多元正态分布新1第一章第一章 多元正态分布及其参数估计多元正态分布及其参数估计多元正态分布新2多元正态分布的重要性：多元正态分布的重要性：（1）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接）多元统计分析中很多重要的理论和方法都是直接或间接 地建立在正态分布地建立在正态分布 基础上的，许多统计量的极限分布往往和基础上的，许多统计量的极限分布往往和 正态分布有关正态分布有关2）许多实际问题涉及的随机向量服从多元正态分布或近似）许多实际问题涉及的随机向量服从多元正态分布或近似 服从正态分布因此多元正态分布是多元统计分析的基础服从正态分布因此多元正态分布是多元统计分析的基础一、多元正态分布的定义一、多元正态分布的定义定义定义1：若若p维随机向量维随机向量 的密度函数为：的密度函数为：其中，其中，是是p维向量维向量 是是p阶阶正定矩阵，则称正定矩阵，则称X服从服从p维正态分布，记为维正态分布，记为 ),(1pXXX)()(21exp)2(1),(12/11xxppxxfx),(1pxx),(XpN1多元正态分布的定义及其性质多元正态分布的定义及其性质多元正态分布新3定义定义2：独立标准正态变量独立标准正态变量 的有限线性组合的有限线性组合 mXX,1mmppXXAYYY11称为称为p维正态随机变量，记为维正态随机变量，记为 其中其中但是但是 的分解一般不是唯一的。
的分解一般不是唯一的),(YpNAA AA pmppmmaaaaaaaaaA212222111211多元正态分布新4定义定义3：若随机向量：若随机向量X的特征函数为：的特征函数为：其中其中t为实向量，则称为实向量，则称X服从服从p元正态分布特征函数定义的元正态分布特征函数定义的优点在于可以包含优点在于可以包含 的情况ttt it21exp)(0多元正态分布新5特别地，特别地，二元正态分布二元正态分布：),(),(221NXXX2222211221121121),()1,0,0(2122112121222221112211),cov(),(,)()(,XXXXXVarXVarEXEX)(2)()()1(21exp121),(2211111122222211112222221121xxxxxxf多元正态分布新6二元正态分布曲面()0,1,112222211多元正态分布新7二元正态分布曲面()75.0,4,212222211多元正态分布新8即即 ，两个随机变量独立，两个随机变量独立而而 可以求得可以求得 的边缘密度函数为：的边缘密度函数为：21121111112)(exp21)(xxf22222222222)(exp21)(xxf21,XX当当 时时X1与与X2不相关，对于正态分布来说不相关和独立不相关，对于正态分布来说不相关和独立等价。
因为此时：等价因为此时：0为为X1和和X2的相关系数的相关系数2)()(exp21),(222211222211221121xxxxf)()(),(2121xfxfxxf多元正态分布新9二、多元正态分布的性质二、多元正态分布的性质 性质性质1：若：若 ，是对角矩阵，则是对角矩阵，则 相互独立相互独立性质性质2：若：若 则则 ),(),(1XppNXX pXX,1),(XpN维常数向量为阶常数矩阵，为sdpsA),(AAdANdAXs性质性质3：若：若 ，将，将 作剖分：作剖分：则则),(XpN,XpppXXX22211211)2()1()2()1(,),(),(22)2()2(11)1()1(NXNX多元正态分布新10性质4：p 元正态分布的条件分布仍服从正态分布即在某些变量取固定值时，另外一些变量的分布仍然服从多元正态分布多元正态分布新11三、正态分布数据的变换三、正态分布数据的变换若一批多元数据不满足正态分布时，可以对数据进行正态变换一般来说常采用幂变换，如果想使值变小可以采用变换：21411,ln,xxxx如果想使值变大，则采用变换：32,xx不管使用哪种幂变换，还应该对变换后的数据的正态性做检验.多元正态分布新122多元正态分布的参数估计多元正态分布的参数估计 一、多元样本及其样本数字特征一、多元样本及其样本数字特征多元样本阵多元样本阵记记npnnppXXXXXXXXX212222111211XniXXXXipiii2,1),(21)(多元正态分布新132、多元样本的数字特征、多元样本的数字特征样本均值：样本均值：pnpnppniiXXXXXXXXXXXXnn2112122221112111)(11样本均值向量可以用样本矩阵表示出来，即)1,1,1(11nn11XnXp多元正态分布新14因为：XXXXXXXXXXXXXnXXXXXXXXXnnpnpppnnpnnnpp21212221212111212221212111n111111X多元正态分布新15样本离差阵样本离差阵ppijppppppnipippipipippipiiiipipiiiipipiinipipiiiniippssssssssssXXXXXXXXXXXXXXXXXxXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXS)()()()()()()()()()()()(212222111211122211122222112112211211221112211)(1)(多元正态分布新16样本协方差矩阵样本协方差矩阵 或或 SnV1SnV11样本离差阵用样本资料阵表示为：XX)1(nn11 nISn多元正态分布新17因为XXXXXXXXXX)1(1)()()()()()()(1)(1)()()()()(1)(1)()(1)(nnnn1111nInXXnXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXSnniiniiiiiiniiniiinii多元正态分布新18二、多元正态总体的最大似然估计及其性质二、多元正态总体的最大似然估计及其性质利用最大似然法求出利用最大似然法求出 和和 的最大似然估计为：的最大似然估计为：SnX1多元正态分布新19)()(21exp)()(1)(12iininpxx2)()()(),()()2()1(nxfxfxfL)()(21exp)2()(1)(2121 iipnixx求解过程求解过程似然函数为：似然函数为：)()(21exp)()(1)(12iininpxxtr2)(21exp)()()(112iininpxxtr2)(21(exp)()()(112iininpxxtr2多元正态分布新20对数似然函数为：对数似然函数为：)(21|ln22ln2),(ln)()(11iinixxtrnnpL)(21|ln22ln211xxnStrnnp)()(2)(21|ln22ln211xxnStrnnp)(21|ln22ln21Strnnp时等号成立仅当x多元正态分布新21)()()()()()()()()(1)(11)()()(1)()(1)()(xxnSxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxniininiiiiniiiniii多元正态分布新22)(21|ln22ln2),(ln1StrnnpXL)(|ln22ln21nStrnnp)(|ln|ln22ln211nStrnSnSnnp)(|ln|ln22ln221212121nStrnSnSnnp|ln222ln2nSnnpnpnS时等号成立，即pInSA2/12/1（引理：设A为p阶正定矩阵，则 当A=I等号成立。
pAAtrln)(多元正态分布新23最大似然估计的性质最大似然估计的性质 ，即，即 是是 的无偏估计的无偏估计即，即 不是不是 的无偏估计的无偏估计即，即 是无偏估计是无偏估计分别是分别是 的最小方差无偏估量的最小方差无偏估量3.分别是分别是 的一致估计的一致估计)(XEXnnSnE1)1(Sn1)11(SnESn 11SnX11,)11(1,SnSnX,多元正态分布新24三、维斯特三、维斯特（Wishart）分布分布-一元一元 分布的推广分布的推广定义：定义：设设 个随机向量个随机向量 独立同分布于独立同分布于 ，则随机矩阵则随机矩阵 服从自由度服从自由度为为n的非中心维斯特分布，记为的非中心维斯特分布，记为n),3,2,1(),(21)(niXXXipiiiX ),(pNni 1)()(iiW),(nWWp2随机矩阵的分布：随机矩阵的分布：npnnppXXXXXXXXXX212222111211将该矩阵的列向量（或行向量）连接起来组成的长向量称为拉直将该矩阵的列向量（或行向量）连接起来组成的长向量称为拉直向量，拉直向量的分布定义为该矩阵的分布，如果是对称矩阵则向量，拉直向量的分布定义为该矩阵的分布，如果是对称矩阵则只取其下三角的部分拉直即可。
只取其下三角的部分拉直即可多元正态分布新25性质：性质：（1）若）若W1和和W2独立，其分布分别为独立，其分布分别为 和和 ，则，则 分布为分布为 ，即维斯特，即维斯特(Wishart)分布有可加性分布有可加性2），C为为mp阶的矩阵，则阶的矩阵，则 的分布为的分布为 ),(nWWpCCW),(1nWp),(2nWp21WW),(21nnWp),(CC nWm多元正态分布新26定理：定理：设设 分别是来自正态总体分别是来自正态总体 的样本均值的样本均值和离差阵和离差阵，则，则(1)(2)相互独立相互独立S为正定矩阵的充分必要条件是为正定矩阵的充分必要条件是 npSX,),(pN)1,(nNXp),1(nWSpSX,11多元正态分布新27一元正态总体：nXX,1为来自一元正态总体的一组样本211)(1niiniiXXSXnX定理：是相互独立的与SX证明：构造正交矩阵)1()1()1(1)1(1)1(1)1(10023223123100012112111111nnnnnnnnnnnnnnnnA多元正态分布新28做变换nnXXXAYYY2121XnXnYnii1112121212)(XnXXXXXAXAXYYYniiniiniiniiniiYYYS2221122多元正态分布新29第三章多元正态总体参数的假设检验第三章多元正态总体参数的假设检验一、一、Hotelling T2分布分布 一元一元t分布的推广分布的推广定义定义 设设 ，且，且X与与S相互独立，相互独立，则称统计量则称统计量 的分布为非中心的的分布为非中心的Hotelling T分布，记为分布，记为 ，当，当 时称为中心时称为中心的的HotellingT2分布。
记为分布记为),(),(nWSNXpppn XSXnT12),(22npTT0),(22npTT一元一元t分布分布：设总体设总体 是一组样本是一组样本,则统计量则统计量 ),(2NXnXX,1多元正态分布新30)1()(ntXnt其中niiXXn12)(11)()()()(12222XXnXntXSXnT12与 类似并且)1,1()()()()(12222nFXXnXnt多元正态分布新31定理：设定理：设 且且X与与S相互独立，相互独立，令令基本性质基本性质:),(),(nWSNXpp0XSXnT12则则)1,(12pnpFTnppn多元正态分布新32二、多元正态总体均值向量的假设检验二、多元正态总体均值向量的假设检验1.单个正态总体单个正态总体(1)协方差矩阵协方差矩阵 已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验01000:为已知向量）(:HH检验统计量检验统计量)()()()(201020pXXnT设水平为设水平为 ，查表确定，查表确定 ，使得，使得（当（当H0成立时）成立时）)(20TP拒绝域为：拒绝域为：20T多元正态分布新33当原假设成立时)1,(0nNXppZZZXnZ2102/1)(令pIDZEZ,0),0(ppINZZZT20多元正态分布新34(2)协方差矩阵协方差矩阵 未知时均值向量的检验未知时均值向量的检验 01000:为已知向量）(:HH检验统计量检验统计量),()1(2pnpFTpnpn)1,()()(1(20102npTXSXnnT拒绝域为：拒绝域为：),()1()(2pnpFTpnpn多元正态分布新35例：人的出汗多少于人体内钾和钠的含量有一定的关系。
测得20名健康成年女性的出汗多少（X1）、钠的含量(X2)和钾的含量（X3）的数据，做如下的假设检验：0100:)10,50,4(:HH多元正态分布新36例：在企业市场结构研究中，起关键作用的指标有市场份额X1，企业规模（资产净值总额的对数）X2，资本收益率X3,总收益增长率X4.为了研究市场结构的变动Shepherd（1972）抽取了美国231个大型企业，调查了这些企业1960-1969年的资料假设以前企业市场结构指标的均值向量为：而该次调查得到的企业市场结构指标的均值向量和协方差矩阵为：)2,10,5.7,20(009.178.1106.892.20X346.1233.2019.0156.0233.2626.26222.0639.1019.0222.0513.1080.0156.0639.1080.0260.0多元正态分布新37试问市场结构是否发生了变化？0100:)2,10,5.7,20(:HH865.0066.0007.0105.0066.0068.0030.0397.0007.0030.0687.0405.0105.0397.0405.0536.6191.078.156.092.00X多元正态分布新38带入到T2统计量中得到78.3074.1247423042314.124740.5*2312FT临界值37.2)227,4(05.0F因此拒绝原假设，认为市场结构已经发生了显著的变化。
多元正态分布新392.协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验设且两组样本相互独立1）有共同已知的协方差矩阵 mYYYYnXXXXpp,2,1),(,2,1),(21)(21)(211210:HH多元正态分布新40检验统计量为：成立时）02120()()()(HpYXYXmnnmT拒绝域为：20T多元正态分布新41（2）有共同的未知协方差矩阵211210:HH检验统计量为：成立时）02()1,()2(1)2(HpmnpFTpmnpmnF)()()2(12YXmnnmSYXmnnmmnT多元正态分布新42 21SSS)()()()()(1)(2)(1)(1YYYYSXXXXSnn用 代替即可得到上述统计量2)1()1(21mnSmSn多元正态分布新43例：为了研究日美企业在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异，现从两国在华投资企业中各抽出10家，让其对如下 指标进行打分假设两组来自正态总体，有共同的未知协方差矩阵，且两组样本相互独立211210:HH多元正态分布新44经计算)5.70,40,51,5.50()63,5.30,43,64(YX101)()(1510844228845.3323804223510170880170410)(XXXXS多元正态分布新45101)()(25.7625.5213955.31475140165561140390605165605.512)(YYYYS21SSS0025.00002.00016.00002.00002.00013.00004.00002.00016.00004.00022.00003.00002.00002.00003.00011.01S多元正态分布新46代入统计量中得：查F分布表得：显然有：故拒绝原假设，认为日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价存在差别。
6913.7F89.4)15,4(01.0F)15,4(01.0FF 3.协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验略多元正态分布新47一元方差分析一、方差分析的概念及有关术语 方差分析是根据实验数据来推断一个或多个因素在其状态变化时是否会对实验指标产生显著影响的一种数理统计方法方差分析可以用来研究分类型自变量(名义测度）对数值型因变量的影响包括它们之间有没有关系、关系的强度如何等，也就是研究一个或多个因素变化时不同总体的某个指标是否有显著差异，所采用的方法就是检验各个总体的均值是否相等方差分析是用于评价实验的最重要的分析方法4.多个正态总体均值向量的检验（多元方差分析）多元正态分布新48例子：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本每个行业中所抽取的样本在服务对象、服务内容、企业规模等基本上是相同的，统计出消费者对23家企业的投诉次数，现判断几个行业的服务质量是否有差别投诉次数如下表：返回多元正态分布新49假定各个行业在服务对象、服务内容、企业规模等基本相同的前提下，要分析4个行业的服务质量是否有显著差，实际上就是判断“行业”对投诉次数是否有显著影响，即“行业”为自变量，投诉次数为因变量。
做出这种判断最终归结为检验4个行业被投诉次数的均值是否相等如果相等则认为行业因素对投诉次数是没有影响的，如果均值不全相等，则意味着行业因素对服务质量有影响在做假设检验时每个行业看作是一个总体，因此我们可以简单概括为：方差分析主要用来对方差分析主要用来对多个总体均值是否相等多个总体均值是否相等作出假设检验作出假设检验多元正态分布新50典型的应用实例：不同影院节目宣传方式（如海报和报纸广告）对票房有何影响？影院老板为了知道答案，每次仅用一种方式宣传一段时期，就可以获得样本数据进行方差分析两种营销手段单独作用或共同作用分别对目标变量有何影响？例如，一位果酱生产商认为，商标名称和销售途径有重要影响，于是他对三个不同的商标名称在两种不同销售途径下进行测试1.对同一个年级的几个班级用不同的教学方法，调查教学效果多元正态分布新51相关术语因素（因子）因素（因子）：在方差分析中，所要检验的对象称为因素或因子例子中的“行业”水平水平：因素中的不同表现称为水平例子中的零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是“行业”因素的具体表现，即水平单因素方差分析单因素方差分析：只针对一个因素进行分析；多因素方差分析多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
多元正态分布新52（1 1）每个总体（因素的各个水平）的相应变量服从正态分布也就是说，对于因素的每个水平，其观测值是来自正态总体的简单随机样本,上例中每个行业的投诉次数应服从正态分布2 2）所有总体的方差相等2也就是说，各组观测数据来自相同方差的正态总体上例中4个行业被投诉次数的方差相同3 3）不同观察值相互独立每个样本点的取值不影响其他样本点的取值）上例中，每个企业被投诉的次数与其他企业被投诉的次数是相互独立的方差分析的三个基本假定多元正态分布新53问题的一般提法设因素有r个水平，每个水平的均值分别为 ，要检验r个水平（即为r个总体）的均值是否相等，提出如下假设：与原来两两总体的假设检验方法相比，方差分析不仅可以提高检验的效率，同时由于它是将所有的样本信息结合在一起，因此增加了分析的可靠性上例中如果用一般的假设检验方法，需要两两组合作6次检验r,21,不全相等rrHH,:211210多元正态分布新54我们画出不同行业投诉次数的散点图零售业 旅游业 航空 家电制造业80604020 0投诉次数行业 多元正态分布新55 图中的折线是由投诉次数的均值连接而成的从图中可以看出不同行业投诉次数是有显著 差异的，而且即使在同一个行业，不同企业的投诉次数也明显不同这表明行业与被投诉次数有关系，因为如果行业与被投诉次数之间如果没有关系，不同行业被投诉次数的均值应该差不多相同。
但是，仅仅从散点图上还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉次数之间有显著差异，因为也许这种差异是由于抽样的随机性所造成的因此需要通过对数据误差来源进行分析来判断不同总体的均值是否相等，进而分析某一个因素对实验结果是否有影响因此进行方差分析时，需要考察数据误差的来源多元正态分布新56 首先，我们注意到同一行业（同一总体）下，样本的观测值是不同的因为企业是随机抽取的，因此他们之间的差异可以看成是由随机因素的影响造成的，或者说是由抽样的随机性造成的，我们称之为随机误差其次，在不同的行业（不同的总体）下，各个观测值也是不同的这种差异除了抽样的随机性造成的，也可能是由于行业因素本身造成的，由不同行业所形成的误差称之为系统误差数据的误差用平方和表示衡量因素的同一水平下（同一总体）下样本数据的误差，称为是组内误差例如，零售业所抽取的7家企业被投诉次数之间的误差衡量因素的不同水平（不同总体）下样本之间的误差，称为组间误差例如，零售业、旅游业、航空业、家电制造业之间被投诉次数之间的误差多元正态分布新57显然，组内误差只包含随机误差，组间误差既包含随机误差也包含系统误差假如不同行业对投诉次数没有影响，那么在组间误差中只包含随机误差，而没有系统误差。
这时，组内误差和组间误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就接近于1.反之，如果不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外还包含系统性误差，这时组间误差平均后的值就会大于组内误差平均后的值，它们的比值就会大于1，当这个比值大于某个临界值时，我们就可以说因素的不同水平之间存在显著差异因此判断行业对投诉次数是否有显著影响这一问题，实际上就是检验投诉次数的差异主要是由什么原因引起的如果这种差异主要是系统误差，我们就说不同行业对投诉次数有显著影响多元正态分布新58如果原假设成立：如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统性影响），只剩下随机性影响，因此组间误差与组内误差差别不大，它们的比接近于1如果原假设不成立：如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系统性影响），组间误差与组内误差差别较大，它们的比远超出1构造统计量：组内误差组间误差F多元正态分布新59nxxrjniijj11 为全体样本合并的大样本的样本均值大样本的样本均值jniijjnxxj1为第 j个总体的样本均值的样本均值xij=第j 个子样本中第 i 个观测值；nj=第 j个子样本的样本容量其中，n=n1+n2+nr r为总体的个数于是，大样本的大样本的总误差平方和总误差平方和(Sum of Squares for Total，SST)为：rjniijjxxSST121)(设39误差平方和的计算误差平方和的计算多元正态分布新60211112112)()()(xxxxxxrjnijrjnijijrjnijijjjj rjnijijrjjjjxxxxn11221)()(可以证明：第一项第一项是各子样本均值与合并的大样本的公共均值的离差平方和，它反映了因素不同水平对总离差平方和的影响（系统性影响），称为组间误差平方和组间误差平方和(因素效应误差平方和）因素效应误差平方和）（Sum of Squares for Factor A,SSA)；第二项第二项是各子样本内部离差平方和之和，反映了随机性因素的影响(误差性影响），称为组内误差平方和组内误差平方和(Sum of Squares for Error，SSE）。
SSTSSESSA多元正态分布新61各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少对误差平方和大小的影响，用各个平方和除以自由度即得到平均平方误差平均平方误差，简称均方误差，简称均方误差：即 SST=SSA+SSE 总误差平方和总误差平方和=组间误差平方和组间误差平方和+组内误差平方组内误差平方和和rnSSEMSErSSAMSA1构造F统计量：MSEMSAF 当原假设成立时),1(rnrFF多元正态分布新62根据给定的显著性水平，查表得到拒绝域：FF 上例中，经计算13.3)9,3(4.305.0FF说明不同行业被投诉次数的均值有显著差异，这意味着行业（自变量）与投诉次数（因变量）之间的关系是显著的多元正态分布新63关系强度的测量上述F统计量只能表明自变量和因变量之间是否有关系，不能表明关系的强弱，为了度量相关强度定义判定系数：SSTSSAR 2R2越大说明关系越强，越小关系越弱类似于相关系数上例中，R2=0.349759这表明行业对投诉次数的影响效应占总效应的34.9759%，而残差效应则占65.0241%多元正态分布新64方差分析中的多重比较上面的分析得出的结论是不同行业被投诉次数的均值是不全相同的，但是究竟哪些均值不相等呢，也就是这种差异究竟出现在哪些行业之间呢？则需要对总体均值进行两两比较。
多重比较的方法有很多，我们简单介绍一下由Fisher提出的最小显著差异方法（LSD方法）检验步骤为：第一步：提出原假设：jijiHH:,:10第二步：计算检验统计量：|jixx 第三步：计算LSD，公式为：)11()(2jinnMSEkntLSD第四步：根据显著性水平做出决策：如果则拒绝原假设，否则接受原假设LSDxxji|多元正态分布新65例：对4个行业的均值作多重比较05.0第一步：提出假设431430311310211210:,:,:,:HHHHHH：检验：检验：检验621第二步：计算检验统计量24593514354914849433121xxxxxx多元正态分布新66第三步：计算LSD80.15)6151(5.142093.223.10)5171(5.142093.290.13)6171(5.142093.2621LSDLSDLSD：假设：假设：假设621第四步：做出决策90.13121 xx不能拒绝原假设，说明零售业和 旅游业之间的投诉次数没有显著差异多元正态分布新67双因素方差分析 单因素方差分析只是考虑一个分类型自变量对数值型因变量的影响如果同时需考虑两个因素A与B对实验结果的影响，则可进行双因素方差分析双因素方差分析。
例：分析影响彩电销售量的因素，需要考察品牌、销售地区等因素的影响现有4种品牌的彩电在5个地区进行销售，为分析彩电的“品牌”因素和“地区”因素对销售量是否有影响，调查数据如下：地区因素地区因素地区地区1地区地区2地区地区3地区地区4地区地区5品品牌品牌1365350343340323牌品牌品牌2345368363330333因品牌品牌3358323353343308素品牌品牌4288280298260298多元正态分布新68双因素方差分析的数据结构多元正态分布新69在双因素方差分析中因为有两个因素，例如“品牌”和“销售地区”两个因素，如果两个因素对销售量的影响是相互独立，我们分别判断两个因素对销售量的影响，称为无交互作用的双因素方差分析如果除了两个因素的单独影响外，两个因素的搭配还会对销售量产生新的影响效应，例如，某个地区对某个品牌的彩电有特殊偏好，这就是两个因素结合后产生的新效应，此时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析多元正态分布新70无交互作用的双因素方差分析为了检验两个因素的影响，需要分别对两个因素提出假设对行因素提出的假设为：不全相等krHH,:211210对列因素提出的假设为：不全相等kkHH,:211210地区对销售量没有显著影响品牌对销售量没有显著影响多元正态分布新71误差平方和的分解误差平方和的分解SSESSBSSASST其中:rjkiijxxSST112)(rjjrjkijxxkxxSSA12112).().(21211).().(xxrxxSSBkiirjkii可以证明:rjkijiijxxxxSSE112.)(多元正态分布新72分别构造统计量)1)(1(,1()1)(1/(1/)1)(1(,1()1)(1/(1/rkrFrkSSErSSBFrkkFrkSSEkSSAFBA关系强度的测量SSTSSBSSAR2反应了这两个因素联合起来与因变量之间的相关程度。
多元正态分布新73有交互作用的方差分析路段路段1路段路段212619高22420峰32723期425225252162018非71717高82213峰92116期101712例：分别在两个路段和高峰期及非高峰期进行驾车实验，得到20个驾车时间的数据：多元正态分布新74个值的总均值全部个水平的样本均值个水平，列因素第对应于行因素第个水平的样本均值列因素第个水平的样本均值行因素第行的观测值个水平的第个水平，列因素第对应于行因素第nxjixjxixljixijjiijl:.rjkimlijlxxSST1112)(rjjxxkmSSB12).(kiixxrmSSA12.)(rjkijiijxxxxmSSRC112.)(假设行变量有k个水平，列变量有r个水平，行变量每个水平的行数为m多元正态分布新75构造统计量：)1(/1/mkrSSEkSSAFA)1(/1/mkrSSErSSBFB)1(/)1)(1/(mkrSSErkSSRCFRCSSRCSSBSSASSTSSE多元正态分布新76Wilks分布在一元统计中，方差是刻画随机变量分散程度的一个重要特征，而在多元情况下方差变为协防差矩阵如何用一个数量指标来反映协方差矩阵所体现的分散程度呢？有的用行列式，有的用迹，目前使用较多的是行列式。
定义1：若为广义方差式则称协方差矩阵的行列),(pNX为样本广义方差其中称Sn1)()()(1)(XXXXSinii定义2：若,0),(,),(22111nWApnnWApp相互独立，则称和且21AA211/AAA的分布为Wilks分布，记为 ，其中 为自由度),(21nnp21,nn在实际应用中把 统计量转化为 T2统计量，进而转化为F统计量多元正态分布新77多元方差分析（多个正态总体均值向量的检验）设有k个p元正态总体),(,),(1kppNN从每个总体抽取独立样本个数为nnnnnnkk211,设数据结构为：ktXXXxxxxxxxxxtntttpntntntptttpttkkkk,2,1)()(2)(1)()(2)(1)(2)(22)(12)(1)(12)(11全部样本的均值向量pktnitipXXXXnXt2111)(11各总体的均值向量：ktXXXXnXtpttnitittpt,2,1,1)()(2)(11)()(1多元正态分布新78与一元方差分析的思想类似，离差平方和变成了离差阵：)()(阵组间离)(1)(XXXXnAtkttt：差矩ktnitititXXXXB11)()()(组内离差矩阵：ktnitititXXXXT11)()()(总离差矩阵：多元正态分布新79提出假设：不全相等kkHH,211210:用似然比原则构造的检验统计量为：)1,(kknpBABTB给定检验的显著性水平，查Wilks分布表，确定临界值，拒绝域为：如果没有Wilks分布表可以用 分布和F分布来近似。
2多元正态分布新80例：1999年国家财政部、国家经贸委、人事部和国家计委联合发布了国有资本金绩效评价规则其中竞争性工商企业的评价指标体系见表我们借助这一指标体系对我国上市公司的运营情况进行分析，利用该数据进行方差分析经过正态性检验我们认为由净资产收益率、总资产报酬率、资产负债率及销售增长率这四个指标组成的向量服从正态分布这四个指标涉及了公司的获利能力、资本结构及成长能力，我们认为这四个指标可以对公司的运营能力作出近似的度量多元正态分布新81多元正态分布新82。