丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数的虚部为（A）3 （B） （C）4 （D） 【答案】A解析，所以虚部为3，选A.2. 设向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是（A）2 （B）-2 （C） （D）0【答案】B解析因为方向相反，所以设，则有，所以，解得，选B.3.展开式中的常数项是（A）6 （B）4 （C）-4 （D）-6【答案】A解析展开式的通项公式为，由，解得，所以常数项为，选A.4. 已知数列{an}， 则“{an}为等差数列”是“”的（A）充要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件 （D）既不充分又不必要条件【答案】C解析若{an}为等差数列，一定有若，不妨取数列，0,0,0,2,0，满足，当数列不是等差数列，所以“{an}为等差数列”是“”的充分而不必要条件，选C.5. 下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A） （B） （C） （D）【答案】C解析因为函数的周期是，所以，解得，排除A,B.当时，为最大值，所以图象关于直线对称，选C.6. 在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【答案】D解析其构成的区域D如图所示的边长为1的正方形，面积为S1=1，满足所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b为直角边长的直角三角形，其面积为，所以在区域D内随机取一个点，则此点满足的概率,由题意令，解得,选D．7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72【答案】B解析从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间，可用中选法，而6与8可以交换位置有种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有种方法，利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是.选B．8. 已知偶函数f(x)（x∈R），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）.关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线与图象G恰有5个公共点； ② 若对于，直线与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；③ ，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③【答案】D解析①当a=4时，偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：存在直线l，如y=0，与图象G恰有5个公共点；故①正确；②若对于，由于偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；故②正确；③，偶函数f（x）（x∈R）的图象如下：，使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；其中正确命题的序号是①②③．选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 圆的半径是________。
答案】1解析由，得，即，所以圆的标准方程为，半径为1.10.已知变量具有线性相关关系，测得的一组数据如下：，其回归方程为，则的值是 答案】0.9解析样本数据的平均数，，即回归直线过点，代入回归直线得，解得11.如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______ 【答案】2延长CO交⊙O于点E，由相交弦定理可得AD•DB=CD•DE，所以4×3=CD×（8﹣CD），解得CD=2或6．因为CD＜4，故CD=2．所以CD的长为2．12.若双曲线C: 的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是______答案】解析双曲线的离心率为，即，所以，，解得即双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为，不妨取渐近线为抛物线的焦点坐标为，由点到直线的距离公式可得，13.曲线在处的切线方程是______，在x=x0处的切线与直线和y轴围成三角形的面积为 答案】，2解析函数的导数为，所以，即，又，所以切线方程为，即可得在处的切线斜率为，故方程为：，令可得，令可得，故三角形的面积为.14.在圆上有一点P(4,3)，点E,F是y轴上两点，且满足,直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是________。
答案】解析过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG，则：G点坐标为（﹣4，3），PG⊥EF．因为PEF是以P为顶点的等腰三角形，所以PG就是角DPC的平分线，所以G就是圆弧CD的中点，所以OG⊥CD．设CD与y轴交于点A，PG与CD交与点M，PG与y轴交与点N，所以∠DAO+∠GOA=90°，又∠AMP+∠DAO=90°，所以∠CMP=∠GOA．所以直线CD的斜率等于.直角三角形GON中.三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题13分） 已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数0~5051~100101~150151~200201~300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根据以上信息，解决下列问题：（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX.频率分布表分组频数频率[0,50] 14(50,100] ax(100,150]5(150,200]by(200,250]2合计30117. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D段AC上，于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））. （Ⅰ）求证：PBDE；（Ⅱ）若PEBE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长. 图（1） 图（2）18.（本小题13分）已知函数 .（Ⅰ）当时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若a>0，讨论的单调性.19.（本小题14分）已知椭圆C：的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m,) 满足，且.（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；（Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；（Ⅲ）若∆BME面积是∆AMF面积的5倍，求m的值. 20.（本小题14分）已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列中，.记集合 ，，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列.（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式，并写出数列的前4项；（Ⅱ）把集合中的元素从小到大依次排列构成数列，求数列的通项公式，并说明理由；（Ⅲ）求数列的前n项和丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ABACC DBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 12.； 13. 3x+y-4=0, 2； 14. .三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题13分） 已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.解: （Ⅰ）, ……………………….2分, ……………………….4分°. …………………….6分（Ⅱ）在中, ,或(舍),………….10分 . …………………….13分16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数0~5051~100101~150151~200201~300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根据以上信息，解决下列问题：（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX.频率分布表分组频数频率[0,50] 14(50,100] ax(100,150]5(150,200]by(200,250]2合计301解：（Ⅰ）, ………………………….4分 （Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=，………..5分 . ………………………….10分的分布列为: X01234P ………………………….11分X~B(4，), . ………………………….13分17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D段AC上，于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））. （Ⅰ）求证：PBDE；（Ⅱ）若PEBE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE的长. 图（1） 图（2）解: （Ⅰ），,DEPE, ……………….2分， DE平面PEB, , BP DE; ……………………….4分（Ⅱ）PEBE， PEDE，,所以，可由DE,BE,PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分设PE=a，则B(0,4-a ,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，……………………7分xyz，,……………………8分设面PBC的法向量,令, , …………10分 …………….10分, ……………………….12分BC与平面PCD所成角为30°, . ……………………….11分 ， 解得：a=,或a=4(舍)，所以，PE的长为.……………………….13分18.（本小题13分）已知函数 .（Ⅰ）当时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若a>0，讨论的单调性.解：（Ⅰ）的定义域为, ……………………….1分当时， ……………………….2分令在[1,e]上得极值点x20增减 ……………………….4分 ……………………….5分. ………………….7分（Ⅱ）， ……………………….8分① 时，由>0得0,所以f(x)的单调增区间是(0,2),,由<0得20得02,所以f(x)的单调增区间是(0,),,由<0得
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，因为“3×2×4n-1” 数列的公差3的整数倍，所以说明b2n 与b2n+2同时属于A或同时不属于A，当n=1时，显然b2=2A，即有b4=2A，重复使用上述结论，即得b2nA，dn =22n-1； ………………………………………8分（Ⅲ）（1）当n=1时，所以因为，所以S1=1； ………………..9分（2）当n≥2时，由（Ⅱ）知，数列{bn}中，b2n-1∈A，b2nA，则，且k