分别表示方位角与俯仰角，其中方位角表示与x轴的夹角，则有 (2.5)b. 线阵设阵元的位置为 (k=1,2，…，), 以原点为参考点，另假设信号入射参数为( =1,2, …，),表示方位角，其中方位角表示与y轴的夹角（即与线阵法线的夹角），则有 (2.6) 考虑个远场的窄带信号入射到空间某阵列上，其中阵列天线由个阵元组成，这里假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经各自的传输信道送到处理器，也就是说，处理器接收来自个通道的数据在信号源是窄带信号的假设下，信号可用如下的复包络形式表示: (2.7)式中，是接收信号的幅度，是接收信号的相位，是接收信号的频率在窄带远场信号源的假设下，有 (2.8)根据式（2.7)和式（2.8)，显然有下式成立： =1，2,…， (2.9)则可以得到第个阵元接收信号为 =1，2,…, (2.10)式中，为第个阵元对第i个信号的增益，表示第个阵元在t时刻的噪声， 表示第i个信号到达第个阵元时相对于参考阵元的时延。
将个阵元在特定时刻接收的信号排列成一个列矢量，可得 (2.11) 在理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，则式(2.11)中的增益可以省略（即归一化为1）， 在此假设下式(2.11)可以简化为 (2.12)将式(2.12)写成矢量形式如下： (2.13)式中，为阵列的维快拍数据矢量，为阵列的维噪声数据矢量，为空间信号的维矢量，为空间阵列的维流型矩阵（导向矢量阵），而且有A= (2.14)其中，导向矢量 =1,2,…，N (2.15) 式中，,c为光速，λ为波长以上介绍的就是空间谱估计技术中最常用的基本概念，所有的空间谱相算法都是建立在这个数学模型或是以此为基础的变型模型上2.3 空间谱估计误差模型在空间谱估计中，考虑的误差基本上有三种：有限数据长度引起的误差、阵列的模型误差及噪声模型误差a.噪声模型 在本文中，假设各阵元观测噪声是时、空不相关的高斯白噪声，其均值为零，方差为，且噪声与信号不相关.即满足： (2.16)其中。
为白噪声方差，为单位矩阵 b. 阵列模型传感器按一定的方式布置在空间不同的位置上组成阵列，此传感器阵列能够接收空间传播信号，经过适当的自适应信号处理提取所需的信号源和信号属性等信息传感器阵列按传感器单元在空间分布形式的不同，可以分为平面阵、线阵和均匀圆阵这里只讨论均匀线列阵图2-4均匀线阵的几何示意图入射角. . . . . .设均匀线阵具有个阵元，如图2-4所示等间距排列成一条直线，以最左边第一个阵元为参考阵元，垂直于阵列的方向为法线方向假设信源位于远场，平面波信号的入射方向为为传播速度，则信号在阵列相邻阵元的到达时刻延时为： (2.17)于是，均匀线阵的方向向量的表达式为： (2.18) 对于个信源的均匀线列阵，方向矩阵表示为： (2.19) 均匀线阵的结构最简单，处理方便，是许多阵列处理方法研究时常用的阵列模型2.4 空间谱估计基础知识分辨力的概念在阵列测向中，在某方向上对信 源的分辨力与在该方向附近阵列方向矢量的变化率直接相关。
在方向矢量变化较快的方向附近，随信源角度变化阵列快拍数据变化也大，相应的分辨力也高在这里定义一个表征分辨力的量 (2.20) 越大则表明在该方向上的分辨力越高对于均匀线阵，则 (2.21) 说明信号在度方向分辨而在方向分辨力已降了一半，所以一般线阵的测向范围为〜2.5影响DOA估计结果的因素 信号的DOA估计结果受到多种因素的影响，即与入射信号源有关，也与实际应用中的环境有关下面给出几点比较重要的影响因素，并在后面章节的计算机仿真试验中分别检测它们对DOA估计性能的影响情况 1)信噪比假设信号和噪声具有平坦的带通功率谱密度，而且信号源功率为，噪声功率为，那么在这种情况下，信噪比可定义为 (2.22)信噪比的高低直接影响着超分辨方位估计算法的性能在低信噪比时，超分辨算法的性能会急剧下降，因而提高算法在低信噪比条件下的估计性能是超分辨DOA算法的研究重点2) 阵元数基阵的阵元数目也影响着超分辨算法的估计性能。
一般来说，在阵列其它参数一样的情况下，阵元数越多，超分辨算法的估计性能越好3) 快拍数在时域，快拍数定义为采样点数在频域，快拍数定义为做DFT(离散傅立叶)变换的时间子段的个数4) 信号源的相干性相干源问题是子空间类算法的致命问题，当信号源中存在相干信号时，信号协方差矩阵就不再为满秩矩阵，这种情况下，原有的超分辨算法便失效，因此，会大大的影响到DOA估计的性能 除了上面给出的影响因素外，在实际应用中还有其它的一些影响DOA估计性能的因素，比如阵元幅度相位不一致性、阵元间互耦、传感器位置误差等等第三章 旋转不变子空间算法3.1引言 1986年美国的Schmidt R O等人提出了多重信号分类(MUSIC)算法，它实现了向现代超分辨率测向技术的飞跃，也促进子空间分解类算法的兴起该类算法的共同特点是通过对阵列接收数据的数学分解(特征分解、奇异值分解等)，将接收数据划分为两个相互正交的子空间：一个是与信号源阵列流型空间一致的信号子空间，另一个则是与信号子空间正交的噪声子空间子空间分解类算法应用于阵列的波达方向估计有以下一些突出的优点： （1）多信号同时测向能力 （2）高精度测向 （3）对天线波束内的信号的高分辨测向 （4）可适用于短数据情况 （5）采用高速处理技术后可实现实时处理子空间分解类算法从处理方式上可分为两类：一类是以多重信号分类(MUSIC)算法为代表的噪声子空间类算法；另一类是以旋转不变子空间(ESPRIT)算法为代表的信号子空间类算法。
近几年，围绕着这两类子空间类算法，国内外学者提出了许多改进算法及算法变形，极大的提高了子空间类算法的性能及对不同环境的适应能力MUSIC算法需要对角度空间进行搜索，才能通过信号的针状谱峰得到DOA信息，这无疑增加了不必要的计算，降低了参数估计的时效性为了能有效增加算法性能，Roy，Paulraj和Kailath提出了ESPRIT的概念，其含义是利用旋转不变子空间估计信号参数(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)该算法估计信号参数时要求阵列的几何结构存在所谓的不变性，这个不变性可以通过两种手段获得：一是阵列本身存在两个或两个以上相同的子阵；二是通过某些变换获得两个或两个以上相同子阵由于这种算法在有效性和稳定行方面都有非常突出的表现，已经被公认为空间谱估计的一种经典算法，随着对ESPRIT算法的深入研究 ，ESPRIT算法进一步被广大学者接受并推广 ESPRIT算法的基本思想是，将阵列在结构上分成两个完全一致的子阵列，两个子阵列相应阵元偏移的距离是相等的，即阵列的阵元被分成一对对的形式，而且每一对之间都具有相同的平移距离。
这样入射角在两个子阵列上仅相差一个旋转不变因子，该因子包含了各个入射信号的波达方向信息，因此通过求解一个广义特征值方程可以得到入射信号的DOA.下面从ESPRIT算法的原理，分别讨论几类ESPRIT算法的经典方法，通过计算仿真实验分析这些算法理论与统计性能3.2旋转不变子空间算法原理3.2.1信号模型 算法介绍前，首先对信号进行建模为了推导分析的方便，将波达方向的数学模型做如下理想状态的假设：1) 阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于信号波长的二分之一2) 存生两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距△是己知的 3) 噪声序列为一零均值高斯过程，各阵元间噪声相互独立，噪声与信号也相互独立4) 空间信号为零均值平稳随机过程，通常为窄带远场信号5) 信号源数小于子阵阵列元数，信号取样数大于子阵阵列元数，以确保子阵阵列流型的各列线性独立6) 组成阵列的各传感器为各向同性阵元，且无互祸以及通道不一致的干扰图3-1均匀线阵的数学模型示意图下图给出了均匀线阵的数学模型示意图:3.2.2 算法原理对于均匀线阵，相邻子阵间存在一个固定间距，这个固定间距反映出各相邻子阵间的一个固定关系，即子阵间的旋转不变性，而ESPRIT算法正是利用了这个子阵间的旋转不变性实现阵列的DOA估计。
ESPRIT算法最基本的假设是存在两个完全相同的子阵，且两个子阵的间距是已知的由于两个子阵的结构完全相同，且子阵的阵元数为m，对于同一个信号而言，两个子阵的输出只有一个相位差，=1，2，… N下面假设第一个子阵的接收数据为，第二个子阵的接收数据为，根据前面所述的阵列模型可知 (3.1) (3.2)式中，子阵1的阵列流型=A，子阵2的阵列流型= ，且式中 （3.3）从上面的数学模型可知，需要求解的是信号的方向，而信号的方向信息包含在A和中，由于是一个对角阵，所以下面只考虑这个矩阵，即 （3.4）由上可知只要得到两个子阵间的旋转不变关系，就可以方便地得到关于信号到达角的信息下面的任务就是从式（3.1）和式（3.2）中得到两个子阵间的关系先将两个子阵的模型进行合并，即 （3.5）在理想条件下，可得上式的协方差矩阵 (3.6) 对上式进行特征分解可得 （3.7）显然上式中得到的特征值有如下关≥…≥＞=…=，US为大特征值对应的特征矢量张成的信号子空间，为小特征值对应矢里张成的噪声子空间。
对于实际的快拍数据，式(3.7)应修正如下： (3.8) 由前面的知识可知，上述的特征分解中大特征矢量张成的信号子空间与阵列流型张成的信号子空间是相等的即 (3.9)此时，存在一个惟一的非奇异矩阵T，使得 （3.10）显然，上述的结构对两个子阵都成立，所以有 （3.11） 很显然 ，由子阵1的大特征矢量张成的子空间、由子阵2的大特征矢量张成的子空间与阵列流型A张成的子空间三者相等，即 （3.12） 另外，由两个子阵列在阵列流型上的关系可知 （3.13）再利用式（3.11）可知两个子阵列的信号子空间的关系如下: （3.14）式（3.13）反映了两个子阵列的阵列流型间的旋转不变性，而式（3.14）反映了两个子阵的阵列接收数据的信号子空间的旋转不变性。
如果阵列流型A是满秩矩阵，则由式（3.14）可以得到 （3.15）所以上式中的特征值组成的对角阵一定等于，而矩阵T的各列就是矩阵特征矢量所以一旦得到上述的旋转不变关系矩阵，就可以直接利用式（3.4）得到信号的入射角度3.3 标准的旋转不变子空间算法有上节的知识可知， ESPRIT算法的基本原理就是利用式（3.14）的旋转不变性，常规的旋转不变子空间算法就是利用上述的基本原理求解信号的入射角度信息下面就分析解这个等式的两种最经典、应用最广泛方法:最小二乘（LS）法和总体最小二乘（TLS）法3.3.1 最小二乘法由最小二乘的数学知识，我们知道式（3.14）的最小二乘解的方法等价于，约束条件 （3.16）因此最小二乘法的基本思想就是使校正项尽可能小，而同时保证满足约束条件为了得到LS解，将式（3.14）代入式（3.16）即得 （3.17）对上式进行展开可得 = （3.18）上式对求导并令其等于0，可得 （3.19）上式的解显然有两种可能:(1) 当满秩时，也就是子阵1的信号子空间的维数等于信号源数时，则上式的解是唯一的，可得上式的最小二乘解 （3.20） (2) 当不满秩，即时，也就是信号源间存在相干或相差时，则存在很多解，但我们却无法区别对应于方程的各个不同的解，可以称这些解是不可辨识的，解的不可辨识性是我们需要解相干的原因所在。
下面给出LS-ESPRIT算法的求解步骤：1．由两个子阵的接收数据,，分别得到两个子阵的数据协方差矩阵；2．对矩阵对{R, }进行特征分解，从而得到两个数据矩阵的信号子空间和；3．按式（3.20）得到矩阵，然后对其进行特征分解.得到N个特征值，就可得到对应的N个信号的到达角当考虑嗓声影响时，上述基于最小二乘算法的估计都是有偏的，这就是为什么需要考虑总体最小二乘ESPRIT算法的原因3.3.2 总体最小二乘法 我们知道，普通最小二乘的基本思想是用一个范数平方为最小的扰动去于扰信号子空间，目的是校正中存在的嗓声显然这就存在一个问题：如果同时扰动和，并使扰动范数的平方保持最小，是否可以同时校正和中存在的嗓声?答案是肯定的，这就是总休最小二乘（TLS）的思想它考虑的是如下矩阵方程的解: (3.27)显然上式可以改写成 （3.28）所以TLS的解等价于 （3.29）定义如下一个矩阵，再结合上述分析过程我们发现其实就是寻找一个的酉矩阵F，便得矩阵F与正交，也就说明了由F张成的空间与或列矢量张成的空间正交。
所以矩阵F可从的特征分解中得到因为 （3.30）式中的是由特征值构成的对角矩阵，E是与其相应的特征矢量构成的矩阵即 （3.31）令是由对应特征值为0的特征矢量构成的矩阵.它属子噪声子空间，所以只要选择矩阵F使之等于、，即可满足上面提到的要求即有 (3.32)可得 （3.33）如果令，则 （3.34）上式说明的特征值即是对角线元素这说明通过构造一个矩阵就可得到有关信号角度的信息.而这个矩阵的构造可通过式（3.30）得到，即 （3.35）下面直接给出TLS-ESPRIT算法的求解步骤：1．由两个子阵的接收数据，, 由式(3.8)得到数据协方差矩阵R；2．通过矩阵对于的广义特征分解，得到维数为的信号子空间；3．由构造矩阵，并按式防（3.30）进行特征分解得到矩阵E，然后再按式(3.31)将矩阵分为四个小的矩阵；4．按式（3.35）得到矩阵，然后对其进行特征分解,得到N个特征值，就可得到对应的N个信号的到达角。
通过分析，我们可以得到标准ESPRIT算法的计算过程如下：(1)通过特征值或奇异值分解（EVD或SVD）分别估计两个存在旋转不变关系的子阵的信号子空；(2)用上述的LS、TLS等方法求解式（3.14）所示的不变等式；(3)计算的特征值，其中如式（3.3）所示然后利用式(3.4)求解人射信号的角度信息就ESPRIT算法而言，TLS算法与LS算法性能基本一致，只是在低信噪比情况下TLS算法性能略好3.4算法的计算机仿真及性能分析实验1 ESPRIT算法的性能分析采用阵元数M分别取10和20的均匀线阵，阵元间距为，窄带。