八坐标系与参数方程【核心知识必记核心知识必记】1.1.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点把直角坐标系的原点作为极点,x,x轴正半轴轴正半轴作为极轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度且在两坐标系中取相同的长度单位单位.如图如图,设设M M是平面内的任意一点是平面内的任意一点,它的它的直角坐标、极坐标分别为直角坐标、极坐标分别为(x,y)(x,y)和和(,)(0),(,)(0),于于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:2.2.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2)(2)如果知道变数如果知道变数x,yx,y中的一个与参数中的一个与参数t t的关系的关系,例如例如x=f(t),x=f(t),把它代入普通方程把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的求出另一个变数与参数的关系关系y=g(t),y=g(t),那么那么 就是曲线的参数方程就是曲线的参数方程.xf tyg t，3.3.直线的极坐标方程直线的极坐标方程若直线过点若直线过点M(M(a a,a a),),且极轴逆时针旋转直线的角为且极轴逆时针旋转直线的角为,则它的方程为则它的方程为sin(-)=sin(-)=a asin(sin(a a-).-).几个特殊位置的直线的极坐标方程几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)(1)直线过极点直线过极点:=.:=.(2)(2)直线过点直线过点M(a,0)(a0)M(a,0)(a0)且垂直于极轴且垂直于极轴:cos=a.:cos=a.(3)(3)直线过直线过M M 且平行于极轴且平行于极轴:sin=b.:sin=b.(b,)24.4.圆的极坐标方程圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)(1)当圆心位于极点当圆心位于极点,半径为半径为r:=r.r:=r.(2)(2)当圆心位于当圆心位于M(r,0),M(r,0),半径为半径为r:=2rcos.r:=2rcos.(3)(3)当圆心位于当圆心位于M M ,半径为半径为r:=2rsin.r:=2rsin.(r,)25.5.直线的参数方程直线的参数方程经过点经过点P Pa a(x(x0 0,y,y0 0),),倾斜角为倾斜角为的直线的参数方程为的直线的参数方程为 (t(t为参数为参数).).00 xxtcos,yytsin6.6.圆、椭圆的参数方程圆、椭圆的参数方程(1)(1)圆心在点圆心在点M(xM(x0 0,y,y0 0),),半径为半径为r r的圆的参数方程为的圆的参数方程为 (为参数为参数,02).,02).(2)(2)椭圆椭圆 =1=1的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数).).00 xxrcosyyrsin，2222xyabxacos,ybsin【易错易混提醒易错易混提醒】1.1.参数方程与普通方程的互化中容易出现错误参数方程与普通方程的互化中容易出现错误.2.2.点的极坐标与平面直角坐标的互化中出现错误点的极坐标与平面直角坐标的互化中出现错误.3.3.识别参数方程或极坐标方程表示的曲线时出现错误识别参数方程或极坐标方程表示的曲线时出现错误.4.4.讨论参数方程或极坐标方程表示的曲线间的关系时讨论参数方程或极坐标方程表示的曲线间的关系时出现错误出现错误.【易错诊断易错诊断】1.1.极坐标方程极坐标方程=cos=cos 和参数方程和参数方程 (t(t为参数为参数)所表示的图形分别是所表示的图形分别是()A.A.直线、直线直线、直线 B.B.圆、圆圆、圆C.C.直线、圆直线、圆D.D.圆、直线圆、直线x1ty23t 【解析解析】选选D.D.极坐标方程极坐标方程=cos=cos 化为直角坐标方程化为直角坐标方程为为x x2 2+y+y2 2-x=0,-x=0,表示圆表示圆,参数方程参数方程 ,化为普通方程为化为普通方程为3x+y+1=0,3x+y+1=0,表示表示直线直线.x1ty23t 2.2.已知点已知点P(1,-P(1,-),),则它的极坐标是则它的极坐标是()4A(2,)B.(2,)334C(2,)D.(2,)333【解析解析】选选C.C.因为点因为点P P的直角坐标为的直角坐标为(1,-),(1,-),所以所以=2.=2.再由再由1=cos,-=sin,1=cos,-=sin,可得可得 结合所给的选项结合所给的选项,可取可取=-,=-,即点即点P P的极坐标为的极坐标为 31 331cos23 sin2 3(2).3，3.3.已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),圆圆C C的的极坐标方程为极坐标方程为=2cos,=2cos,则圆则圆C C的圆心到直线的圆心到直线l的距的距离等于离等于_._.x3t2y4t3【解析解析】已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),转化成直角坐标方程为转化成直角坐标方程为:4x-3y+1=0.:4x-3y+1=0.圆圆C C的极坐标方程为的极坐标方程为=2cos,=2cos,整理得整理得:2 2=2cos=2cos 转化成直角坐标方程为转化成直角坐标方程为:x:x2 2+y+y2 2-2x=0,-2x=0,转化成标准形式为转化成标准形式为:(x-1):(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.x3t2y4t3所以所以:圆心坐标为圆心坐标为(1,0),(1,0),半径为半径为1.1.则则:圆圆C C的圆心到直线的圆心到直线l的距离为的距离为d=1.d=1.答案答案:1 14 154.4.已知曲线已知曲线C C1 1,C,C2 2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为=-2cos=-2cos ,coscos +1=0,+1=0,则曲线则曲线C C1 1上的点与曲线上的点与曲线C C2 2上的点上的点的最远距离为的最远距离为_._.()22()4【解析解析】曲线曲线C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为=-2cos =-2cos 即即=2sin,=2sin,两边同乘以两边同乘以,得得2 2=2sin,=2sin,化为普通方程为化为普通方程为x x2 2+y+y2 2=2y,=2y,即即x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.表示以表示以C(0,1)C(0,1)为圆心为圆心,半径为半径为1 1 的圆的圆.C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为 cos +1=0,cos +1=0,()22()4即即sin+cos+1=0,sin+cos+1=0,化为普通方程为化为普通方程为x+y+1=0,x+y+1=0,表示一条直线表示一条直线.如图如图,圆心到直线距离圆心到直线距离d=|CQ|=d=|CQ|=曲线曲线C C1 1上的点与曲线上的点与曲线C C2 2上的点的最远距离为上的点的最远距离为|PQ|=|PQ|=d+r=+1.d+r=+1.答案答案:+1 +122,2225.5.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,直线直线y=xy=x与曲线与曲线 (t(t为参数为参数)相交于相交于A,BA,B两点两点,求线段求线段ABAB的长的长.2xt1,yt1【解析解析】曲线曲线 的普通方程为的普通方程为y=xy=x2 2+2x.+2x.联立联立 所以可取所以可取A(0,0),B(-1,-1),A(0,0),B(-1,-1),所以所以AB=AB=2xt1,yt1 2yx,x0,x1,y0y1,yx2x,解得或221 01 02.。