12-1随机事件的概率12.1随机事件的概率1事件的相关概念2频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次次数次数nA试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的_为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)的频率P(A)为事件A出现(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随3事件的关系与运算4.概率的几个基本性质0P(A)1(1)概率的取值范围：_10(2)必然事件的概率为_(3)不可能事件的概率为_P(A)P(B)(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B11P(B)互斥，则P(AB)_(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生频率与概率是相同的()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发1甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.5 B.26 5 C.16 D.13 【解析】设“两人下成和棋”为事件A，“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件，所以甲不输的概率PP(AB)P(A)115P(B)236.【答案】A 2A必然事件C不可能事件(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，5次”是()B随机事件D无法确定其中“正面向上恰有【解析】抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，正面向上5次是随机事件【答案】B 3从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160，175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2 C0.7 B0.3D0.84给出下列三个命题，其中正确的命题有 _个 有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品；做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因3此正面出现的概率是7；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 3【解析】错，不一定是 10 件次品；错，7是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念 【答案】0 题型一事件关系的判断【例1】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()【解析】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件【思维升华】(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生跟踪训练1 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A“取出的2球同色”，B“取出的2球中至少有1个黄球”，C“取出的2球至少有1个白球”，D“取出的2球不同色”，E“取出的2球中至多有1个白球”下列判断中正确的序号为_【解析】当取出的 2 个球中一黄一白时，B与C都发生，不正确当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则不正确显然A与D是对立事件，正确CE不一43定为必然事件，P(CE)1，不正确 由于P(B)5，P(C)5，所以不正确【答案】题型二随机事件的频率与概率【例2】(2019全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年上年度出险012345度出险次数的关联如下：次数保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内出险次数012345频数605030302010的出险情况，得到如下统计表：(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由6050所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为2000.55，故P(A)的估计值为 0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于 1且小于 4.由所3030给数据知，一年内出险次数大于 1且小于 4的频率为2000.3，故P(B)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得保费频率0.85aa1.25a1.5a1.75a2a0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.【思维升华】(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法跟踪训练2 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解析】(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200位顾客同时购买了乙和丙，200所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为1 0000.2.(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以100200估计为1 0000.3.(3)与(1)同理，可得：200顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1 0000.2，100200300顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.61 000100顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1 0000.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.题型三互斥事件、对立事件的概率【例3】(2018洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率排队人数概率5人及5人以上0.04如下：01230.340.10.10.160.3求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？【解析】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G(2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.【思维升华】求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥跟踪训练3 国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：10环命中环数概率0.329环0.288环0.187环0.12求该射击队员射击一次：(1)命中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率【解析】记“射击一次，命中k环”为事件Ak(kN，7k10)，则事件Ak彼此互斥(1)记“射击一次，命中9环或10环”为事件A那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60.，(2)记“射击一次，至少命中 8 环”为事件B，则B表示事件“射击一次，命中不足 8 环”又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得 P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.故P(B)1P(B)10.780.22.因此，射击一次，命中不足 8 环的概率为 0.22.。